复变函数-5省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

§2.3初等函数本节将微积分初等函数推广到复变函数情形，给出基本初等函数定义，研究这些基本初等函数性质,并说明它解析性。由此能够得到初等函数相关性质。1/27

2.3.1指数函数

2.3.2对数函数

2.3.3乘幂与幂函数

2.3.4三角函数和双曲函数

2.3.5.反三角函数与反双曲函数本节内容2/27指数函数性质定义2.3.1指数函数概念2.3.1指数函数3/27(3)

当Im

(z)=0，即z=x∈R时，

周期性质是实指数函数所没有。此性质表明复指数函数是实指数函数推广，能够简记由此性质可得到Euler公式：4/27例2.3.1例2.3.2例2.3.35/272.3.2对数函数定义2.3.2

指数函数反函数称为对数函数。即，对数概念把满足函数称为对数函数记为

由定义知与互为反函数。另首先由周期性可知是多值函数。6/27对数表示式证实令，则

对于多值函数，通常研究方法是将其分支化，引入主值概念。7/27对数主值支当时，一个分支称为对数函数主值，记为所以

对数函数性质下面仅讨论

性质。各个分支与主值相差常数2πi整数倍，所以只须将

性质搞清楚，就掌握了

各个分支性质。8/27此性质表明复对数函数是实对数函数推广。因为实部在实平面R2上除原点外处处连续，虚部在实平面上除原点和负实轴外处处连续。

多值函数不一样单值支分割线被称为割支线。9/27一些运算性质：例2.3.4

对于多值函数,复对数函数保持实对数

值得注意是以下式子并不成立:

负数在复变函数中能够求对数,不过零不能求对数。10/272.3.3.乘幂与幂函数乘幂定义2.3.3———－

多值——普通为多值设为复数，且，定义乘幂以下(1)当b=n(正整数)时,乘幂ab与an次幂意义一致。——此时为单值11/27

(2)当b=1/n(n正整数)时,乘幂ab与a

n次根意义一致。——此时为n值(3)当b为无理数或复数时，乘幂ab是无穷多值。12/27解例2.3.513/27

幂函数定义2.3.4w=zn在整个复平面上或去掉原点复平面是①幂函数性质(1)单值性和多值性设为复常数,称函数为,即次幂函数,记为

a单值解析函数.14/27w=z1/n是w=zn反函数,在整个复平面上是n值解析函数.15/27(2)解析性16/272.3.4.三角函数和双曲函数定义2.3.5定义三角函数以下：

定义双曲函数以下：17/27正弦与余弦函数性质证实18/27

用定义能够验证上述加法定理以及其它三角(3)三角恒等式能够得到以下性质。恒等式，如倍角公式、诱导公式等等，并由此19/27双曲正弦与双曲余弦函数性质双曲函数含有完全类似于三角函数性质。证实(3)双曲函数恒等式20/27

正弦函数和余弦函数不再含有有界性。实双曲函数不含有周期性。21/272.3.5.反三角函数和反双曲函数

以反余弦函数为例进行讨论，其余反函数研反余弦函数概念定义2.3.6反余弦函数表示式

三角函数和双曲函数含有周期性，所以它们究方式完全类似。反函数一定是多值函数。22/27整理化简得二次方程：解之得取反函数得证实即23/27其它反三角函数和反双曲函数反正弦函数反双曲正弦函数反双曲余弦函数24/27一个数学式子表示函数称为初等函数。初等函数其它有定义点处连续。初等函数连续性

以上给出了5类基本初等函数。由基本初等函数、常数，经过有限次四则运算和有限次复合运算，由单值初等函数在