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主讲：张文俊数学欣赏1/141数学观赏A数学概览主讲：张文俊深圳大学数学学院9月ASurvey

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Mathematics2/141InthisChapter数学及其发展1数学价值23/141SZU

第一节数学及其发展zwj@4/141数学是什么数学分支发展数学分类……主要内容数学发展轨迹5/141zwj@地王大厦有多高？

6/141zwj@地王大厦有多高？

文学家：巍然屹立、高大宏伟、高耸入云物理学家：拿根绳子去量一量数学家：类比：选取标尺，然后利用标尺与大厦投影长度及相同原理，准确地测量出大厦高度；转化：利用直角三角形直角边长与其对角依赖关系，把大厦高度测量转化为对仰视角测量。7/141zwj@名人语录

任何一门科学，只有当它用到数课时，才能得到真正完善发展。

——KarlMarx

数学是打开科学大门钥匙。

——RogenBacon

数学是我们时代有势力科学，它不声不响地扩大它所征服领域；那种不用数学为自己服务人将会发觉数学被他人用来反对他自己。

——J.F.Herbart8/141zwj@数学是什么？19/141一、数学是什么？

19世纪时由恩格斯给出定义

数学是研究现实世界数量关系和空间形式（简称：数与形）科学

按照恩格斯所说，

数与形是数学两大基本柱石之一。整个数学都是由此提炼、演变与发展起来。10/141zwj@一、数学是什么？

代数——数量关系科学，有序思维占主导，培养计算与逻辑思维能力；几何——空间形式科学，视觉思维占主导，培养直觉能力和洞察力；分析——数形关系科学，量变关系占主导，函数为对象、极限为工具，培养周密逻辑思维能力和建模能力。11/141zwj@一、数学是什么？

20世纪初定义

数学是研究模式与秩序科学

数学研究基本对象是各种各样集合以及在它们上面赋予各种结构。12/141zwj@一、数学是什么？

数学中基本集合包含：各种数集合；各类图形；各类函数；各种空间；普通抽象集合等……13/141zwj@一、数学是什么？

数学中基本结构有三种：代数结构（反应“合作”关系各种运算及其算律）;次序结构（反应对比关系大小、先后，反应隶属关系蕴涵）;拓扑结构（反应亲疏程度与规模大小距离）。14/141zwj@一、数学是什么？数学之比喻数学像游戏，离不开道具和规则。数学中，各种集合是道具，而在各种集合上赋予各种结构是规则。15/141zwj@一、数学是什么？数学之比喻数学像演戏，离不开演员和剧本。数学中，各种集合是演员，演员被分配了角色才能演戏。16/141zwj@一、数学是什么？

比如：实数集就是数学一个道具，要在其上赋予代数结构、序结构、拓扑结构，才能展开数学理论。17/141zwj@一、数学是什么？

集合与结构建立与组合有其特有标准和方法，这表达为数学独特思索方式。这些方式包含：模型化最优化公理化抽象化符号化类比化归分类18/141zwj@一、数学是什么？

这些是数学体系特征，也是数学能力表达。它们确保了数学体系简练性与严谨性数学结论可靠性与普适性数学方法有效性与便利性数学思想科学性与深刻性

19/141zwj@一、数学是什么？

分类研究是数学研究中主要思想，比如，数学中许多对象是经过定义引入，这种“定义”方法，本质上是对事物进行分类伎俩，它把符合某种性质事物划为一类，深入研究其基本性质。20/141zwj@一、数学是什么？

化归方法是数学中重要方法。这一方面表现在处理数学问题过程中，将复杂对象或陌生对象化归为更熟悉简单对象；其次也表现在数学结论中，数学中许多结论都表现为对一种数学对象多个等价刻画，数学中“充分必要条件”是描述这一现象典型语句，它本质上也是对数学对象性质化归。21/141zwj@一、数学是什么？

类比喻法也在数学中饰演着极为主要角色，许多陌生对象性质和研究方法都来自于数学家类比思想。22/141zwj@一、数学是什么？

抽象化与符号化是数学主要特征，它使得数学概念脱离了事物物质属性，形式简练、内涵丰富、应用广泛。23/141zwj@一、数学是什么？

公理化方法使数学丰富理论建立在最简单明了、不容怀疑事实基础之上，轻易明辨是非。比如，几何学正确性归结于诸如“等量加等量，总量仍相等”等公理体系正确性。公理化方法也是数学逻辑严密性一个表现。在人类每一个认识领域，当经验知识积累到相当数量时，就需要进行综合、整理，使之条理化、系列化，从而形成新概念理论以更新系统，以实现认识从感性阶段到理性阶段飞跃。从理性认识初级水平发展到高级水平，又表现为抽象程度更高公理化体系。24/141zwj@一、数学是什么？

