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文档简介
PAGE9-二十七抛物线及其标准方程(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.若点P到点(0,2)的距离比它到直线y=-1的距离大1,则点P的轨迹方程为()A.y2=4xB.x2=4yC.y2=8xD.x2=8y【解析】选D.因为点P到点(0,2)的距离比它到直线y=-1的距离大1,所以点P到点(0,2)的距离等于它到直线y=-2的距离,所以点P的轨迹是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,2))为焦点,y=-2为准线的抛物线,则点P的轨迹方程是x2=8y.【补偿训练】动点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x,y))到点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3,0))的距离比它到直线x+2=0的距离大1,则动点P的轨迹是().A.椭圆 B.双曲线C.双曲线的一支 D.抛物线【解析】选D.因为动点到点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3,0))的距离比它到直线x=-2的距离大1,所以动点到点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3,0))的距离等于它到直线x=-3的距离,所以由抛物线的定义知:该动点的轨迹是以点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3,0))为焦点,以直线x=-3为准线的抛物线.2.(多选题)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(m,-2)到焦点的距离为4,则m的值为()A.4B.-2C.-4D.2【解析】选AC.由题可设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),由定义知点P到准线的距离为4,故eq\f(p,2)+2=4,所以p=4,所以x2=-8y.将点P的坐标代入x2=-8y,得m=±4.3.在抛物线y2=-4x上有一点P,P到椭圆eq\f(x2,16)+eq\f(y2,15)=1左顶点的距离最小,这个最小值为()A.2eq\r(3)B.2+eq\r(3)C.eq\r(3)D.2-eq\r(3)【解析】选A.设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x,y)),椭圆eq\f(x2,16)+eq\f(y2,15)=1左顶点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-4,0)),所以P到椭圆eq\f(x2,16)+eq\f(y2,15)=1左顶点的距离为d=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+4))2+y2),而y2=-4x,所以d=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+4))2+y2)=eq\r(x2+4x+16)=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+2))2+12)≥2eq\r(3),当且仅当x=-2时取等号,即P到椭圆eq\f(x2,16)+eq\f(y2,15)=1左顶点的距离的最小值为2eq\r(3).4.已知抛物线Z:x2=4y的焦点为F,圆F:x2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y-1))2=4与抛物线Z在第一象限的交点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m,\f(m2,4))),直线l:x=teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<t<m))与抛物线Z的交点为A,直线l与圆F在第一象限的交点为B,则△FAB周长的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3,5))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4,6))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5,7))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6,8))【解析】选B.由抛物线x2=4y得:Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,1)),准线为y=-1;设x=t与y=-1交于点D,由抛物线定义知:eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF))=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AD));由圆F:x2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y-1))2=4知:eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF))=2;由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2=4y,,x2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y-1))2=4,,x>0,y>0,))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=2,,y=1,))即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2,1)),则m=2,设Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xB,yB)),因为0<t<m=2,所以1<yB<3,所以△FAB的周长为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF))+eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF))+eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AD))+eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF))+eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF))+eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BD))=2+yB+1=yB+3,因为yB+3∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4,6)),所以△FAB周长的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4,6)).5.