空间向量与立体几何学案-北京市高考数学一轮复习

2024届北京高考数学一轮复习学案之《空间向量与立体几何》知识点总结第一部分立体几何初步1.1基本立体图形一、空间几何体1.多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.2.旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.二、棱柱、棱锥、棱台1.棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱①记作：棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F12.棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。①记作：棱锥SABCD3.棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台。①记作：棱台ABCDA1B1C1D1三、棱柱的分类与正棱柱的性质1.棱柱的分类(1)按底面多边形的边数分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……(2)按侧棱、底面分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的侧面都是矩形.底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，平行六面体的六个面都是平行四边形.(3)常见的四棱柱及其关系2.正棱柱的性质(1)侧棱垂直于底面，侧面垂直于底面；(2)侧面都是全等的矩形；(3)底面是全等的正多边形.四、棱锥的分类与正棱锥的性质1.棱锥的分类按底面多边形的边数分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……2.正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.3.正棱锥的性质(1)正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形；(2)正棱锥的各侧棱都相等；(3)正棱锥的顶点与底面正多边形中心的连线垂直于底面.五、棱台的分类与正棱台的性质1.棱台的分类由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……2.正棱台的性质（由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.）(1)正棱台的侧棱都相等，侧面是全等的等腰梯形，各等腰梯形的高(正棱台的斜高)相等.(2)正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形.(3)正棱台的两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；正棱台的两底面中心连线、侧棱和两底面中心分别与该侧棱相应端点的连线也组成一个直角梯形.六、圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体1.圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。①记作：圆柱O'O2.圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。①记作：圆锥SO1.2立体图形的直观图一、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤1.在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.2.已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段3.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，

在直观图中长度为原来的一半.二、画空间几何体的直观图的一般步骤1.在已知图形中取水平平面，作互相垂直的x轴、y轴，再取z轴，使∠xOz=90°，∠yOz=90°.2.画直观图时，把x轴、y轴、z轴画成相对应的x'轴、y'轴、z'轴，使∠x'O'y'=45°(或135°)，∠x'O'z'=90°，x'轴、y'轴确定的平面表示水平面.3.已知图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'

轴和z'轴的线段.4.已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的

线段，在直观图中长度为原来的一半.5.擦去作为辅助线的坐标轴，将被遮挡的部分改为虚线，就得到了空间几何体的直

观图.三、平面图形的直观图及相关计算1.由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中保持不变，而平行于y轴的线段的长度在直观图中变为原来的一半，并且∠x'O'y'=45°(或135°)，因此平面多边形的直观图中任意一点到x'轴的距离都为原图形中相应点到x轴距离的12sin45°=22.设一个平面多边形的面积为S原图，利用斜二测画法得到的直观图的面积为S直观图，则有S直观图=24S原图1.3简单几何体的表面积与体积一、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积1.棱柱、棱锥、棱台的表面积：多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.2.棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积公式棱柱V棱柱=Sh(其中S为棱柱的底面积，h为棱柱的高)棱锥V棱锥=13Sh(其中S为棱锥的底面面积，h棱台V棱台=13h(S'+S'S+S)(其中S'，S分别为棱台的上、下底面面积，h3.棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系二、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积1.圆柱、圆锥、圆台的表面积和侧面积几何体图形面积公式圆柱底面积：S底面=πr2；侧面积：S侧面=2πrl；表面积：S=2πr(r+l)圆锥 底面积：S底面=πr2；侧面积：S侧面=πrl；表面积：S=πr(r+l)圆台上底面面积：S上底面=πr'2；下底面面积：S下底面=πr2；侧面积：S侧面=π(r'+r)l；表面积：S=π(r'2+r2+r'l+rl)2.圆柱、圆锥与圆台的侧面积公式之间的关系3.圆柱、圆锥、圆台的体积几何体体积公式圆柱V=πr2h(r为底面半径，h为圆柱的高)圆锥V=13πr2h(r为底面半径，h圆台V=13πh(r'2+r'r+r2)(r'，r分别为上、下底面半径，h4.球的表面积和体积公式(设球的半径为R)(1)表面积公式：S=4πR2；(2)体积公式：V=43πR3三、空间几何体的表面积(侧面积)1.求空间几何体表面积的两种方法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化.求多面体的表面积时，常将它们沿着若干条棱剪开，然后展开成平面图形；求旋转体的表面积时，要从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开，同时要弄清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系.(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给的几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求几何体的表面积，注意衔接部分的处理.四、空间几何体的体积1.常见求几何体体积的方法(1)公式法：直接代入公式求解.(2)等积转换法：此种方法适用于求三棱锥的体积，三棱锥的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求的形式即可.(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体.常见的补体有：①可将正四面体补为正方体，如图所示.②可将三条侧棱互相垂直的三棱锥补成长方体或正方体，如图所示(PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC).③可将三棱柱补成平行六面体，如图所示.④可将台体补成锥体，如图所示.(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.2.求组合体体积的方法：求组合体的体积，首先应弄清楚它的组成部分，然后根据公式求出各简单几何体的体积，再相加或相减.五、与球有关的切、接问题1.与球有关的切、接问题的处理思路(1)“接”的处理①构造正(长)方体，转化为正(长)方体的外接球问题；②利用球心与截面圆心的连线垂直于截面来确定球心所在直线；③画出过球心的截面圆，将空间问题平面化，注意以球的半径R、截面圆的半径r、球心到截面的距离d为三边构成的直角三角形，即R2=d2+r2.(2)“切”的处理①体积分割求内切球半径；②作出合适的截面(过球心或切点等)，在平面上求解；③多球相切问题，连接各球球心，转化为处理多面体问题.2.几个常见结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2R=3a；若球为正方体的内切球，则2R=a；若球与正方体的各棱相切，则2R=2a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R=a(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶11.4空间点、直线、平面之间的位置关系1.4.1平面一、平面概念几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，平面是向四周无限延展的画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向图示  表示方法(1)用希腊字母表示：如平面α、平面β、平面γ等；(2)用代表平面的平行四边形的四个顶点表示：如平面ABCD；(3)用代表平面的平行四边形相对的两个顶点的大写英文字母表示：如平面AC、平面BD二、平面的基本性质文字语言图形语言符号语言作用基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α，使A，B，C∈α①确定平面；②判定点、线共面基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α①判定直线在平面内；②判定点在平面内基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β=l，且P∈l①判定两平面相交；②判定点在直线上三、基本事实1和基本事实2的推论文字语言图形语言符号语言推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面A∉l⇒有且只有一个平

