等式性质与不等式性质（七大题型）（原卷版）

2．1等式性质与不等式性质【题型归纳目录】题型一：用不等式（组）表示不等关系题型二：作差法比较两数（式）的大小题型三：作商法比较两数（式）的大小题型四：利用不等式的性质判断命题真假题型五：利用不等式的性质证明不等式题型六：利用不等式的性质比较大小题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【知识点梳理】知识点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立．两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，．比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、①；②；③．对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立．知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据．知识点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：（1）对称性：（2）传递性：（3）可加性：（c∈R）（4）可乘性：a>b，运算性质有：（1）可加法则：（2）可乘法则：（3）可乘方性：知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．知识点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小．①；②；③．作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．①；②；③．中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量．【典型例题】题型一：用不等式（组）表示不等关系例1．（2023·全国·高一专题练习）某高速公路要求行驶的车辆的速度的最大值为，同一车道上的车间距不得小于，用不等式表示为（

）A．且 B．或C． D．例2．（2023·湖北黄冈·高一校考期中）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），这个规定用数学关系式表示为（

）．A． B．C． D．例3．（2023·高一单元测试）如图，在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m2.设道路宽为xm，根据题意可列出的不等式为（

）A． B．C． D．变式1．（2023·全国·高一专题练习）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（

）A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱变式2．（2023·安徽滁州·高一校考阶段练习）某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买两套，那么买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式表示为（

）A． B．C． D．0.8×5x＋2×4y≤50【方法技巧与总结】将不等关系表示成不等式（组）的思路（1）读懂题意，找准不等式所联系的量．（2）用适当的不等号连接．（3）多个不等关系用不等式组表示．题型二：作差法比较两数（式）的大小例4．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．例5．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．例6．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则（

）A． B． C． D．不能确定变式3．（2023·湖北十堰·高一校考期中）已知，则（

）A． B．C． D．变式4．（2023·江苏·高一专题练习）已知a为实数，，，则M，N的大小关系是（

）A． B．C． D．变式5．（2023·全国·高一专题练习）已知，则必有（

）A． B．且C． D．且变式6．（2023·全国·高一专题练习）已知，，为不全相等的实数，，，那么与的大小关系是（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】作差法比较大小的步骤题型三：作商法比较两数（式）的大小例7．（2023·全国·高一专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（

）A．x＞y B．x＝yC．x＜y D．x，y的关系随c而定例8．（2023·全国·高一专题练习）设，，则（

）．A． B． C． D．例9．（2023·全国·高一专题练习）若，则、、、中最小的是.变式7．（2023·全国·高一专题练习），则的大小关系为．变式8．（2023·高一课时练习）如果，，那么，，从小到大的顺序是【方法技巧与总结】作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．①；②；③．题型四：利用不等式的性质判断命题真假例10．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）若，，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．例11．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）下列是假命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，，，且，则例12．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）设为正实数，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则变式9．（多选题）（2023·江苏·高一专题练习）已知∈R，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则变式10．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）已知实数，，满足，，那么下列选项中错误的是（）A． B．C． D．变式11．（多选题）（2023·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校考期末）下列不等式成立的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则变式12．（多选题）（2023·宁夏吴忠·高一统考期中）若是不为0的实数，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】运用不等式的性质判断真假的技巧（1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．（2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．题型五：利用不等式的性质证明不等式例13．（2023·高一课时练习）若，则.(1)若存在常数，使得不等式对任意正数，恒成立，试求常数的值，并证明不等式：；(2)证明不等式：.例14．（2023·高一课时练习）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；（2）已知c>a>b>0，求证：例15．（2023·高一课时练习）若，，，求证：变式13．（2023·江苏·高一假期作业）已知三个不等式：①；②；③.若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出一个真命题，并写出推理过程.变式14．（2023·江苏·高一专题练习）（1）设，，证明：；（2）设，，，证明：.变式15．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，求证：．【方法技巧与总结】对利用不等式的性质证明不等式的说明（1）不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有ab>0⇒a>b；ab=0⇒a=b；ab<0⇒a<b．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础．（2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系．（3）比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用．题型六：利用不等式的性质比较大小例16．（2023·河北邯郸·高一校考阶段练习）已知，则与的大小关系为.例17．（2023·江苏连云港·高一校考期中）已知，下列命题中正确的是(将正确命题的序号填在横线上)①若，则

②若，则;③若，则;

④若，则.例18．（2023·全国·高一随堂练习）已知，则的值0（选填“>，<，≥，≤”）．变式16．（2023·全国·高一随堂练习）设，，，则，，的大小关系．变式17．（2023·高一课时练习）已知，且，，则x，y的大小关系是．变式18．（2023·高一课时练习）若．则P，Q的大小关系（用“”，“”，“”连接两者的大小关系）变式19．（2023·全国·高一专题练习）给出以下四个命题：①；②；③；④．其中真命题的序号是．变式20．（2023·高一课时练习）如果，那么与中较大的是.【方法技巧与总结】注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围例19．（2023·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知，，则的范围是.例20．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则下列代数式的范围错误的是（

）A． B． C． D．例21．（2023·河北沧州·高一任丘市第一中学校考期中）若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是（

）A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5C．－3<a－|b|<3 D．1<a－|b|<4变式21．（2023·全国·高一专题练习）设，，求，，的范围.变式22．（2023·高一课时练习）设，，求，，的范围．【方法技巧与总结】利用不等式的性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．【过关测试】一、单选题1．（2023·江西·高二校联考开学考试）已知且，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．2．（2023·天津和平·高三天津一中校考开学考试）已知a是实数，则“”是“”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2023·全国·高一专题练习）下列结论不正确的有（

）个①若，则

②若，则③若，，则

④若，则A．1 B．2 C．3 D．44．（2023·广东东莞·高一校联考期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用和符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下列命题正确的是（）A．若且，则B．若，则C．若，则D．若且，则5．（2023·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）某花店搞活动，支玫瑰与支康乃馨价格之和大于元，而支玫瑰与支康乃馨价格之和小于元，那么支玫瑰与支康乃馨的价格比较的结果是（

）A．支玫瑰便宜 B．支康乃馨便宜 C．价格相同 D．不能确定6．（2023·高一课时练习）已知，记，则M与N的大小关系是（

）A． B．C． D．不确定7．（2023·湖北·高一校联考阶段练习）已知为三个非负实数，且满足，若，则u的最大值与最小值之和为（

）A． B． C． D．8．（2023·全国·高一专题练习）已知实数x，y满足，，则y的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2023·全国·高一专题练习）如果，那么下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．10．（2023·全国·高一专题练习）[多选]下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11．（2023·云南大理·高一统考期末）设为正实数，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则12．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则下列不等式不正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题13．（2023·上海青浦·高一校考阶段练习）已知，，且，记，，，则按从小到大的顺序排列是.14．（2023·上海普陀·高一上海市晋元高级中学校考期中）给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③对于正数，若，则.其中真命题的序号是.15．（2023·北京海淀·高一清华附中校考期末）已知表示，，…，这个数中最大的数.能够说明“，，c，，”是假命题的一组整数，，，的值依次为.16．（2023·北京·高一校考阶段