湖南省郴州市莽山民族中学2022-2023学年高一数学文期末试题含解析

湖南省郴州市莽山民族中学2022-2023学年高一数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某人从2011年起，每年1月1日到银行新存入a元(一年定期)，若年利率为r保持不变，每年到期存款(本息和)自动转为新的一年定期，到2015年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为(单位为元)(

)A.a(1+r)5

B.［(1+r)5-(1+r)］

C.a(1+r)6

D.［(1+r)6-(1+r)］参考答案：B略2.菱形ABCD的相对顶点为A(1,-2),C(-2,-3),则对角线BD所在直线的方程是

A.3x+y+4=0

B.3x+y-4=0

C.3x-y+1=0

D.3x-y-1=0参考答案：A

由菱形的几何性质,知直线BD为线段AC的垂直平分线,AC中点O在BD上,,故,代入点斜式即得所求.3.已知，则（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】分子分母同时除以，可将所求式子化为关于的式子，代入求得结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查求解正弦、余弦的齐次式的值的问题，关键是能够通过除法运算构造出关于正切值的式子，属于常考题型.4.已知，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.已知函数图象的一条对称轴是，则a的值为（）A.5 B. C.3 D.参考答案：D【分析】化简函数f（x）＝acosx+sinx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对称，就是时，函数取得最值，求出a即可．【详解】函数f（x）＝acosx+sinxsin（x+θ），其中tanθ＝a，，其图象关于直线对称，所以θ，θ，所以tanθ＝a，故答案为D【点睛】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．6.函数的图象的一条对称轴方程是（）A．x= B．x= C． D．参考答案：C【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；H6：正弦函数的对称性．【分析】根据和差公式化简原函数解析式可得，y=2sin（x+），结合正弦函数的对称轴，令x+=kπ+π，反解出x即得答案．【解答】解：根据和差公式可得，=2（sin+cos）=2sin（+），而y=sinx的对称轴为y=kπ+π，k∈Z，令+=kπ+π，可得x=2kπ+，且k∈Z，显然C正确故选C7.如图是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（

）A．

B．1

C．

D．参考答案：D略8.若，则的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由，得，当时，即可求出的范围，根据几何概型的公式，即可求解。【详解】由，得，当，即当时，，所以的概率为.【点睛】本题考查几何概型的公式，属基础题9.若，则=

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.参考答案：10.为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是()参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若两个向量的夹角为，则称向量为“向量积”，其长度；已知，则____________。参考答案：3略12.已知，，则

参考答案：-213.把函数的图象沿x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数的图象，对于函数有以下四个判断：①该函数的解析式为；；②该函数图象关于点对称；③该函数在上是增函数；④函数在上的最小值为，则．其中，正确判断的序号是______．参考答案：②④【分析】先把函数的图象沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，再根据三角函数的图象与性质逐项判定，即可求解。【详解】把函数的图象沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后，得到函数的图象，由于，故①不正确；令，求得，故函数的图象关于点对称，故函数的图象关于点对称，故②正确；令，可得，故函数的增区间为，故函数上不是增函数，故③不正确；当时，，故当时，取得最小值为，函数取得最小值为，故，故④正确，故答案为：②④．【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理准确判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．14.函数的值域为

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．参考答案：略15.已知角α的终边过点P（﹣8m，﹣6sin30°），且cosα=﹣，则m的值为，sinα=．参考答案：，﹣

【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出m的值，可得sinα．【解答】解：由题意可得x=﹣8m，y=﹣6sin30°=﹣3，r=|OP|=，cosα==﹣，解得m=，∴sinα=﹣．故答案为：，﹣．16.在如图所示的流程图中，输出的结果是__________.参考答案：20略17.（5分）对于函数f（x），若存在实数a，使函数f（x）在区间和上单调且增减性相反，则称函数f（x）为H函数，下列说法中正确的是