最优化是数学追求目标之一；模型化是人类将实际问题转化为数学问题主要伎俩；二者都为人类圆满地处理实际问题发挥了主要作用。

25/141zwj@一、数学是什么？

新世纪人们对数学新认识：

“方法”或“工具”

“思维”

——“数学思维”；“学科”

“文化”

——“数学文化”；“知识”

“素质”

——“数学素质”。

26/141zwj@一、数学是什么？

“数学思维”是一个能够经过分析、类比等方法从众多事物现象中归纳出其共性和本质性抽象性思维，一个能够从已知事理中推知未知事理逻辑性思维，一个勇于突破常规、勇于创新创造性思维，一个用数学方法模拟与验证现实世界模式化思维。27/141zwj@一、数学是什么？

“数学文化”是当代科技文化关键，是当代科技形式语言，是理性主义观念。“数学素质”则是含有“数学思维”能力和利用数学思想方法处理实际问题能力一个特殊素质。28/141zwj@数学分类229/141二、数学分类

从纵向划分：初等数学和古代数学；变量数学；近代数学；当代数学。30/141zwj@二、数学分类

初等数学和古代数学：古希腊时期建立欧氏几何学；古代中国、古印度和古巴比伦时期建立算术；欧洲文艺复兴时期发展起来代数方程等。初等数学又叫常数数学。31/141zwj@二、数学分类

变量数学：是指17----19世纪初建立与发展数学。起点：解析几何；标志：微积分（数学分析）；特点：数形结合，引入了变量，能够研究运动。32/141zwj@二、数学分类

近代数学：是指19世纪数学。主要特征：分析严密化;代数抽象化;几何非欧化。33/141zwj@二、数学分类

当代数学：是指20世纪数学。起点：19Hilbert提出23个未处理数学问题；特点：学科分支增多，交叉增强(如：代数拓扑、微分拓扑、代数几何等）；基础：Cantor集合论。34/141zwj@二、数学分类

当代数学三大趋势：交织发展、高度综合、逐步走向统一趋势；边缘、综合、交叉学科与日俱增趋势；数学表现形式、对象和方法日益抽象化趋势。35/141zwj@二、数学分类

当代数学六大特征：从单变量到多变量，从低维到高维；从线性到非线性；从局部到整体，从简单到复杂；从连续到间断，从稳定到分岔；从准确到含糊；计算机应用。36/141zwj@二、数学分类

从横向划分：

基础数学（理论、纯粹数学）（代数、几何、分析，三大分支）应用数学计算数学概率统计运筹与控制论37/141zwj@二、数学分类

做出以上分类方法是按照中国几十年通例进行。耶鲁大学计算机科学教授拉斯兹洛（LâszlôLovâsz）在ICM98上载文“只有一个数学——不存在划分数学自然方法”，从数学三个新趋势：规模扩大、应用领域扩大、计算机工具介入，说明试图寻找对数学科学分类是徒劳。比如，他说：38/141zwj@二、数学分类

