概论与初等模型

数学建模讲义建模概论与初等模型风洞中的飞机…——物理模型地图、电路图…——符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.我们常见的模型什么是数学模型一、数学建模概论玩具、照片……——实物模型数学模型

(MathematicalModel)数学建模（MathematicalModeling)数学建模指建立数学模型的全过程。

——包括模型建立、求解、分析、检验。数学模型——对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学建模——是利用数学方法解决实际问题的一种实践过程.即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后,将实际问题用数学方式表达，以建立起数学模型,然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解.观点：“所谓高科技就是一种数学技术”数量关系1.解释——孟德尔遗传定律的“3:1”数学建模三大功能——解释,判断,预见

美国原子能委员会提出如下处理浓缩放射性废物：封装入密封性很好的坚固的圆桶中，沉入300ft的海里，而一些工程师提出质疑？需要判断方案的合理性。2.判断——放射性废物处理3.预见——谷神星的发现行星的轨道半径水、金、地、火、木、土1781年,利用这个结果发现了天王星,1802年，发现了谷神星与3对应(有故事)，之后还发现了海王星、冥王星。你碰到过的数学模型——航行问题用x表示船速，y表示水速，列出方程：求解得到x=20,y=5,答：船速每小时20公里.

甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少？航行问题建立数学模型的基本步骤

作出简化假设(船速、水速为常数,方向一致);

用符号表示有关量(x,y表示船速和水速)；

用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以时间)列出数学式子(二元一次方程)；

求解得到数学解答（x=20,y=5）；

回答原问题（船速每小时20公里）。录象机计数器的用途问题

经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152。在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？要求不仅仅回答问题,而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系——一个数学模型!思考本题中计数器读数是均匀增长的吗？日常问题：常见的录音机的转轴转动是匀速的吗?问题分析录象机计数器的工作原理0000左轮盘右轮盘磁头主动轮压轮计数器录象带录象带运动方向录象带运动右轮盘半径增大右轮转速不是常数录象带运动速度是常数计数器读数增长变慢观察或分析:

计数器读数增长越来越慢！模型假设

录象带的运动速度是常数

v

；

计数器读数

n与右轮转数

m成正比，记

m=kn；

录象带厚度(含夹在两圈间的空隙)为常数

w；

空右轮盘半径记作

r

；

时间

t=0

时读数n=0.建模目的建立时间t与读数n之间的关系(设v，k，w，r

为已知参数)模型建立建立t与n的函数关系有多种方法:1.

右轮盘转过第

i圈的半径为r+wi,m圈的总长度

等于录象带在时间t内移动的长度vt,所以模型建立2.考察右轮盘面积的变化,等于录象带厚度乘以转过的长度,即3.考察t到t+dt录象带在右轮盘缠绕的长度,有思考1.3种建模方法得到同一结果2.模型中有待定参数

确定参数的一种办法是测量或调查，试设计测量方法——参数估计.参数估计将模型改记作只需估计理论上，已知t=183.5,n=6152,

再有一组(t,n)数据即可；实际上,由于测试有误差,最好用足够多的数据作拟合。若现有一批测试数据：用最小二乘法可得t020406080n00001153204528003466t100120140160183.5n40684621513556196152模型检验应该另外测试一批数据检验模型：模型应用回答提出的问题：由模型算得n=4580时t=118.5分,剩下的录象带能录183.5-118.5=65分钟的节目，可以录制60分钟的节目。2.揭示了“t

与n

之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录象带的状态改变时，只需重新估计a,b

即可。基本方法机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律。将研究对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型二者结合机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数

数学建模的方法和步骤

机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(CaseStudies)来学习.以下建模主要指机理分析.数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用数学模型的分类：◆按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型等。◆按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。为了便于学习掌握，可对数学模型做适当的分类：数学建模的重要意义

电子计算机的出现及飞速发展

数学以空前的广度和深度向一切领域渗透数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。数学建模计算机技术如虎添翼知识经济四、近几年全国大学生数学建模竞赛题1994A逢山开路B锁具装箱1995A一个飞行管理问题B天车与冶炼炉的作业调度1996A洗衣机节水问题B最优捕鱼问题1997A零件的参数设计B最优截断切割问题1998A投资的收益和风险B灾情巡视路线1999A自动化车床管理B钻井布局2000ADNA序列分类B钢管订购和运输2001A血管三维重建B公交车调度2002A彩票问题B车灯优化设计2003ASARS预测B露天矿车辆安排2004A奥运会临时超市网点设计B电力市场的输电阻塞管理

2005A

长江水质的评价和预测BDVD在线租赁2006A出版社的资源配置B艾滋病疗法的评价及疗效的预测2007A中国人口增长预测B乘公交，看奥运2008A数码相机定位

B高等教育学费标准探讨2009A制动器试验台的控制方法分析

B眼科病床的合理安排2010A储油罐的变位识别与罐容表标定B2010年上海世博会影响力的定量评估

怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术!技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想象力洞察力判断力

学习、分析、评价、改进别人作过的模型

亲自动手，认真作几个实际题目创新意识数学建模的论文结构1、摘要——问题、模型、方法、结果2、问题重述4、分析与建立模型5、模型求解6、模型检验7、模型推广8、参考文献9、附录3、模型假设谢谢！例1哥尼斯堡七桥问题符号表示“一笔画问题”(抽象分析法)游戏问题图论(创始人欧拉)完美的回答连通图中至多两结点的度数为奇数，则该图可一笔画.

二、初等模型(1111)(1110)(1010)(1011)(1101)(0000)(0001)(0101)(0100)(0010)例2人狗鸡米过河问题模型表示：建立(人,狗,鸡,米)的4维0/1向量;

是一个简单的游戏，但可以建立经典计算机编程求解。如:(1,0,1,0)——表示狗、米已过河,人、鸡没有等;可取状态：24－6＝10种可取过河方式：4种——(1100)(1010)(1001)(1000)运算方式：——按位异或运算(xor)例：一次运算过程(1111)xor(1100)(1010)(1001)(1000)

(0011)(0101)(0110)(0111)XOXX图论解法：(1111)(1110)(1010)(1011)(1101)(0000)(0001)(0101)(0100)(0010)

示例3椅子能在不平的地面上放稳吗?问题四条腿一样长的方椅子一定能在任意不平的地面上放稳吗?模型假设模型构成椅脚连线为正方形ABCD(如右图).t——椅子绕中心点O旋转角度f(t)——A,C两脚与地面距离之和g(t)——B,D两脚与地面距离之和

f(t),g(t)

01.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形;2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况)，即地面可视为数学上的连续曲面;3.对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。

模型构成由假设1，f和g都是连续函数

由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地：对任意t

，f(t)和g(t)中至少有一个为0。当t=0时,不妨设g(t)=0,f(t)>0,原题归结为证明如下的数学命题：已知f(t)和g(t)是t的连续函数,对任意t,f(t)•g(t)=0,且g(0)=0,f(0)>0。则存在t0，使f(t0)=g(t0)=0模型求解最后，因为f(t)•g(t)=0，所以f(t0)=g(t0)=0。令h(t)=

f(t)-g(t),则h(0)>0和h(

)<0，由f和g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质,必存在t0

（0<t0<

),使h(t0

)=0，即f(t0)=g(t0)。将椅子旋转90º,对角线AC与BD互换.