面α，使A∈α，l⊂α推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面 a∩b=P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面 a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α四、探究共面、共线问题1.点、线共面问题的证明点、线共面问题，主要依据基本事实1、基本事实2及其推论，解决此类问题一般有如下方法：(1)纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；(2)辅助平面法(平面重合法)：先由部分点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合；(3)反证法：假设不共面，结合题设推出矛盾.2.点共线、线共点问题(1)证明点共线问题主要依据基本事实3，常用方法有以下两种：①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3知，这些点都在这两个平面的交线上；②选择其中两点，确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.(2)证明三线共点的步骤：①首先说明两条直线共面且交于一点；②然后说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；③得到交线也过此点，从而得到三线共点1.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系一、异面直线1.定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.2.异面直线的画法：如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托.二、空间中直线与直线的位置关系1.共面直线：（1）相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点（2）平行直线：在同一平面内，没有公共点2.异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点三、空间中直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外a与α相交a与α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α=Aa∥α图形表示   四、空间中平面与平面的位置关系位置关系两个平面平行两个平面相交公共点没有公共点有无数个公共点，且这些公共点在一条直线上符号表示α∥βα∩β=l图形表示  五、异面直线的判定1.判定两条直线是异面直线的方法(1)证明两条直线既不平行又不相交；(2)过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线；(3)先提出与结论相反的假设，即两条直线相交或平行，再由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果，最后推翻假设，从而证明结论是正确的，即两直线异面.六、空间中直线、平面位置关系的判断1.判断空间直线、平面的位置关系，主要从以下三个方面考虑(1)根据线面关系的定义或定理判断；(2)借助长方体或四面体模型判断；(3)先假设所给定的结论成立，看能否推出矛盾.1.5空间直线、平面的平行1.5.1直线与直线平行一、基本事实4文字语言平行于同一条直线的两条直线平行图形语言 符号语言a∥bb∥c⇒作用证明两条直线平行说明基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性二、等角定理文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补符号语言OA∥O'A'，OB∥O'B'⇒∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180°图形语言 作用判定两个角相等或互补三、基本事实4与等角定理在空间图形中的运用1.空间中两直线平行的证明方法(1)利用定义证明两条直线共面且无公共点；(2)利用平面几何知识(三角形、梯形的中位线，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等)证明；(3)利用基本事实4，即若证明a∥b，可找到第三条直线c，使a∥c，b∥c，从而得到a∥b.2.空间中角相等的证明方法(1)等角定理是较常用的方法；(2)转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明.1.5.2直线与平面平行一、直线与平面平行的判定定理1.文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行，简记为线线平行⇒线面平行.2.图形语言：3.符号语言：

l⊄α，a⊂α，l∥a⇒l∥α.二、直线与平面平行的性质定理1.文字语言：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行，简记为线面平行⇒线线平行.2.图形语言：3.符号语言：

a∥α，a⊂β，α∩β=b⇒a∥b.三、证明直线与平面平行1.证明直线与平面平行的方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点.(2)利用判定定理：关键是在平面内找出一条与已知直线平行的直线.通常需要作辅助线，作辅助线时可以通过已有的平行关系构造平行四边形，或是有中点时可以构造中位线.四、线面平行中的探索性问题1.平行关系的探索性问题经常是在一条直线上确定是否存在某点，使过该点的直线平行于一个固定平面，求解时可先假设存在，根据结论逆向推理，同时注意线面平行的性质定理和判定定理的交替使用.1.5.3平面与平面平行一、平面与平面平行的判定定理1.文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，简记为线面平行⇒面面平行.2.图形语言：3.符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b=P，a∥β，b∥β⇒α∥β.二、平面与平面平行的性质定理1.文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行，简记为面面平行⇒线线平行.2.图形语言：3.符号语言：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∥b.三、证明两个平面平行1.平面与平面平行的判定方法(1)定义法：两个平面没有公共点.(2)利用判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.在立体几何中，线线平行、线面平行、面面平行之间可以相互转化，其转化关系如图：1.6空间直线、平面的垂直直线与直线垂直一、空间两直线所成的角1.两条异面直线所成的角：如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).空间两条异面直线所成角α的取值范围为0°<α≤90°.如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.2.空间两直线所成的角当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°，所以空间两条直线所成

角α的取值范围是0°≤α≤90°.二、求异面直线所成的角1.求异面直线所成角的一般步骤(1)构造：恰当地选择一个点，用平移法(或补形法)构造异面直线所成的角(或其补角).(2)证明：证明(1)中所作的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角.(3)计算：通过解三角形或其他方法，求出(1)中所构造的角的大小.(4)结论：假设所构造的角的大小为α，若0°<α≤90°，则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°<α<180°，则180°α即为所求.直线与平面垂直一、直线与平面垂直的定义1.定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.2.图示：二、直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a∩b=P，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α图形语言 三、直线与平面所成的角1.斜线：与一个平面α相交，但不与这个平面垂直的直线叫做这个平面的斜线，如图中直线l.2.斜足：斜线和平面的交点叫做斜足，如图中点A.3.射影：过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.4.直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图中∠PAO.规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°.设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°.四、直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行图形语言 符号语言a⊥α，b⊥α⇒a∥b作用线面垂直⇒线线平行；作平行线五、空间中的距离1.点到平面的距离过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.2.直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.3.平行平面间的距离如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.六、证明直线与平面垂直1.证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用定义，即证明直线a垂直于平面α内的任意一条直线，从而得到直线a⊥平面

