人教B版（2023）选修第三册5.3等比数列（含答案）

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（共20题）

一、选择题（共13题）

已知正项等比数列的公比为，若，则的最小值等于

A．B．C．D．

在等比数列中，已知，，则公比的值为

A．或B．或C．D．

已知数列是以为公比的等比数列．若，则数列是

A．以为公比的等比数列B．以为公比的等比数列

C．以为公比的等比数列D．以为公比的等比数列

已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则的值是

A．B．C．D．

在等比数列中，若，，则的前项和为

A．B．C．D．

若等比数列的各项均为正数，，，则

A．B．C．D．

在正项（各项都为正数）等比数列中，，，则的值为

A．B．C．D．

设为等比数列的前项和，，则等于

A．B．C．D．

设数列的前项和为．若，则等于

A．B．C．D．

数列对任意都满足，且，，，则

A．B．C．D．

数列满足，则该数列从第项到第项的和为

A．B．C．D．

已知是首项为的等比数列，是的前项和，且，则数列的前项和为

A．或B．或C．D．

已知，，成公比为的等比数列，，且，，也成等比数列，则的值为

A．或B．

C．或D．或或

二、填空题（共4题）

数列中，，为的前项和，若，则．

若等差数列和等比数列满足，，则．

若与的等差中项与等比中项相等，则实数的值为．

如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为，由下往上的六个点：，，，，，的横、纵坐标分别对应数列的前项，如表所示：

按如此规律下去，则．

三、解答题（共3题）

已知数列满足，．

(1)证明是等比数列，并求的通项公式；

(2)求数列的前项和．

已知数列是首项为，公比的等比数列，设，数列满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和；

(3)若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．

在数列中，，（，是常数）．

(1)当，时，求数列的通项公式；

(2)当，时，设，求证数列是等比数列；

(3)在（）的条件下，记，，求证：．

答案

一、选择题（共13题）

1.【答案】C

【解析】因为正项等比数列的公比为，且，

所以，

所以，

所以，当且仅当时取等号．

2.【答案】B

3.【答案】A

【解析】．

4.【答案】C

【解析】由等差中项的性质可得，

所以，

由等比中项的性质可得，

所以，

因此，

5.【答案】B

6.【答案】D

【解析】设等比数列的公比为，由等比数列的性质可知，又，

所以，

所以，

因为数列的各项均为正数，

所以．

所以．

7.【答案】A

8.【答案】D

【解析】因为，

所以，

解得，

则．

故选D．

9.【答案】D

10.【答案】C

11.【答案】C

12.【答案】C

【解析】设数列的公比为．

由题意可知，且，解得，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

由求和公式可得．

13.【答案】C

【解析】因为，，成公比为的等比数列，，

所以，，

因为等比数列中每一项都不为零，

所以，

因为，，也成等比数列，

所以，

即，

把选项中的值代入以上等式进行检验，

得到，合题意．

二、填空题（共4题）

14.【答案】

【解析】因为在数列中，，，

所以数列是首项为，公比为的等比数列．

因为，所以，

即，解得．

15.【答案】

【解析】由，得，则，

由，得，则．

故．

16.【答案】

【解析】因为与的等差中项与等比中项相等，

所以，

解得．

17.【答案】

【解析】，，，，，，，，这个数列的规律是奇数项为，，，，，，偶数项为，，，，故，，故．

三、解答题（共3题）

18.【答案】

(1)，，

所以是以为首项，为公比的等比数列，，

所以．

(2)

19.【答案】

(1)由题意知，，

因为，

所以．

(2)所以，

于是，

两式相减得，

所以．

(3)因为

所以当时，，

当时，，即，

所以当时，取最大值是，

又对一切正整数恒成立，

所以，

即得或．

20.【答案】

(1)当，时，，

所以，

因为