复变函数-哈尔滨工程大学省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

《复变函数与积分变换》zPN1/49《复变函数与积分变换》主讲教师：赵景霞zhaojingxia@2/49课程基本介绍课程名称：复变函数与积分变换开课课时：48课时考评方式：30分平时成绩（考勤+作业）70分卷面成绩（期末考试）答疑时间及地点：理学楼425周四、周五到11号楼书库购置作业本，价钱3元，必买3/49研究对象复变函数（自变量为复数函数）主要任务研究复变数之间相互依赖关系，详细地就是复数域上微积分。主要内容复变函数积分、级数、留数、保形映射，积分变换等。复数与复变函数、解析函数、课程基本介绍4/49学习方法复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内推广和发展，它们之间有许多相同之处。但又有不一样之处，在学习中要善于比较、区分、尤其要注意复数域上特有那些性质与结果。5/49复变函数发展过程复数是十六世纪人们在解代数方程时引进。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，因为对复数概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接收“虚数”。6/49直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步说明了复数几何意义和物理意义，澄清了复数概念，而且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面一些问题。复数才被人们广泛认可接收，复变函数论才能顺利建立和发展。复变函数发展过程7/49复变函数发展过程1774年，欧拉在他一篇论文中考虑了由复变函数积分导出两个方程。比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他关于流体力学论文中，就已经得到了它们。所以，以后人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力课时，作了更详细研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。8/49复变函数论全方面发展是在十九世纪，就像微积分直接扩展统治了十八世纪数学那样，复变函数这个新分支统治了十九世纪数学。当初数学家公认复变函数论是最丰饶数学分支，而且称为这个世纪数学享受，也有些人称赞它是抽象科学中最友好理论之一。复变函数发展过程9/49二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支联络也日益亲密。复变函数发展过程10/49第一章复数与复变函数第一讲复数及复平面学习关键点掌握复数意义及代数运算掌握复平面与复数表示方法掌握复数乘幂与方根11/49§1复数及其代数运算1.复数概念

复数z实部Re(z)=x;虚部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)12/49

普通,任意两个复数不能比较大小。复数相等2.四则运算z1=x1+iy1与z2=x2+iy2和、差、积和商为：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)13/49复数运算满足加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律和分配律。14/49共轭复数性质定义若z=x+iy,称

z=x-

iy为z共轭复数.(conjugate)3.共轭复数15/4916/4917/49解：18/49§2复数几何表示1.点表示横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面普通称为z-平面，w-平面等。19/492.向量表示法oxy(z)P(x,y)xy

z=0时，幅角无意义。

20/49幅角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，21/49当z落于一,四象限时，不变。

当z落于第二象限时，加p。

当z落于第三象限时，减p.

22/49依据向量运算及几何知识，我们能够得到两个主要不等式oxy(z)

z1z2

z1+z2oxy(z)

z1z2z2-z123/493.三角表示法能够用复数模与辐角来表示非零复数z4.指数表示法yox24/49例1例2例325/49例1解：26/49例2解：27/49例2解：28/49例3证实：29/49例3证实：30/49§3复数乘幂与方根1.复数乘积与商利用复数三角表示，我们能够更简单表示复数乘法与除法集合相等定理：31/49对除法，有将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。oxy(z)z1z2z2乘法几何意义32/49例1解：33/4934/492.复数乘幂则有：——德摩弗(DeMoivre)公式35/493.复数方根36/49而k取其它整数时，这些根又会重复出现。37/49例2例338/49例239/49例340/4941/49几何上，n个值是以原点为中心，为半径圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周正n边形n个顶点。xyo42/49ONzP4.复球面与无穷远点球极平面射影法取一个在原点O与z平面相切球面，过O点作z平面垂线与球面交于N点（称为北极或者球极）。对于平面上任一点z，用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面于P。43/49从几何上能够看出：z平面上每个以原点为圆心圆周对应于球面上某一个纬圈;N这个圆周以外点则对应于对应纬圈以北点，而且若点