α(一般不易验证任意性).(2)利用判定定理，即证明直线与平面内的两条相交直线垂直.(3)利用平行线垂直平面的传递性质，即如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面(a∥b，b⊥α⇒a⊥α).(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面(a⊥α，α∥β⇒a⊥β).2.解决线面垂直问题，常转化为证明线线垂直，而证明线线垂直常见的方法如下：(1)利用勾股定理的逆定理；(2)利用等腰三角形三线合一的性质；(3)利用菱形的对角线互相垂直；(4)利用线面垂直的定义，即a⊥α，b⊂α，则a⊥b；(5)利用平行转化，即a∥b，b⊥c，则a⊥c.七、探究直线与平面所成的角1.求斜线与平面所成角的大小的步骤(1)作角①作垂线：过斜线上一点(不是斜足)作平面的垂线；②作射影：连接垂足和斜足；③作平面角：斜线与它在平面上的射影所成的角即为所求，即将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的角).(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角，关键是证垂直.(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所构成的直角三角形中计算.八、点到平面的距离1.求点到平面的距离的常用方法(1)等体积法：即利用三棱锥的换底法，通过不同角度的体积相等得到点到平面的距离.(2)平行转化法：当由点向平面作垂线不易操作时，可利用线面平行或面面平行转化为直线(平面)上其他点到平面的距离.2.当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离都相等；当平面与平面平行时，一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等.平面与平面垂直一、二面角1.二面角半平面的定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面二面角的相关概念从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面二面角的画法 

 二面角的记法二面角αlβ或二面角αABβ或二面角PlQ或二面角PABQ2.二面角的平面角(1)定义：在二面角αlβ的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.(2)图形： (3)范围：∠AOB的范围是0°≤∠AOB≤180°.二、平面与平面垂直的定义文字语言一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直图形语言 符号语言α⊥β三、平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直图形语言 符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β四、平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直图形语言 符号语言α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β五、证明平面与平面垂直1.证明平面与平面垂直的方法(1)利用平面与平面垂直的定义①找出两相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，可知这两个相交平面互相垂直.(2)利用平面与平面垂直的判定定理①定思路：分析题意，根据题中已知条件，在其中一个平面内寻找一条直线与另一

个平面垂直.②证线面：选择恰当方法证明线面垂直.③证面面：根据面面垂直的判定定理(如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这

两个平面垂直)证明.(3)若一个平面与另一个平面的垂面平行，则这两个平面互相垂直.六、求二面角的大小1.求二面角的平面角的大小的步骤简记为“一作二证三求”.2.作二面角的平面角的常见方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于

棱的射线.如图①，∠AOB为二面角αlβ的平面角.(2)垂面法：过棱上一点作垂直于棱的平面，该平面与二面角的两个半平面各有一

条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角.如图②，∠AOB为二面角αlβ的

平面角.(3)垂线法：如图③，过二面角的一个半平面内不在棱上的点A向另一个平面作垂

线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角αlβ的平面角.(4)射影面积法：若多边形的面积为S，它在一个平面内的射影图形的面积为S'，且多

边形所在面与该平面所成的二面角为θ，则cosθ=S'S.第二部分空间向量与立体几何2.1空间向量及其运算一、空间向量的概念及几类特殊向量1.空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模2.单位向量：模为1的向量3.零向量：长度为0的向量4.相等向量：长度相等且方向相同的向量5.相反向量：长度相等且方向相反的向量6.共线(平行)向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线(平行)向量7.方向向量：在直线l上取非零向量a，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量8.共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量二、空间向量的线性运算1.加法：（1）三角形法则：a+（2）平行四边形法则：a2.减法：a−3.数乘运算：（1）当λ>0时，λa=λOA=（2）当λ<0时，λa=λOA=（3）当λ=0时，λ4.运算律运算律(λ，μ∈R)交换律a+结合律(a分配律(λ+μ)a三、空间向量共线、共面的有关定理1.共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(2.共面向量定理：向量p与不共线的两个空间向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(四、空间向量的数量积数量积a·b=|a||运算律(λa)·ba·(a性质和应用若a，ba·a=|a||acos<a，b>=五、空间向量共线、共面的结论和应用1.空间向量共线、共面的结论(1)证明空间三点A，B，P共线：①AP=λAB；②OP=OA+λAB；③OP=xOA+yOB，其中x+y=1.(O为空间不与A，B，P重合的任一点)(2)证明空间四点A，B，P，M共面：①MP=xMA+yMB；②OP=OM+xMA+yMB；③OP=xOA+yOB+zOM，其中x+y+z=1；④PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM).(O为空间不与A，B，P，M重合的任一点)2.空间向量共线、共面的应用共线向量定理除了可以证明三点共线，还可以证明空间中两直线平行.由于空间中两个非零向量共线时，这两个向量所在的直线可能平行，也可能重合，所以在证明时要说明一条直线上有一点不在另一条直线上，从而推得两直线平行，不能由向量平行直接推出线线平行.共面向量定理除了可以证明四点共面，还可以证明线面平行，同理，也要说明线不在面内.六、利用数量积求长度(距离或模)1.求解线段的长度、两点间的距离时，均可将其转化为求对应有向线段表示的向量的模，将此向量表示为已知的几个向量的和或差的形式，分析已知向量两两之间的夹角以及它们的模，然后利用公式|a|=a⋅a(推广公式：七、利用数量积求异面直线所成的角或其余弦值1.求两条异面直线所成的角或其余弦值的步骤(1)根据题设条件取与两条异面直线分别平行的非零向量(即两条直线的方向向量)；(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角的问题；(3)利用公式cos<a(4)将所求得的余弦值加上绝对值即得异面直线所成角的余弦值，进而可求出异面直线所成角的大小.2.2空间向量基本定理一、空间向量基本定理1.如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb二、空间向量的正交分解1.如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量三、空间向量基本定理的应用1.用基底表示空间向量若未给定基底，则先选择基底，选择时，要尽量选择共起点的三个向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.基底确定后，利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把目标向量逐步分解，向基底靠近，最后化简整理求出结果.2.用基底法解决立体几何问题利用基底法可解决立体几何中线面关系问题及与夹角、距离(长度)有关的问题，解题时，首先要确定基底，将所需向量用基底表示出来，然后通过向量运算解决问题.基底法是向量法中的一种.2.3空间向量及其运算的坐标表示一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，2.相关概念