抛物线y=ax2的准线方程为y=-1,则实数a的值是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.-eq\f(1,4)D.-eq\f(1,2)【解析】选A.由条件知a≠0,则y=ax2可以变形为x2=eq\f(1,a)y,由于准线是y=-1,可知a>0,抛物线标准方程可设为x2=2py(p>0),2p=eq\f(1,a),则p=eq\f(1,2a),又由于-eq\f(p,2)=-1,知p=2,所以eq\f(1,2a)=2,解得a=eq\f(1,4).6.已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且直线l经过抛物线的焦点F,A点的坐标为(8,8),则线段AB的中点到准线的距离是()A.eq\f(25,4)B.eq\f(25,2)C.eq\f(25,8)D.25【解析】选A.抛物线的焦点坐标为(2,0),直线l的方程为y=eq\f(4,3)(x-2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=\f(4,3)(x-2),,y2=8x))得B点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),-2)),所以|AB|=|AF|+|BF|=2+8+2+eq\f(1,2)=eq\f(25,2),所以线段AB的中点到准线的距离为eq\f(25,4).二、填空题(每小题5分,共10分)7.一种卫星接收天线如图所示,其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚集到信号装置(信号装置安装在抛物线的焦点处).已知接收天线的口径(直径)为5m,深度为1m,则信号装置与卫星接收天线中心O的距离为________.【解析】如图,建立平面直角坐标系:设抛物线的方程为y2=2pxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p>0)),利用已知条件可得:点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(5,2)))在抛物线上,所以eq\f(25,4)=2p,则eq\f(p,2)=eq\f(25,16),所以信号装置与卫星接收天线中心O的距离为eq\f(25,16)m.答案:eq\f(25,16)m8.已知两个点A(-2,0),B(2,0),在x轴上任取一点P,过P作x轴的垂线m,则以B为圆心,以线段AP的长为半径的圆与直线m的交点的轨迹方程为______.【解析】方法一:设点M是轨迹上任意点,过点M作直线l:x=-2的垂线,垂足为N,连接MB,则MN=MB,所以根据抛物线的定义可得点M的轨迹是以l:x=-2为准线,以B为焦点的抛物线,所以p=4,所以轨迹方程为y2=8x.方法二:设点M的横坐标为x,纵坐标为y,在直角三角形BPM中,由勾股定理得MP2=AP2-BP2,所以y2=(x+2)2-(x-2)2=8x,所以轨迹方程为y2=8x.答案:y2=8x三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知动点P(x,y)(x≥0)到定点F(2,0)的距离减去到y轴的距离等于2.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过F作斜率为k的直线l与轨迹C相交于A,B两点,线段AB的中垂线与x轴相交于N,求eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(NF)))的值.【解析】(1)根据题意可知,点P(x,y)(x≥0)到定点F(2,0)的距离等于它到直线x=-2的距离,所以动点P的轨迹为抛物线,由eq\f(p,2)=2可得p=4,即轨迹C的方程为y2=8x.(2)设直线l:x=my+2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m≠0)),Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1,y1)),Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2,y2)),由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=my+2,,y2=8x))可得,y2-8my-16=0,所以y1+y2=8m,y1y2=-16,x1x2=eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y1y2))2,64)=4,x1+x2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(my1+2))+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(my2+2))=meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y1+y2))+4=8m2+4,于是eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1+2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2+2))=x1x2+2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1+x2))+4=4+16m2+8+4=16eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2+1)),AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4m2+2,4m)),所以线段AB的中垂线方程为y-4m=-m·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4m2+2)))),令y=0,可得Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4m2+6,0)),所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(NF))=4m2+4,故eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(NF)))=eq\f(16\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2+1)),4m2+4)=4.10.已知动点P到点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4),0))的距离比到直线x=-eq\f(5,4)的距离小1.(1)求动点P的轨迹E的方程.(2)已知直线l与E交于A,B两点,M是线段AB的中点,若|AB|=4,求点M到直线x=-eq\f(5,4)距离的最小值及此时点M的坐标.【解析】(1)因为动点P到点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4),0))的距离比到直线x=-eq\f(5,4)的距离小1,所以动点P到点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4),0))的距离等于它到直线x=-eq\f(1,4)的距离,所以由抛物线的定义得动点P的轨迹是以点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4),0))为焦点、以直线x=-eq\f(1,4)为准线的抛物线,且焦准距为p=eq\f(1,2),所以动点P的轨迹E的方程为y2=x.