没有一个领域能够退回到它象牙塔里而对应用关上大门；也没有一个领域能够宣称自己是应用数学。39/141zwj@数学分支发展概观340/141三、数学分支发展概观按照恩格斯关于数学研究对象叙述，数学大致上分为三类：代数学、几何学、分析学。这其实包含了经典数学基本分支。经典数学研究是事物确实定数量关系和空间形式，康托经典集合论是其理论基础。41/141zwj@三、数学分支发展概观然而，现实生活中事物并非全都如此，它们现有确定性现象，也有随机现象，还有含糊现象，更有可改变事物现象，所以对应地就产生了研究随机现象随机数学，研究含糊现象含糊数学，研究可变现象可拓数学。42/141zwj@三、数学分支发展概观1几何学通论几何学就是人类文明对空间本质“认识论”；宇宙中全部事物皆存在于其中、发生于其内，并永远受着空间本质制约与孕育；而空间既完美又简单本质则是孕育着宇宙万物万象中至精至简根源。几何学目标就是去研究、了解空间本质，它是我们认识大自然、了解大自然自然起点和基石所在；也是整个自然科学启蒙者和奠基者；是种种科学思想和方法论自然发祥地。43/141zwj@三、数学分支发展概观研究对象:诸如“几何物体”和图形几何量，是空间形式抽象化;研究内容:各种几何量关系与相互位置;研究方法:试验方法、思辨方法、解析方法.44/141zwj@三、数学分支发展概观欧几里得几何学在认可一些自明公理前提下，按照严密演绎推理方法，一层一层地建立起来一套系统严密几何学知识体系。45/141zwj@三、数学分支发展概观解析几何1637年，法国数学家笛卡尔引入了坐标观念，实现了数形结合，创建了解析几何，使得人们能够用代数方法研究几何问题，实现了数学两大分支代数与几何联络。两个主要观念：点、数联络坐标观念，曲线方程表示观念。46/141zwj@三、数学分支发展概观向量几何也叫向量代数，该学科产生于十九世纪中叶，是由德国数学家哈密尔顿（W.R.Hamilton,1805—1865）和格拉斯曼（H.G.Grassmann，1809—1877）等创建。向量几何是不依赖于坐标系解析几何，是坐标几何返璞归真和精益求精，它使得几何和代数结合得愈加真切自然、直截了当。47/141zwj@三、数学分支发展概观分形几何分形几何概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）在1975年首先提出，被誉为大自然几何学。这是当代数学一个新分支，其本质是一个新世界观和方法论。它与动力系统混沌理论交叉结合，相辅相成；它认可世界局部可能在一定条件下、一定过程中、在某首先（形态，结构，信息，功效，时间，能量等）表现出与整体相同性；它认可空间维数改变既能够是离散，也能够是连续。48/141zwj@三、数学分支发展概观2代数学大观代数学是研究数科学，起源于古代中国和古埃及。早期代数学其实是研究数运算，所以叫做算术。“代数学”一词源自于拉丁文algebra（公元12世纪之后），但它又是从阿拉伯文“还原与对消”（al-jaberw’almuqabala）（公元8左右）或“方程科学”改变而来。49/141zwj@三、数学分支发展概观代数学符号化第一阶段是文字代数学，其主要标志是，代数书全部由文字表述。第二阶段是简写代数学，其主要标志是，采取以速记为目标简写形式表示数量、关系与运算。第三阶段是符号代数学。法国数学家韦达（Viete,Francois.1540—1603）对代数学符号化发展作出了主要贡献。50/141zwj@三、数学分支发展概观初等代数学初等代数是代数学古典部分，它是伴随解方程与方程组而产生并发展起来，是研究数字和文字代数运算理论和方法科学，更确切说，是研究实数和复数，以及以它们为系数多项式代数运算理论和方法数学分支学科。51/141zwj@三、数学分支发展概观初等代数中心问题是研究方程或方程组解存在性、解个数、解结构问题，因而长久以来都把代数学了解成方程科学。52/141zwj@三、数学分支发展概观初等代数基本对象包含：三种数——有理数、无理数、复数；三种式——整式、分式、根式。53/141zwj@三、数学分支发展概观初等代数中心对象方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程组。54/141zwj@三、数学分支发展概观初等代数基本内容代数式运算和方程求解，其中代数运算特点是只进行有限次运算。55/141zwj@三、数学分支发展概观初等代数运算十条规则：五条基本运算律（加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律）；两条等式基本性质（等式两边同时加上一个数，等式不变；等式两边同时乘以一个非零数，等式不变）；三条指数律（同底数幂相乘，底数不变指数相加；指数乘方等于底数不变指数相乘；积乘方等于乘方积）。56/141zwj@三、数学分支发展概观高等代数学高等代数是代数学发展到高级阶段总称，现在大学里开设高等代数，普通包含两部分：线性代数、多项式代数。57/141zwj@三、数学分支发展概观线性代数研究对象是线性方程组，研究内容是线性方程组解存在性、解个数、解结构问题，研究工具包含矩阵、行列式等。围绕线性方程组这些关键问题，线性代数不但要研究数，数运算，还有矩阵、向量、向量空间运算以及变换等。58/141zwj@三、数学分支发展概观多项式理论是以代数方程根计算和分布作为中心问题，也叫做方程论。研究多项式理论，主要在于探讨代数方程性质，从而寻找简易解方程方法。59/141zwj@三、数学分支发展概观3分析学大意分析学是指以微积分学为基本内容数学分支全称，包含微积分学、微分方程、复变函数、实变函数、泛函分析等。这里我们只介绍微积分等几个基础分支学。60/141zwj@三、数学分支发展概观微积分学简单地来说，微积分学是微分学和积分学总称，其研究对象是函数；研究工具是极限；研究内容包含函数微分、积分，以及联络微分与积分桥梁——微积分基本定理。61/141zwj@三、数学分支发展概观4随机数学一瞥在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联络和不停发展。在它们彼此间联络和发展中，依据它们是否有必定因果联络，能够分成截然不一样两大类：一类是确定性现象，另一类是不确定性现象，这类现象是在一定条件下，它结果是不确定。这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。