O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分注意：(1)坐标向量i，j，k满足(2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°(3)在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示.我们建立的坐标系一般都是右手直角坐标系.二、空间直角坐标系中点的坐标1.如图，在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量OA，且点A的位置由向量OA=xi+yj+zk.在单位正交基底{i，j2.空间直角坐标系中位于坐标轴、坐标平面上的点的坐标如下表所示：点的位置x轴上y轴上z轴上Oxy平面Oyz平面Ozx平面Oxy平面坐标形式(x，0，0)(0，y，0)(0，0，z)(x，y，0)(0，y，z)(x，0，z)(x，y，0)3.空间直角坐标系中对称点的坐标空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，掌握对称点的变化规律，才能准确求解.对称点的问题常常用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论来解决.例如：(1)点(a，b，c)关于原点O的对称点为(−(2)点(a，b，c)关于x轴的对称点为(a，−b，−c)(3)点(a，b，c)关于Oxy平面的对称点为(a，b，−c)4.(1)已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点的坐标为x1(2)已知△ABC的三个顶点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则△ABC重心的坐标为x1三、空间向量及其运算的坐标表示1.在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作OA=a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a=xi+yj+zk注意：符号(x，y，z)具有双重意义，它既可以表示点，也可以表示向量2.设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)；ab=(a1b1，a2b2，a3b3)；λa=(λa1，λa2，λa3)，λ∈R；a·b=a1b1+a2b2+a3b3.四、空间向量的平行、垂直及模、夹角的坐标表示1.设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则结论坐标表示平行a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)垂直a⊥b(a≠0，b≠0)⇔a·b=a1b1+a2b2+a3b3=0模|a|=a⋅a=a12+a22夹角cos<a，b>=a⋅b|a||b|=a1b1+a2b五、空间两点间的距离公式1.设P1(x1，y1，z1),P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点,O是坐标原点，则P(x2x1，y2y1，z2z1)，所以P1P2=|P1P22.特别地，空间任意一点P(x，y，z)到原点O的距离OP=|OP|=x2六、利用空间向量的坐标运算解决空间平行、垂直问题1.建立空间直角坐标系，利用坐标运算解决空间平行、垂直问题的方法称为“坐标法”，是向量法中的一种.2.与向量坐标有关的平行、垂直问题主要有两种类型：一是判定平行、垂直；二是已知平行或垂直求参数.利用向量的坐标证明两直线平行或垂直的步骤：(1)建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标；(2)求出有关直线的方向向量；(3)证明两直线平行即证明两直线的方向向量共线；证明两直线垂直即证明两直线的方向向量的数量积为0；(4)还原到几何问题，得出结论.七、利用空间向量的坐标运算求夹角和长度1.利用空间向量的坐标运算求异面直线所成角或线段长度的步骤(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；(3)利用向量数量积的坐标公式求得相关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角；利用两点间的距离公式求出线段的长度2.4空间向量的应用2.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系一、空间中点、直线和平面的向量表示1.点的位置向量如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量 来表示.我们把向量 称为点P的位置向量.2.空间直线的向量表示式如图(1)，a是直线l的方向向量，在直线l上取AB=a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得AP=ta，即(2)，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP=OA+ta(i)，图1图2将AB=a代入(i)式，得OP=OA+tAB(i)式和(ii)式都称为空间直线的向量表示式.3.空间平面的向量表示式如图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使OP=OA+xAB+yAC(iii).我们把(iii)式称为空间平面ABC的向量表示式.二、空间直线的方向向量和平面的法向量1.空间直线的方向向量：若l是空间一直线，A，B是直线l上的任意两点，则称AB为直线l的方向向量，与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.2.平面的法向量：与平面垂直的直线的方向向量，称为平面的法向量.利用待定系数法求平面法向量的步骤：(1)设法向量为n=(x，y，z)(2)在已知平面内找或求两个不共线向量a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b(3)建立方程组n(4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对这个未知量赋特殊值，从而得到平面的一个法向量.三、空间中直线、平面的平行位置关系向量表示线线平行设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1=λu2线面平行设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄则l∥α⇔u⊥n⇔u·n面面平行设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1=λn2四、空间中直线、平面的垂直位置关系向量表示线线垂直设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0线面垂直设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u=λn面面垂直设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0五、利用空间向量解决平行问题1.解决立体几何问题的方法常用方法有几何法、基底法和坐标法.几何法是利用判定定理和性质定理解决问题；基底法是利用基向量进行向量运算，从而解决问题；坐标法是通过建系，利用向量的坐标运算解决问题.基底法和坐标法都是向量法.在解决具体问题时，要灵活选择不同方法，使解题方便，当图形的垂直特征明显且坐标易求时可优先选择坐标法.2.利用空间向量证明线线平行(1)基底法：分别用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，然后通过线性运算，证明两方向向量共线即可.(2)坐标法：建立适当的空间直角坐标系，利用直线的方向向量的坐标之间的线性关系进行证明.3.利用空间向量证明线面平行(1)设直线l的方向向量是u，平面α的法向量是n，要证明l∥α，只需证明u⊥n，即证明u·n=0.求解平面的法向量时，对未知数的赋值与相关运算一定要准确.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行进行证明.要证明一条直线和一个平面平行，只需在平面内找一个向量，证明它与已知直线的方向向量是共线向量即可，但需要特别注意已知直线的方向向量不在平面内.(3)根据共面向量定理进行证明，即要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用这个平面内的两个不共线向量线性表示即可.4.利用空间向量证明面面平行(1)向量法：设平面α的法向量为u，平面β的法向量为v，则α∥β⇔u∥v；(2)转化法：转化为证明线面平行、线线平行.六、利用空间向量解决垂直问题1.利用向量方法证明线线垂直(1)坐标法：建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直.(2)基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及相关运算律，结合图形的几何特征，将与两直线有关的向量分别用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明此数量积等于0，从而证明两条直线互相垂直.2.用坐标法证明线面垂直的两种思路(1)基向量法：根据线面垂直的判定定理证明，先用基向量表示直线的方向向量a，然后在平面内找两条相交直线，并分别用基向量表示它们的方向向量b，c，由a·b=0且a·c=0(2)法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，利用向量的线性运算判定直线的方向向量与平面的法向量平行，从而可得线面垂直.3.证明面面垂直的三种方法(1)利用两个平面垂直的性质定理，证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.(2)直接求解两个平面的法向量，证明这两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.(3)证明一个平面的法向量平行于另一个平面.2.4.2用空间向量研究距离、夹角问题一、空间距离的向量求法1.直线外一点到直线的距离如图①，u为直线l的单位方向向量，P∉l，A∈l，Q∈l，AP=a，AP在直线l上的投影向量为PQ=|图①图②图③2.平面外一点到平面的距离如图②，设平面α的法向量为n，P∉α，A∈α，PQ⊥α，AP在直线l上的投影向量为QP，则点P到平面α的距离3.其他距离(1)两平行直线之间的距离：在其中一条直线上取定一点，将所求转化为直线外一点到直线的距离.(2)两异面直线a，b之间的距离：如图③，在a，b上分别取点A，B，求出与a，b的方向向量都垂直的向量n，则AB在向量n上的投影向量的长度即为异面直线a，b的距离，为|AB(3)平行的线面、面面间的距离：转化为平面外一点到平面的距离.二、空间角的向量求法空间角向量求法范围异面直线l1与l2所成的角θ设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ=|cos<u，v0，直线AB与平面α所成的角θ，如图①设直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ=|cos<0，平面α与平面β的夹角θ，如图②设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cosθ=|cos<n1，n2>|=|0，三、用空间向量研究距离问题 1.用向量法求距离问题的两种思路(1)转化为求向量模的问题.过已知点作已知直线或已知平面的垂线段，利用待定系数法求出垂足的坐标，然后通过已知点坐标及垂足坐标求出表示此距离的向量的模，这是求各种距离的通法.(2)直接套用相关公式求解.用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：①不必找点在直线上的垂足以及垂线段；②可以选直线上的任意点，但一般选较易求得坐标的特殊点；③直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确.2.求直线到平面(或两平面之间)的距离的前提是线面(或面面)平行，求解时可在直线上(或其中一个平面上)找到一点，然后将问题转化为求该点到平面的距离.注意：这个点要选取适当，以方便求解为主.点到平面的距离的求解步骤：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)写出(求出)相关点的坐标；(3)求出平面的一个法向量；(4)找出从已知点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；(5)求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即得点到平面的距离.四、用空间向量研究夹角问题1.角的范围与关系利用向量法求空间角时，要注意空间角的范围与向量夹角范围的区别.异面直线所成的角的范围为0，π2，两平面夹角的范围为0，π2，当向量夹角为钝角时，异面直线所成的角和两平面夹角为向量夹角的补角.线面角的范围为0，2.空间角的向量求法(1)两异面直线所成的角①坐标法：适合建立空间直角坐标系的问题优先选择此法解决.②基底法：在一些不适合建立空间直角坐标系的问题中，我们经常用基底法.由公式cos<a，b>=a⋅b|a||b|求向量a，b的夹角的关键是求出a·b，(2)直线与平面所成的角求解步骤如下：①建立恰当的空间直角坐标系；②求直线的方向向量u；③求平面的法向量n；④计算：设线面角为θ，则sinθ=|u⋅n||u||n|(3)两个平面的夹角求解步骤如下：①建立恰当的空间直角坐标系；②分别求两个平面的法向量n1，n2；③计算：设两个平面的夹角为θ，则cosθ=|cos<n1，n2>|=|五、用空间向量解决与距离、夹角有关的探索性问题1.利用空间向量解决与距离、夹角有关的探索性问题的步骤(1)假设存在(或假设结论成立)；(2)建立恰当的空间直角坐标系，得到相关点的坐标；(3)根据点的坐标得到有关向量的坐标；(4)利用距离或夹角的计算公式列关系式求解；(5)根据解的情况得出结论.二、典型习题训练之选择题1．（2023·北京·统考高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（

