C3-4导热微分方程及其定界条件-稳态导热省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

2-2导热微分方程式及定解条件作用：导热微分方程式及定解条件是对导热体数学描述，是理论求解导热体温度分布基础。热力学第一定律+傅里叶定律理论：导热微分方程式建立基础是：方法：对导热体内任意一个微小单元进行分析，依据能量守恒关系，建立该处温度与其它变量之间关系式。第1页高鹏.5传热学HeatTransfer一、导热微分方程推导1.物理问题描述三维非稳态导热体，且物体内有内热源（导热以外其它形式热量，如化学反应能、电能等）。2.假设条件(1)所研究物体是各向同性连续介质；(2)热导率、比热容和密度均为已知；(3)内热源均匀分布，强度为[W/m3]；(4)导热体与外界没有功交换。第2页高鹏.5传热学HeatTransfer3.建立坐标系，取分析对象（微元体）在直角坐标系中进行分析。xyzdxdydz第3页高鹏.5传热学HeatTransfer因为是非稳态导热，微元体温度随时间改变，所以存在内能改变；从各个界面上有导入和导出微元体热量；内热源产生热量。导入与导出净热量+内热源发烧量=热力学能增加（1）微元体热力学能（内能）增量4.能量改变分析:第4页高鹏.5传热学HeatTransfer（2）导入与导出微元体热量利用导热基本定律可写出各个表面上导入和导出微元体热量。沿x轴方向、经x表面导入热量：沿x轴方向、经x+dx表面导出热量：xyz第5页高鹏.5传热学HeatTransfer沿x

轴方向导入与导出微元体净热量沿y轴方向导入与导出微元体净热量沿z

轴方向导入与导出微元体净热量同理可得：第6页高鹏.5传热学HeatTransfer导入与导出净热量:（3）微元体内热源生成热量5.导热微分方程基本形式非稳态项三个坐标方向净导入热量内热源项第7页高鹏.5传热学HeatTransfer1.若导热系数也为常数2.若物性参数为常数且无内热源：二、一些详细情况下简化为材料扩散系数，单位：m2/s第8页高鹏.5传热学HeatTransfer3.若物性参数为常数、无内热源稳态导热：4.一维稳态含内热源导热：5.一维稳态无内热源导热：第9页高鹏.5传热学HeatTransfer1.圆柱坐标系（r,,z）三、其它坐标系中导热微分方程式第10页高鹏.5传热学HeatTransfer2.球坐标系（r,，）第11页高鹏.5传热学HeatTransfer四、导热过程定解条件

导热微分方程式理论基础：傅里叶定律+能量守恒。描写物体温度随时间和空间改变关系；没有包括详细、特定导热过程。是通用表示式。定解条件：使得微分方程取得某一特定问题解附加条件。对于非稳态导热问题，需要描述初始时刻温度分布初始条件，以及给出物体边界上温度或换热边界条件。稳态导热问题仅有边界条件。导热问题完整数学描述：导热微分方程+定解条件第12页高鹏.5传热学HeatTransfer导热问题常见边界条件有三类：1.第一类边界条件:指定边界上温度分布。0δxtw2tw1例：右图中最简单：tw=常数（稳态导热）非稳态导热：τ〉0，tw=f1（τ）第13页高鹏.5传热学HeatTransfer2.第二类边界条件:给定边界上热流密度。0δxqw例：右图中最简单：qw=常数（稳态导热）非稳态导热：τ〉0，qw==f2（τ）第14页高鹏.5传热学HeatTransfer3.第三类边界条件:给定边界面与流体间换热系数和流体温度，也称为对流换热边界。0δxhqwtf傅里叶定律：牛顿冷却定律：例：右图中第15页高鹏.5传热学HeatTransfer其它边界条件——处理复杂实际工程问题（1）辐射边界条件：导热物体表面与温度为Tc外界环境只发生辐射换热。（2）界面连续条件:发生在不均匀材料中导热问题，材料接触良好，则满足界面一和界面二上温度和热流密度连续条件。第16页高鹏.5传热学HeatTransfer课下作业：列出以下问题数学描述：1.一块厚度为d