62/141zwj@三、数学分支发展概观从表面上看，随机现象似乎是杂乱无章、没有什么规律现象。但实践证实，假如同类随机现象大量重复出现，它总体就展现出一定规律性，叫做统计规律性。概率论和数理统计就是研究大量同类随机现象统计规律性数学学科，统称为随机数学。63/141zwj@三、数学分支发展概观5含糊数学概览现实生活中有许多含糊现象，比如，秃子、年轻、高个子、胖子、洁净，好、漂亮、善、热、远等。含糊数学就是研究怎样处理与把握这些含糊现象科学，其基础是1965年美国控制论教授、数学家查德（Zadeh,L.A.1921—）引入了含糊集合概念。含糊集合描述事物“是”与“非”程度。64/141zwj@三、数学分支发展概观6可拓学——中国人自己创建新学科全世界有多门学科，而中国人自己创建则极少。以研究处理矛盾问题规律和方法为内容新兴学科──可拓学，是由广东工业大学蔡文研究员创建。蔡文先生引进了物元概念，它是包含事物名称N、特征C和关于此特征量值V有序三元组R=（N，C，V）。65/141zwj@三、数学分支发展概观可拓学有两个理论支柱，一个是研究物元及其改变物元理论，一个是建立在可拓集合基础上可拓数学。物元理论着重研究物元可拓性，物元可变性，借以探索事物改变过程，寻求处理问题方法。所谓物元可拓性，即可开拓性，是指事物改变各种可能性，包含发散性、可扩性、共轭性和相关性。所谓物元可变性，即可变换性，是指在一定条件下，物元要素（事物、特征和量值）变换或分解。66/141zwj@三、数学分支发展概观可拓数学是对应用数学发展，它是建立在可拓集合基础上。在现实世界中，事物是可变，事物含有某种性质程度也是可变，所以，“是”与“非”及其程度都是能够转换。蔡文先生在1983年引入可拓集合概念，兼顾了这些原因。在此基础上，建立了可拓数学，从经典数学对数量关系和空间形式研究发展到对物元关系和物元空间形式研究，以矛盾问题转化为研究对象，成为可拓学一大理论支柱。应用可拓数学，使人们能够定量研究自然科学、社会科学和工程技术中各种矛盾问题。67/141zwj@数学形成与发展原因与轨迹

468/141四、数学形成与发展原因与轨迹

陈省身说：大致说来，数学和其它科学一样，它发展基于两个原因：（1）奇怪现象；（2）数学结果应用。结果把奥妙变为常识，复杂变为简单，数学便成为科学有利而不可缺乏工具。

69/141zwj@四、数学形成与发展原因与轨迹

1.数学形成与发展原因

实用、科学、哲学和美学原因，共同促进了数学形成与发展。70/141zwj@四、数学形成与发展原因与轨迹

第一动力：处理因社会需要而直接提出问题。这为人类认识与改造自然提供了工具与方法。初等数学欧几里德几何学、代数方程以及高等数学概率论、运筹学等，都是为处理实际问题而产生与发展。71/141zwj@四、数学形成与发展原因与轨迹

第二动力：提供自然现象合理结构。数学概念、方法和结论都是物理学基础。这些学科成就大小取决于它们与数学结合程度。图论、拓扑学、微分几何、复变函数等都是所以而产生。72/141zwj@四、数学形成与发展原因与轨迹

第三动力：智力方面好奇心和对纯思维强烈兴趣。数论、非欧几何、射影几何等都在很大程度上受这一动力影响。

73/141zwj@四、数学形成与发展原因与轨迹

第四动力：对美追求。数学除了其完美结构美以外，在证实和得出结论过程中，所利用想象和直觉也为创造者提供了高度美学上满足。数学美几乎表达在数学每一个分支中。74/141zwj@四、数学形成与发展原因与轨迹