）A． B．C． D．2．（2023·北京顺义·高三统考期末）在棱长为1的正方体中，动点P在棱上，动点Q在线段上、若，则三棱锥的体积（

）A．与无关，与有关 B．与有关，与无关C．与都有关 D．与都无关3．（2023秋·北京通州·高三统考期末）要制作一个容积为的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，则圆柱的高和底面半径应分别为（

）A．， B．，C．， D．，4．（2023秋·北京东城·高三统考期末）如图，在正方体中，点是棱上的动点，下列说法中正确的是（

）①存在点，使得；②存在点，使得；③对于任意点，到的距离为定值；④对于任意点，都不是锐角三角形.A．①③ B．②③ C．②④ D．③④5．（2023秋·北京海淀·高三统考期末）设、是两个不同的平面，直线，则“对内的任意直线，都有”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2023秋·北京西城·高三统考期末）如图，正方形和正方形所在的平面互相垂直．是正方形及其内部的点构成的集合，是正方形及其内部的点构成的集合．设，给出下列三个结论：①，使；②，使；③，使与所成的角为．其中所有正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．37．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）已知直线与平面满足，则下列判断一定正确的是A． B． C． D．8．（2023·北京东城·统考一模）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．（2023·北京朝阳·统考一模）在长方体中，与平面相交于点M，则下列结论一定成立的是（