．①函数y=x2﹣2x+1是H函数；②函数y=sinx是H函数；③若函数y=x2﹣2tx+1是H函数，则必有t≤2；④存在周期T=3的函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）是H函数．参考答案：②考点： 函数单调性的性质．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据已知中H函数的定义，可得函数在直线x=t两侧单调相反，则t≥2，由此逐一分析四个结论的正误，可得答案．解答： 由已知中H函数的定义，可得a≠0，若函数在直线x=t两侧单调相反，若a＞0，t＞0，则a+1≤t≤2a，解得：a≥1，即t≥2，函数y=x2﹣2x+1在直线x=1两侧单调相反，1＜2，故①错误；函数y=sinx在直线x=π两侧单调相反，π＞2，故②正确函数y=x2﹣2tx+1在直线x=t两侧单调相反，故t≥2，故③错误；周期T=3的函数f（x）的图象若直线x=t两侧单调相反，则t＜，故④错误；故说法正解的只有②，故答案为：②．点评： 本题以命题的真假判断为载体，考查了H函数的定义，正确理解H函数的定义，是解答的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题12分）已知，，求a+2b的值。参考答案：19.（本小题满分12分）如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D为线段BC的中点、（I）求证院A1B∥平面ADC1（II）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证:AD⊥DC1参考答案：（I）详见解析（II）详见解析试题分析：（1）连结，交于点O，连结OD，由已知条件得OD∥，由此能证明∥平面．（2）由已知得AD⊥BC，AD⊥平面，由此能证明AD⊥试题解析：（1）证明：连接交于点，连接∵斜三棱柱中，是平行四边形.是的中点.又∵是的中点，（3分）又∵平面平面(5分)平面(6分)(2)∵中，为的中点.∴(8分)又∵平面平面，交线为平面面(10分)∵平面(12分)考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定20.已知函数f（x）=x+﹣4，g（x）=kx+3．（1）当a=k=1时，求函数y=f（x）+g（x）的单调递增与单调递减区间；（2）当a∈[3，4]时，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m的取值范围；（3）当a∈[1，2]时，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2）对任意x1，x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）将a=k=1代入函数，求出函数y=f（x）+g（x）的导数，从而求出函数的单调区间即可；（2）解不等式f（m）≥f（1）即可；（3）不等式等价于F（x）=|f（x）|﹣g（x）在[2，4]上递增，显然F（x）为分段函数，结合单调性对每一段函数分析讨论即可．【解答】解：（1）a=k=1时，y=f（x）+g（x）=2x+﹣1，y′=2﹣=，令y′＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令y′＜0，解得：﹣1＜x＜1且x≠0，故函数在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，0），（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）∵a∈[3，4]，∴y=f（x）在（1，）上递减，在（，+∞）上递增，又∵f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），∴f（m）≥f（1），解得（m﹣1）（m﹣a）≥0，∴m≥amax，即m≥4；（3）∵|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2），∴|f（x1）|﹣g（x1）＜|f（x2）|﹣g（x2）恒成立，令F（x）=|f（x）|﹣g（x），则F（x）在[2，4]上递增．对于F（x）=，（i）当x∈[2，2+]时，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣+1，①当k=﹣1时，F（x）=﹣+1在[2，2+]上递增，所以k=﹣1符合；②当k＜﹣1时，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣+1在[2，2+]上递增，所以k＜﹣1符合；③当k＞﹣1时，只需≥2+，即≥（+）max=2+，所以﹣1＜k≤6﹣4，从而k≤6﹣4；（ii）当x∈（2+，4]时，F（x）=（1﹣k）x+﹣7，①当k=1时，F（x）=﹣7在（2+，4]上递减，所以k=1不符合；②当k＞1时，F（x）=（1﹣k）x+﹣7在（2+，4]上递减，所以k＞1不符合；③当k＜1时，只需≤2+，即≤（+）min=1+，所以k＜2﹣2，综上可知：k≤6﹣4．21.探究函数的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：x…0．511．51．71．922．12．22．33457…y…6．532．172．052．00522．0052．022．042．333．85．57[…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．（I）函数在区间（0，2）上递减；函数在区间

上递增；当

时， ．（II）证明：函数在区间（0，2）上是减函数。参考答案：（1）函数在区间（0，2）上递减；函数在区间

(2,+∞)

上递增.当2

时，

2

.………………6分（2）设，是（0，2）上的任意两个数，且<.则=

=

……9分即

所以在上是减函数

……………12分

略22.（10分）已知函数f（x）=tan（2x+），（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）设α∈（0，），若f（）=2cos2α，求α的大小．参考答案：考点： 正切函数的周期性；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦；正切函数的定义域．专题： 解三角形．分析： （Ⅰ）利用正切函数的定义域求