2.数学发展轨迹数学发展基本模式是：

详细──抽象──详细。

从详细事物、现象（详细）出发，提炼出能够反应其本质结构（抽象）进行研究，研究结果再返回到（更多、更广泛）详细事物、对象（详细）中。75/141zwj@四、数学形成与发展原因与轨迹

在提炼与实现数学结构过程中，猜测与证实是两大基本支柱：数学结论孕育有赖于猜测，数学结论确实立离不开证实。76/141zwj@四、数学形成与发展原因与轨迹

数学发展基本思绪：特殊东西，加以推广，方便适用更广；普通东西，给予特殊化，以求更加好结果；复杂东西，加以分解，以求各个击破；零碎东西，加以组合，以求全貌；陌生东西，类比熟知，经过已知研究未知。77/141zwj@四、数学形成与发展原因与轨迹

3.数学发展启示龚升教授在他《微积分五讲》中强调:数学中每一步真正进展都与更有力工具和更简单方法发觉亲密联络着。这些工具和方法同时会有利于了解已经有理论并把陈旧、复杂东西抛到一边。数学科学发展这种特点是根深蒂固。78/141zwj@第二节数学价值zwj@79/141数学特点美学价值文化价值……主要内容教育价值

80/141zwj@起死回生问题引子81/141起死回生问题从前有一个国王，非常珍惜人才，即使是对囚犯也不例外。国王要求，对于死囚，在押赴刑场时能够给他一次生存机会。为此，在押赴囚犯到刑场途中，他们设计一个丁字路口，在这个路口有两个前进方向可供选择，一个通向刑场，另一个则通向光明大道。不过两个方向入口处各有一个士兵把守，这两个士兵中一个只讲真话不讲假话，而另一个则只讲假话不讲真话，除了他们二人之外，其它人并不知道他们中间谁是讲真话者。82/141zwj@起死回生问题国王给囚犯提供逃生机会是：允许囚犯只向其中一个士兵问唯一一个问题，然后依据士兵回答来自己决定朝哪个方向前进。假如走向刑场，则要执行死刑，假如走向光明大道，则能够自由逃生。83/141zwj@起死回生问题因为事先并不知道两个士兵中谁是说真话者，又不能多问一个问题以求识别真假，许多囚犯面对这么逃生机会不知所措，只好听天由命。有难免一死，有侥幸逃生。有一天，一个精通数学和逻辑囚犯，在这里依靠自己聪明才智，明白无误地为自己捡来一条性命。那么，他提了一个什么问题呢？84/141zwj@起死回生问题囚犯问其中一个士兵：假如我问他（另一个士兵）哪一条路通向光明大道，他会怎样回答？85/141zwj@名人语录

任何一门科学，只有当它用到数课时，才能得到真正完善发展。——马克思86/141zwj@名人语录

参加开发普通智力——不是为了今后某一职业特定需要，应看成是数学教育基本目标。

——F.Reidt87/141zwj@名人语录

音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能感人心弦，哲学使人取得智慧，科学可改进物质生活，但数学能给给予上一切。——克莱因88/141zwj@名人语录