）A．B．C． D．10．（2023·北京丰台·统考一模）如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论：①三棱锥的体积的最大值为；②的最小值为；③点到直线的距离的最小值为．其中所有正确结论的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．311．（2023·北京房山·统考一模）如图，已知正方体，则下列结论中正确的是（

）A．与三条直线所成的角都相等的直线有且仅有一条B．与三条直线所成的角都相等的平面有且仅有一个C．到三条直线的距离都相等的点恰有两个D．到三条直线的距离都相等的点有无数个12．（2023·北京顺义·统考一模）在正方体中，点，分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线（

）A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条13．（2023·北京西城·统考二模）将边长为的正方形沿对角线折起，折起后点记为．若，则四面体的体积为（

）A． B．C． D．14．（2023·北京朝阳·二模）如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（

）A．存在点Q，使得B．存在点Q，使得平面C．三棱锥的体积是定值D．存在点Q，使得PQ与AD所成的角为15．（2023·北京丰台·统考二模）若某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为（

）A． B． C． D．16．（2023·北京海淀·统考二模）已知正方形ABCD所在平面与正方形CDEF所在平面互相垂直，且，P是对角线CE的中点，Q是对角线BD上一个动点，则P，Q两点之间距离的最小值为（

）A．1 B． C． D．三、典型习题训练之填空题17．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）如图，在棱长为a的正方体中，P，Q分别为的中点，点T在正方体的表面上运动，满足．给出下列四个结论：①点T可以是棱的中点；②线段长度的最小值为；③点T的轨迹是矩形；④点T的轨迹围成的多边形的面积为．其中所有正确结论的序号是．18．（2023秋·北京海淀·高三统考期末）如图，在正三棱柱中，是棱上一点，，则三棱锥的体积为.19．（2023秋·北京昌平·高三统考期末）已知正三棱锥的六条棱长均为是底面的中心，用一个平行于底面的平面截三棱锥，分别交于点（不与顶点，重合）.给出下列四个结论：①三棱锥为正三棱锥；②三棱锥的高为；③三棱锥的体积既有最大值，又有最小值；④当时，.其中所有正确结论的序号是.20．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）在四棱锥中，面，底面是正方形，，则此四棱锥的外接球的半径为．21．（2023·北京西城·统考一模）如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上．给出下列四个结论：

①的最小值为；②四面体的体积为；③有且仅有一条直线与垂直；④存在点，，使为等边三角形．其中所有正确结论的序号是．22．（2023·北京海淀·统考一模）在中，，D是边AC的中点，E是边AB上的动点（不与A，B重合），过点E作AC的平行线交BC于点F，将沿EF折起，点B折起后的位置记为点P，得到四棱锥．如图所示．给出下列四个结论：①平面PEF；②不可能为等腰三角形；③存在点E，P，使得；④当四棱锥的体积最大时，．其中所有正确结论的序号是．23．（2023·北京门头沟·统考一模）在正方体中，棱长为，已知点、分别是线段、上的动点（不含端点）.①与垂直；②直线与直线不可能平行；③二面角不可能为定值；④则的最小值是.其中所有正确结论的序号是.24．（2023·北京平谷·统考一模）如图，矩形ABCD中，，M为BC的中点，将沿直线AM翻折，构成四棱锥，N为的中点，则在翻折过程中，①对于任意一个位置总有平面；②存在某个位置，使得；③存在某个位置，使得；④四棱锥的体积最大值为．上面说法中所有正确的序号是．25．（2023·北京延庆·统考一模）四面体的三条棱两两垂直，，，为四面体外一点，给出下列命题：①不存在点，使四面体三个面是直角三角形；②存在点，使四面体是正三棱锥；③存在无数个点，使点在四面体的外接球面上；④存在点，使与垂直且相等，且.其中真命题的序号是.26．（2023·北京房山·统考二模）如图所示，在正方体中，是棱上一点，平面与棱交于点．给出下面几个结论：①四边形是平行四边形；②四边形可能是正方形；③存在平面与直线垂直；④任意平面与平面垂直；⑤平面与平面夹角余弦的最大值为．其中所有正确结论的序号是．27．（2023·北京昌平·统考二模）如图，在长方体中，，动点分别在线段和上.给出下列四个结论：①；②不可能是等边三角形；③当时，；④至少存在两组，使得三棱锥的四个面均为直角三角形.其中所有正确结论的序号是.28．（2023·北京东城·统考二模）如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，（）的两部分，则