(2)过点M作直线x=-eq\f(5,4)的垂线,垂足为N,交准线于C,过A,B作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,则|MN|=|MC|+1=eq\f(1,2)(|AA1|+|BB1|)+1=eq\f(1,2)(|AF|+|BF|)+1≥eq\f(1,2)|AB|+1=3,所以点M到直线x=-eq\f(5,4)距离的最小值是3,当且仅当A,B,F三点共线时取等号,设AB方程为x=ky+eq\f(1,4),A(x1,y1),B(x2,y2),eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=ky+\f(1,4),,y2=x,))所以y2-ky-eq\f(1,4)=0,所以4y2-4ky-1=0,所以y1+y2=k,y1y2=-eq\f(1,4),所以(y1-y2)2=k2-4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,4)))=k2+1,(x1-x2)2=k2(y1-y2)2=k2(k2+1),所以|AB|=eq\r((x1-x2)2+(y1-y2)2)=k2+1=4,所以k=±eq\r(3),又Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1+x2,2),\f(y1+y2,2))),eq\f(x1+x2,2)=eq\f(k(y1+y2)+\f(1,2),2)=eq\f(k2+\f(1,2),2)=eq\f(3+\f(1,2),2)=eq\f(7,4),eq\f(y1+y2,2)=eq\f(k,2)=±eq\f(\r(3),2),所以M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4),±\f(\r(3),2))).(30分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A.2eq\r(5)-1B.2eq\r(5)-2C.eq\r(17)-1D.eq\r(17)-2【解析】选C.由抛物线定义可知,点P到准线的距离可转化为其到焦点F的距离,即求|PQ|+|PF|的最小值.设圆的圆心为点C,因为|PQ|≥|PC|-1,所以|PQ|+|PF|≥|PC|-1+|PF|≥|FC|-1=eq\r(17)-1,故选C.2.若抛物线x2=8y上一点P到焦点的距离为8,则点P的纵坐标为()A.6B.±6C.7D.±4eq\r(3)【解析】选A.设点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x,y)),因为抛物线方程为x2=8y,所以其准线方程为y=-2,又因为抛物线上点P到焦点的距离为8,由抛物线的定义得:y-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-2))=8,即y=6,所以点P的纵坐标为6.3.(多选题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程可能为()A.y2=x B.y2=2xC.y2=4x D.y2=16x【解析】选CD.易知抛物线的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2),0)).由抛物线的定义,得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5-\f(p,2),\r(2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5-\f(p,2)))))).设N点坐标为(0,2).因为圆过点N(0,2),所以NF⊥NM,即eq\f(2,-\f(p,2))×eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5-\f(p,2))))-2)),5-\f(p,2))=-1.①设eq\r(p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5-\f(p,2))))=t,则①式可化为t2-4eq\r(2)t+8=0,解得t=2eq\r(2),即p2-10p+16=0,解得p=2或p=8.故抛物线的方程可能为y2=4x或y2=16x.4.如果P1,P2,…,Pn是抛物线C:y2=4x上的点,它们的横坐标依次为x1,x2,…,xn,F是抛物线C的焦点,若x1+x2+…+xn=10,则|P1F|+|P2F|+…+|PnF|等于()A.n+10 B.n+20C.2n+10 D.2n+20【解析】选A.由抛物线的方程y2=4x可知其焦点为(1,0),准线为x=-1,由抛物线的定义可知|P1F|=x1+1,|P2F|=x2+1,…,|PnF|=xn+1,所以|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=x1+1+x2+1+…+xn+1=(x1+x2+…+xn)+n、=n+10.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点,点A在圆C:(x+1)2+(y-5)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值是________.【解析】依题意,由点M向抛物线x2=4y的准线l:y=-1引垂线,垂足为M1(图略),则有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|,结合图形可知|MA|+|MM1|的最小值等于圆心C(-1,5)到y=-1的距离再减去圆C的半径,即等于6-1=5,因此|MA|+|MF|的最小值是5.答案:56.若抛物线y2=2x上一点M到坐标原点O的距离为eq\r(3),则点M到抛物线焦点的距离为________.【解析】设M(x,y),则由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2=2x,,x2+y2=3,))得x2+2x-3=0.解得x=1或x=-3(舍).所以点M到抛物线焦点的距离d=1-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))=eq\f(3,2).答案:eq\f(3,2)三、解答题(每小题10分,共20分)7.某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成,尺寸如图所示,某卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3米,车与箱共高4.5米,问此车能否通过此隧道?说明理由.【解析】不能.理由如下:建立如图所示的平面直角坐标系,则B(-3,-3),A(3,-3).设抛物线方程为x2=-2py(p>0),将B点的坐标代入,得9=-2p·(-3),所以p=eq\f(3,2),所以抛物线方程为x2=-3y(-3≤y≤0).因为车与箱共高4
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