展现在我们面前宇宙，像一本用数学语言写成书，若不掌握数学语言符号，就像在黑暗迷宫里游荡，什么也认识不清。——伽利略89/141zwj@从数学特点看

数学教育对人素质影响190/141一、数学特点数学特点概念抽象性推理严密性结论确实定性应用广泛性

91/141zwj@这四大特点反应了数学发展过程整个内蕴与外延本质。起点：概念抽象；过程：推理严密；结论：确定；结果：应用广泛。数学是用简明而又严格方式描述复杂现象。一、数学特点92/141zwj@1.概念抽象性数学来自于实践，其最本质东西是抽象，抽象是人类创造性思维最基本特征。数学概念、方法大多是经过对现实世界事物对象及其关系，经过分析、类比、归纳，找出其共性与本质特征而抽象得来。一、数学特点93/141zwj@对于一个数学家来说，主要不是他研究对象详细化，而是它们性质或本质规律。这种思维就是抽象思维，其关键点在于经过不停深刻地从小模式中抽象出必要性质，去除（或者综合）次要性质，用尽可能少条件来推出尽可能多结论。一、数学特点94/141zwj@“抽象”不是目标，不是人为地增加了解难度，而是要抓住事物本质。经过抽象，能够把表面复杂东西变得简单把表面混沌东西变得有序把表面无关东西得到统一一、数学特点95/141zwj@数学抽象特色：在数学抽象中只保留了量关系和空间形式，舍弃诸如色彩、品质等原因；（比如：数、点、线等原始概念）数学抽象是一级一级逐步提升，其抽象程度远远超出了其它学科普通抽象；（比如：从点到线，到面，到体，到欧氏空间，再到普通拓扑空间等）数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们相互关系之中。一、数学特点96/141zwj@所以，不但数学概念是抽象，其思想方法也是抽象（如加、减、群等），整个数学都是抽象。一、数学特点受过良好数学教育人，善于抓住事物本质，做事简练、不拖泥带水，含有统一处理一类问题能力，含有创新胆略和勇气。97/141zwj@2.推理严密性

在数学发展过程中，数学每前深入，都离不开严密逻辑推理。推理是从已知到未知合乎逻辑思维过程。从认识论角度来看，推理有三种：归纳推理类比推理演绎推理这也是数学主要推理方法。一、数学特点98/141zwj@演绎推理是从普通到特殊推理。先有一个普遍规律，然后从这个规律导出特定事例性质。它能够经过对事物一些已知属性，按照严密逻辑思维，推出事物未知属性。在数学演绎推理中分析必须细致，论证务求严谨，不允许用感知替换分析，用举例充当论证。一、数学特点99/141zwj@归纳推理是从个体认识群体，即从许多特例中总结出普通性普遍规律，是从特殊到普通推理。但完全归纳法是演绎推理。类比推理是从一个个体认识另一个个体。二者对培养人发散性思维和创造性思维含有主要作用。一、数学特点100/141zwj@人类创造创造开始于感性发散性思维，终止于理性收敛性思维。所以归纳与类比是人类探索世界、发觉新事物主要伎俩，许多主要猜测都是经过归纳与类比而提出。一、数学特点101/141zwj@二、判断推理

不论哪一个推理，都包含前提和结论两部分：前提是在推理过程中所利用已经有真实判断（这一点必须确保或假定是正确）；结论是人在头脑中经过推理过程所引出新判断。102/141zwj@二、判断推理演绎推理普通形式是三段式：大前提

：一个普通性普遍规律；小前提

：一个特殊对象判断；结论：这个特殊对象结论。103/141zwj@二、判断推理例：大前提：全部商品都有使用价值，小前提：粮食是商品，结论：所以，粮食是有使用价值。104/141zwj@演绎推理特点：1) 从少数已知事实出发，能够导出一个内容丰富知识体系，人类认识能力由此能够得到很大提升；2) 能够确保数学命题正确性，使数学立于不败之地；3) 能够克服仪器、技术等伎俩局限，填补人类经验之不足；4) 使人类认识范围从有限走向无限；5) 为人类提供了一个建构理论有效形式。一、数学特点105/141zwj@二、判断推理普通来讲，归纳推理与类比推理结论不能确保正确性；演绎推理结论则一定是正确——只要前提是正确。数学推理以演绎推理为主，间或使用其它推理。106/141zwj@所以，优异数学教育使人含有做事思绪开阔、举一反三类比与创新能力；含有化繁为简、分解困难归纳能力；含有做事思维严谨、思索周密、结构清楚、层次分明、有条理、无漏洞组织管理能力。一、数学特点107/141zwj@3.结论确实定性

“结论确实定性”是指，对任一事件，经过数学方法所得到判断或结论是确定，但它并不意味着任何事件发展都有唯一或确定结果。数学结论由演绎推理为主推理形成，演绎推理推理步骤要严格恪守形式逻辑各种法则，以确保从前提到结论推导过程中，每一个步骤在逻辑上都是准确无误。所以，利用数学方法从已知关系推求未知关系时，所得到结论含有逻辑上确定性和可靠性。一、数学特点108/141zwj@为何数学比其它一切科学受到特殊尊重，一个理由是它命题是绝对可靠和无可争辩，而其它一切科学命题在某种程度上都是可辩，而且经常处于会被新发觉事实推翻危险之中。……数学之所以声誉高，还有另一个理由，那就是数学给予精密自然科学以某种程度可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性