29．（2023·北京通州·统考三模）在棱长为1正方体中，点P满足，其中，，给出下列四个结论：①所有满足条件的点P组成的区域面积为1；②当时，三棱锥的体积为定值：③当时，点到距离的最小值为1；④当，有且仅有一个点P，使得平面则所有正确结论的序号为.30．（2023·北京密云·统考三模）如图，在正方体，P为线段上的动点（且不与，重合），则以下几种说法：①②三棱锥CBPD的体积为定值③过P，C，三点作截面，截面图形为三角形或梯形④DP与平面所成角的正弦值最大为上述说法正确的序号是.四、典型习题训练之解答题31．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．(1)求证：平面PAB；(2)求二面角的大小．32．（2023秋·北京通州·高三统考期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，分别是，的中点.(1)求证:平面；(2)再从条件①，条件②两个中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.33．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，E，F分别为的中点．(1)求证：平面；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．34．（2023秋·北京东城·高三统考期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，为上一点，平面.(1)求证：为的中点；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.35．（2023秋·北京海淀·高三统考期末）如图，在四棱锥中，平面，为棱的中点.(1)证明：平面；(2)再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.36．（2023秋·北京西城·高三统考期末）如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形．(1)求证：∥平面；(2)若平面，求：（ⅰ）直线与平面所成角的正弦值；（ⅱ）点D到平面的距离．37．（2023秋·北京丰台·高三统考期末）如图，已知正方体中，点是棱的中点．(1)求证：平面；(2)若点F是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．38．（2023秋·北京昌平·高三统考期末）如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求直线到平面的距离.39．（2023秋·北京房山·高三统考期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，为棱的中点.(1)求证：平面；(2)再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求：直线与平面所成角的正弦值，以及点到平面的距离.条件①：；条件②：平面；条件③：.40．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）如图，在四棱锥PABCD中，CD平面PAD，为等边三角形，，，E，F分别为棱PD，PB的中点.(1)求证AE平面PCD；(2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；(3)在棱PC上是否存在点G，使得DG平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由.41．（2023·北京顺义·高三统考期末）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，，，E是的中点．(1)求证：直线∥平面；(2)已知，点M在棱上，且二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值．条件①：平面平面；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．42．（2023·北京东城·统考一模）如图，在长方体中，，和交于点E，F为AB的中点.(1)求证：∥平面；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求（i）平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值；（ii）点A到平面CEF的距离.条件①：；条件②：直线与平面所成的角为.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.43．（2023·北京西城·统考一模）如图，在四棱锥中，平面，，，，．为棱上一点，平面与棱交于点．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列两个问题(1)求证：为的中点；(2)求二面角的余弦值．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．44．（2023·北京丰台·统考一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O，，．点E是棱PA的中点，连接OE，OP．(1)求证：平面PCD；(2)若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP的长．条件①：平面平面；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．45．（2023·北京石景山·统考一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点.(1)求证：；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小.条件①：；条件②：平面平面；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.46．（2023·北京海淀·统考一模）如图，直三棱柱中，，，，是的中点．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．47．（2023·北京门头沟·统考一模）如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点.(1)证明：；(2)再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值及点A到平面BPC的距离.①；②.48．（2023·北京房山·统考一模）如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点.(1)求证：平面PBD；(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；(3)求D到平面APM的距离.49．（2023·北京顺义·统考一模）如图，在长方体中，，，E是的中点，平面与棱相交于点F．(1)求证：点F为的中点；(2)若点G为棱上一点，且，求点G到平面的距离．50．（2023·北京平谷·统考一模）如图，在三棱柱中，D，E，G分别为的中点，与平面交于点F，，，．(1)求证：F为的中点；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线FG与平面BCD所成角的正弦值．条件①：平面平面；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．51．（2023·北京延庆·统考一模）如图，四棱锥中，底面是梯形，，面，是等腰三角形，，，是的中点.(1)求证：；(2)设与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角为，从以下所给的三个条件中选出其中一个作为已知条件，求四棱锥的体积.①；②；③．52．（2023·北京东城·统考二模）如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，是线段上一点.(1)设为的中点，求证：；(2)若直线和平面所成角的正弦值为，求的值.53．（2023·北京西城·统考二模）如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点．(1)求证：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．54．（2023·北京朝阳·二模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F.(1)证明：F为PD的中点；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线BE与平面PAD所成角的正弦值.条件①：三角形BCF的面积为；条件②：三棱锥的体积为1.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.55．（2023·北京丰台·统考二模）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，，，，四点共面，，．