平板，两侧温度分别为tw1和tw2。（1）导热系数为常数；（2）导热系数是温度函数。2.一块厚度为d

平板，平板内有均匀内热源，热源强度为，平板一侧温度为tw1，平板另一侧绝热。3.一块厚度为d

平板，平板内有均匀内热源，热源强度为，平板一侧绝热，平板另一侧与温度为tf

流体对流换热，且表面传热系数为h。第17页高鹏.5传热学HeatTransfer4.已知一单层圆筒壁内、外半径分别为r1、r2，导热系数

为常量，无内热源，内、外壁面维持均匀恒定温度tw1，tw2。rtw2r1r2tw1第18页高鹏.5传热学HeatTransfer2-3一维稳态导热稳态导热经过平壁导热,直角坐标系中一维问题。经过圆筒壁导热,圆柱坐标系中一维问题。经过球壳导热,球坐标系中一维问题。温度不随时间而改变。第19页高鹏.5传热学HeatTransfer一、经过平壁导热平壁长度和宽度都远大于其厚度，且平板两侧保持均匀边界条件，则该问题就能够归纳为直角坐标系中一维导热问题。0δxδ本章只讨论稳态情况，平壁两侧边界条件有给定温度、给定热流及对流边界等情况，另外还有平壁材料导热系数是否是常数，是否有内热源存在等区分。下面分别介绍。第20页高鹏.5传热学HeatTransfer1.无内热源，λ为常数，两侧均为第一类边界数学描述:对微分方程直接积分两次，得微分方程通解0δxt2t1第21页高鹏.5传热学HeatTransfer利用两个边界条件将两个积分常数代入原通解，可得平壁内温度分布以下t2t10δxt线性分布第22页高鹏.5传热学HeatTransfer利用傅立叶导热定律可得经过平壁热流量第23页高鹏.5传热学HeatTransferλ0、b为常数2.无内热源，变导热系数，两侧均为第一类边界数学描述:t2t10δxt若导热系数随温度线性改变第24页高鹏.5传热学HeatTransfer则导热微分方程变为对x积分一次得对x再次积分得微分方程通解利用边界条件最终得温度分布为抛物线形式第25页高鹏.5传热学HeatTransfer其抛物线凹向取决于系数b正负。当b>0，λ=λ0(1+bt)，伴随t增大，λ增大，即高温区导热系数大于低温区。所以高温区温度梯度dt/dx较小，而形成上凸温度分布。当b<0，情况相反。t2t10δxtb>0b<0第26页高鹏.5传热学HeatTransfer热流密度计算式为:或式中从中不难看出，λm为平壁两表面温度下导热系数值算术平均值，亦为平壁两表面温度算术平均值下导热系数值。t2t10δxt第27页高鹏.5传热学HeatTransfer多层平壁：由几层导热系数不一样材料组成复合平壁。3.经过多层平壁导热，两侧均为第一类边界对于类似这么问题，可采取热阻概念进行分析。在稳态、无内热源情况下，经过各层热流量相等。热流量也等于总温差比上总热阻。0xtδ1δ2l1l2t3t1t2第28页高鹏.5传热学HeatTransfer二、经过圆筒壁导热圆筒壁就是圆管壁面。当管子壁面相对于管长而言非常小，且管子内外壁面又保持均匀温度时，经过管壁导热就是圆柱坐标系上一维导热问题。rr2r1

r1

r

r2第29页高鹏.5传热学HeatTransfer1、经过单层圆筒壁导热(无内热源，λ为常数，两侧均为第一类边界)数学描述:积分上面微分方程两次得到其通解为:

t1

r1

t2

r

r2

第30页高鹏.5传热学HeatTransfer利用两个边界条件将两个积分常数代入原通解，可得圆筒壁内温度分布以下温度分布是一条对数曲线

t1

r1

t2

r

r2第31页高鹏.5传热学HeatTransfer经过圆筒壁热流量式中为经过圆筒壁导热热阻第32页高鹏.5传热学HeatTransfer2.经过多层圆筒壁导热采取热阻概念进行分析。在稳态、无内热源情况下，经过各层热流量相等。第33页高鹏.5传热学HeatTransfer三、经过球壳导热内、外半径分别为r1、r2，球壳材料导热系数为常数，无内热源，球壳内、外侧壁面分别维持均匀恒定温度t1、t2。数学描述:第34页高鹏.5传热学HeatTransfer温度分布:热流量:(2-24)第35页高鹏.5传热学HeatTransfer2-4经过肋片导热第36页高鹏.5传热学HeatTransfer2-4经过肋片导热肋片它是指那些从基础表面上伸展出来固体表面。肋主要作用是经过提升面积来提升传热量。第37页高鹏.5传热学HeatTransfer第38页高鹏.5传热学HeatTransfer一、肋片分类第39页高鹏.5传热学HeatTransfer二、主要问题（1）经过肋片散热热流量；（2）肋片上温度分布。第40页高鹏.5传热学HeatTransfer三、经过等截面直肋导热分析和计算h，t∞第41页高鹏.5传热学HeatTransfer若肋片长度方向温度不均能够忽略话，肋片中温度分布应是二维。不过，假如肋片很薄，导热系数很大，肋片厚度方向温差近似能够忽略，则，肋片中温度常仅是高度x函数。Hδx0dx将肋片表面散热量虚拟为肋片中内热源（吸热）来进行处理，所以，该问题最终可简化为一维、稳态、含有内热源导热问题。h，t∞第42页高鹏.5传热学HeatTransferHδx0dx导热微分方程内热源强度确实定：设横截面积为Ac，界面周长为P。对dx微元段进行分析。h，t∞第43页高鹏.5传热学HeatTransfer为了数学求解方便，令导热微分方程对应变成该导热微分方程通解为第44页高鹏.5传热学HeatTransfer第一个边界条件是在x=H边界处，有三种情况Hδx0dxh，t∞H0t0t∞xt0Ht0t∞xtH0t0t∞xt第45页高鹏.5传热学HeatTransfer采取第二种情况，顶端绝热用两个边界条件，能够得到两个未知常数C1和C2,最终，肋片中温度分布可表示为第46页高鹏.5传热学HeatTransfer由肋片散失全部热流量都必须经过肋根部，在此处应用傅立叶定律，可得h，t∞x0此时，肋片顶端温度可表示为第47页高鹏.5传热学HeatTransfer肋片效率：肋片实际散热量

与假定整个肋片表面都处于肋基温度t0时理想散热量

0比值。四、肋片效率Ht0t∞x0对于等截面直肋片其肋效率可表示为第48页高鹏.5传热学HeatTransfer肋片散热量工程计算方法：（2）计算出理想情况下散热量

0=hA(t0-t

)（1）由图线或计算公式得到

f（3）由式=f

0

计算出实际散热量

第49页高鹏.5传热学HeatTransfer例题2-5第50页高鹏.5传热学HeatTransfer五、肋片优化1、最优肋片型式tHt0t∞x0假定表面传热系数h保持常数，对流散热热流密度q将沿肋高逐步下降，所以，肋基处材料利用率显著高于靠近肋端部分，最正确肋片型式就是希望单位重量肋片材料发挥相同作用，或者说在给定散热量下，使肋材料消耗量最小。第51页高鹏.5传热学HeatTransfer理论研究表明肋片外形是圆弧