——爱因斯坦

一、数学特点109/141zwj@数学教育能培养人做事严厉认真态度，做事、做人目标明确，前后一致，表里如一。一、数学特点110/141zwj@4.应用广泛性

数学应用广泛性是其日渐突出一个特点，这不但表现在数学作为一个工具广泛应用，还在于数学素质为人类提供潜能。

一、数学特点111/141zwj@数学主要性更表达在，接收数学上严密逻辑推理训练而培养出以理性思维模式和归纳、类比、分析、演绎思维方法等为特征数学素质，它能够使人有很强适应能力、再生能力和移植能力。有了数学知识和数学素质做基础，就有了享受不尽财富。一、数学特点112/141zwj@数学概念抽象性、推理严密性、结论确实定性这三个特点同时决定了数学科学严谨、准确、可靠与普适性。一、数学特点113/141zwj@数学与人类文化2114/141二、数学与人类文化

文化是人类在社会历史发展过程中所创造对社会有主要影响物质财富与精神财富（价值、意义）总和，包含人为制订规范制度或历史传承下来风俗习惯，是人类长久形成大群集体公共人生，是人生行为模式和指导模式，是人本质之一。115/141zwj@数学产生于人类实际需要，作为一门最早发展起来学科，数学从来是人类文化一个主要组成部分，无数事实表明：一个时代总特征在很大程度上与这个时代数学活动亲密相关。

二、数学与人类文化

116/141zwj@

二、数学与人类文化

1.数学是一切科学基础2.数学是人类思维工具3.数学是理性精神4.信息时代就是数课时代117/141zwj@1.数学是一切科学基础数学是打开科学大门钥匙数学是一切科学得力助手和工具。她有时受其它科学问题刺激而产生和发展，有时也先走一步，领先发展，再取得应用。社会进步离不开科学，科学发展离不开数学。

二、数学与人类文化

118/141zwj@数学是科学语言：

对于外部世界进行研究主要目标，在于发觉上帝赋予它合理次序与友好，而这些是上帝以数学语言透露给我们——开普勒。

数学能以其不可比拟、无法替换数学语言（概念、公式、法则、定理、方程、模型等）对科学现象进行准确而简练描述。二、数学与人类文化

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数学语言相对自然语言优势简单化（即对自然语言进行简化）、清楚化（即克服自然语言中含糊不清毛病）扩展化（即扩充它表示范围）三个方面。由此，数学能对一切科学现象进行准确而简练描述。二、数学与人类文化

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在科学研究中利用数学语言好处：她含有单义性、确定性，防止发生歧义和引发混乱；她含有表示简练性，便于人们分析、比较、判断；利用数学语言将问题转化为数学模型进行推理、计算，能够节约人思维劳动，缩短研究过程，提升研究效率。二、数学与人类文化

121/141zwj@2.数学是人类思维工具数学思维不限于数学研究本身，她已经成为人类创新、创造源泉，是当代人文化素质一部分。对人类社会进步起到了极为主要作用。二、数学与人类文化

122/141zwj@3.数学是理性精神

数学作为文化一部分，其永恒主题是“认识宇宙，也认识人类自己”。在这个探索过程中，它追求一个完全确定、完全可靠知识，把理性思维力量发挥得淋漓尽致，是一个理性精神。它提供了一个思维方法与模式，提供了一个最有力工具，提供了一个思维合理性标准。二、数学与人类文化

123/141zwj@数学也充满着理性创新和实事求是科学精神，它不停为人们提供新概念、新方法，它促进着人类思想解放。数学家一个特点就是勇于怀疑自己。数学越发展，取得成就越大，数学家就越要问自己基础是不是巩固。越是在表面上看来没有问题地方，也就是数学基础部分，越要找出问题来。二、数学与人类文化

124/141zwj@4.信息时代就是数课时代数学发展，造成了电子计算机出现与应用。电子计算机发展，又使数学如虎添翼，结束了数学只用纸和笔手工时代，进入机器时代。依靠数学，计算机得以迅猛发展，使得人类已经进入了信息时代，计算机成为各行各业都离不开主要工具。信息时代就是数课时代，如今高新技术本质上就是一个数学技术。二、数学与人类文化

125/141zwj@数学美学价值3126/141三、数学美学价值美是自然，是一切事物生存和发展本质特征。数学是人们认识与改造自然工具，她反应是自然，当然包含着美。美学是研究现实中美，以及怎样去创造美、观赏美科学。127/141zwj@三、数学美学价值美好事物一定要具备一些客观上美特