(1)求证：；(2)求点到平面的距离；(3)过点与垂直的平面交直线于点，求的长度．56．（2023·北京海淀·统考二模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，E，F分别为AB，PD的中点．(1)求证：EF//平面PBC；(2)若，二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．求PD的长．条件①：；条件②：．57．（2023·北京房山·统考二模）如图，已知直三棱柱中，，为中点，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题：(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．58．（2023·北京昌平·统考二模）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且平面，分别是的中点，是上一点，且.(1)求证：平面；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分.59．（2023·北京通州·统考三模）如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点.(1)证明：.(2)若是等腰直角三角形，，，点E在棱AD上（与A，D不重合），若二面角的大小为，求点D到面BCE的距离.60．（2023·北京密云·统考三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.2024届北京高考数学一轮复习学案之《空间向量与立体几何》答案1．【解】如图，过做平面，垂足为，过分别做，，垂足分别为，，连接，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和，所以.因为平面，平面，所以，因为，平面，，所以平面，因为平面，所以，.同理：，又，故四边形是矩形，所以由得，所以，所以，所以在直角三角形中，在直角三角形中，，，又因为，所有棱长之和为.故选：C2．【解】因为为正方体，所以因为平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离也即到平面的距离，也即点到平面的距离不随的变化而变化，设点到平面的距离为，过点作，根据正方体的特征可知：平面，因为平面，所以，，所以平面，则有，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，所以点到的距离也即到的距离，且距离为1，所以（定值），所以（定值），则三棱锥的体积不随与的变化而变化，也即与与都无关.故选：.3．【解】解：设圆柱的高为，底面半径为．，．当且仅当，即当时取等号．此时．即当，时取得最小值．故选：C.4.【解】由题知，在正方体中，点是棱上的动点，建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，设正方体边长为1，所以，设，其中，所以，当时，无解，故①错误；当时，解得，故②正确；因为，其中，所以到的距离为，不是定值，故③错误；因为，其中，所以，所以三角形为直角三角形或钝角三角形，不可能为锐角三角形，故④正确；故选：C5．【解】因为、是两个不同的平面，直线，若对内的任意直线，都有，根据线面垂直的定义可知，，，所以，“对内的任意直线，都有”“”；若，因为，对内的任意直线，与的位置关系不确定，所以，“对内的任意直线，都有”“”.因此，“对内的任意直线，都有”是“”的充分而不必要条件.故选：A.6．【解】因为四边形是正方形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为四边形是正方形，所以，则两两垂直，所以以为原点，建立空间直角坐标系，如图，则，对于①，因为，所以不妨设，其中，则，故，因为，所以，则，所以，，，即，所以，故①错误；对于②，结合①中结论，，假设，则，即，即，显然令，可以成立，所以假设成立，故②正确；对于③，结合②中结论，假设与所成的角为，则，即，令，则，，，所以上述等式成立，故假设成立，故③正确；综上：②③正确，①错误，所以正确结论的个数是.故选：C.7．【解】因为，可得，又因为，所以，因为，且，所以.故选：D.8．【解】当，时，可推出，但是推不出，当时，由可知，又，所以，综上可知，“”是“”的必要不充分条件.故选：B9．【解】如图，连接，交于，连接，，在长方体中，平面与平面的交线为,而平面，且平面，所以，又，，所以，故C正确.对于A，因为长方体中与不一定垂直，故推不出，故A错误；对于B，因为长方体中与不一定相等，故推不出，故B错误；对于D，由B知，不能推出与垂直，而是中线，所以推不出，故D错误.故选：C10．【解】在直三棱柱中平面，对于①：因为点在棱上，所以，又，又，，，点在棱上，所以，，所以，当且仅当在点、在点时取等号，故①正确；对于②：如图将翻折到与矩形共面时连接交于点，此时取得最小值，因为，，所以，所以，即的最小值为，故②错误；对于③：如图建立空间直角坐标系，设，，，，，所以，，则点到直线的距离，当时，当时，，，则，所以当取最大值，且时，即当在点在点时点到直线的距离的最小值为，故③正确；故选：C11．【解】对选项A：根据对称性知与三条直线的夹角相等，则与平行的直线都满足条件，有无数条，错误；对选项B：根据对称性知平面与三条直线所成的角相等，则与平面平行的平面都满足条件，有无数个，错误；对选项C：如图所示建立空间直角坐标系，设正方体边长为，，，上一点，则，，，点到直线的距离为，同理可得到直线和的距离为，故上的点到三条直线的距离都相等，故有无数个，错误；对选项D：上的点到三条直线的距离都相等，故有无数个，正确；故选：D12．【解】过点作，垂足为，连接，当，高度一样，即时，一定有，理由如下：在正方体中，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，且平面，所以，即.所以当，高度一样，即时，一定有，此时满足条件的直线有无数条.故选：D.13.【解】如图1，连接与相交于点，则.如图2，将正方形沿对角线折起，折起后点记为．因为，，，平面，平面，所以平面，因为正方形边长为，所以,，又因为,所以,所以.所以四面体的体积为．故选：A14.【解】A：正方体中，而P为线段的中点，即为的中点，所以，故不可能平行，错；B：若为中点，则，而，故，又面，面，则，故，，面，则面，所以存在Q使得平面，对；C：由正方体性质知：，而面，故与面不平行，所以Q在线段上运动时，到面的距离不一定相等，故三棱锥的体积不是定值，错；D：构建如下图示空间直角坐标系，则，，且，所以，，若它们夹角为，则，令，则，当，则，；当则；当，则，；所以不在上述范围内，错.故选：B15．【解】因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，所以圆锥的底面半径为1，且圆锥的高，故体积为.故选：A16．【解】取边的中点为,连接,P是CE的中点，则,由于,平面平面,平面平面，平面,故平面,平面,故,在直角三角形中，,,要使最小，则最小，故当时，此时最小，故的最小值为,所以，、故选：C17．【解】由题知，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，令正方体棱长则，，，，，，，，，，设，对于①，当点T为棱的中点时，，则，不满足，所以点T不是棱的中点，故①错误.，因为所以，当时，，当时，取，，，，连结，，，，则，，，即所以四边形EFGH为矩形，因为，，所以，，又和为平面中的两条相交直线，所以平面EFGH，又，，所以为EG的中点，则平面EFGH，为使，必有点平面EFGH，又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形EFGH，又，，所以，则点的轨迹为矩形EFGH，故③正确面积为，即，故④正确又因为，，，则，即，所以，点在正方体表面运动，则，解得，所以，结合点的轨迹为矩形EFGH，分类讨论下列两种可能取得最小值的情况当，或时，，当，或时，因为，所以当，或时，取得最小值为，即，故②正确.综上所述：正确结论的序号是②③④故答案为：②③④.18．【解】取中点为,连接，因为为正三角形，所以，又因为平面，平面，所以,且平面，所以平面，,即到平面的距离为，又因为,平面,平面,所以平面，又因为是棱上一点，所以到平面的距离为,所以,故答案为:.19.【解】如图所示∵用一个平行于底面的平面截三棱锥，且为正三棱锥，是底面的中心∴三棱锥为正三棱锥，故①正确；∵正三棱锥的六条棱长均为,是底面的中心，∴三棱锥的高为,的高为，且,,∴，故②正确，∵点不与顶点，重合，∴，设的高为，则，得，∴，，在上，上，所以在上递增，上递减，故在上有最大值，无最小值，故③错误；当时，点分别为线段的三等分点，∴，且∴.故④正确;故答案为：①②④20．【解】将四棱锥PABCD补成正方体如图：则此四棱锥的外接球即为正方体的外接球，正方体的对角线长为，所以四棱锥的外接球的直径为，因此四棱锥的外接球的半径为故答案为：21．【解】对于①，由于在上运动，在上运动，所以的最小值就是两条直线之间距离，而，所以的最小值为；对于②，，而，所以四面体的体积为；对于③，由题意可知，当与重合，与重合时，，又根据正方体性质可知，，所以当为中点，与重合时，此时，故与垂直的不唯一，③错误；对于④，当为等边三角形时，，则此时.所以只需要与的夹角能等于即可.以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图