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数学发展史第1页当对数认识变得越来越明确时，人们感到有必要以某种方式来表示事物这一属性，于是造成了记数。

手指计数：利用两只手十个手指。亚里士多德指出：十进制广泛采取，只不过是我们绝大多数人生来含有10个手指这一事实结果。石子记数：在地上摆小石子，但记数石子堆极难长久保留。结绳记数：在一根绳子上打结来表示事物多少。比如今天猎到五头羊，就以在绳子上打五个结来表示；约定三天后再见面，就在绳子上打三个结，过一天解一个结。刻痕记数：1937年在维斯托尼斯（摩拉维亚）发觉一根40万年前幼狼前肢骨，7英寸长，上面有55道很深刻痕。这是已发觉用刻痕方法计数最早资料。直到今天，在欧、亚、非大陆一些地方，依然有一些牧人用在棒上刻痕方法来计算他们牲畜。第2页古中国数学———《九章算术》第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积计算方法。包含长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积计算方法。另外还系统地讲述了分数四则运算法则，以及求分子分母最大条约数等方法。第二章“粟米”：谷物粮食按百分比折换；提出百分比算法，称为今有术；衰分章提出百分比分配法则，称为衰分术；第三章“衰分”：百分比分配问题；介绍了开平方、开立方方法，其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早多位数和分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长久领先世界基础。第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等；第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术处理赋役合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，组成了包含今天正、反百分比、百分比分配、复百分比、连锁百分比在内整套百分比理论。西方直到15世纪末以后才形成类似全套方法。第3页第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型盈亏问题，以及若干能够经过两次假设化为盈不足问题普通问题解法。这也是处于世界领先地位结果，传到西方后，影响极大。第八章“方程”：一次方程组问题；采取分离系数方法表示线性方程组，相当于现在矩阵；解线性方程组时使用直除法，与矩阵初等变换一致。这是世界上最早完整线性方程组解法。在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整线性方程解法法则。这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术——正负数加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数乘除法。这是世界数学史上一项重大成就，第一次突破了正数范围，扩展了数系。外国则到7世纪印度婆罗摩及多才认识负数。

第九章“勾股”：利用勾股定理求解各种问题。其中绝大多数内容是与当初社会生活亲密相关。提出了勾股数问题通解公式：若a、b、c分别是勾股形勾、股、弦，则，m>n。在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式几个特殊情况，直到3世纪丢番图才取得相近结果，这已比《九章算术》晚约3个世纪了。勾股章还有些内容，在西方却还是近代事。比如勾股章最终一题给出一组公式，在国外到19世纪末才由美国数论学家迪克森得出。第4页初等数学开创芝诺四个悖论：第一个悖论

是运动不存在，理由是运动物体抵达目标地之前必须到大半路，而到大半路之前又必须到大半路半路......如此下去，它必须经过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到。第二个悖论是跑得很快阿希里赶不上在他前面乌龟，因为乌龟在他前面时，它必须首先抵达乌龟起点，然后用第一个悖论逻辑，乌龟老在他前面。这两个悖论是反对空间、时间无限可分观点；而第三、第四悖论是反对空间、时间又不可分间隔组成。第三个悖论是说：“飞矢不动”，因为在某一时间间隔，飞矢总是在某个空间间隔中确定位置上，因而是静止。第四个悖论是游行队伍悖论，内容大致相同。这说明希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”矛盾。第5页欧几里得———几何原本五条公理

1.等于同量量彼此相等；

2.等量加等量，其和相等；

3.等量减等量，其差相等；

4.彼此能重合物体是全等；

5.整体大于部分。五条公设

1.过两点能作且只能作一直线；

2.线段(有限直线)能够无限地延长；

3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；

4.凡是直角都相等；

5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。第6页

阿基米德《砂粒计算》是专讲计算方法和计算理论一本著作。阿基米德要计算充满宇宙大球体内砂粒数量，他利用了很奇特想象，建立了新量级计数法，确定了新单位，提出了表示任何大数量模式，这与对数运算是亲密相关。《圆度量》利用圆外切与内接９６边形，求得圆周率π为：＜π＜这是数学史上最早，明确指出误差程度π值。他还证实了圆面积等于以圆周长为底、半径为高正三角形面积；使用是穷举法。《球与圆柱》熟练地利用穷竭法证实了球表面积等于球大圆面积四倍；球体积是一个圆锥体积四倍，这个圆锥底等于球大圆，高等于球半径。阿基米德还指出，假如等边圆柱中有一个内切球，则圆柱全方面积和它体积，分别为球表面积和体积1.5倍。第7页《抛物线求积法》研究了曲线图形求积问题，并用穷竭法建立了这么结论：“任何由直线和直角圆锥体截面所包围弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高三角形面积三分之四。”他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。《论螺线》是阿基米德对数学出众贡献。他明确了螺线定义，以及对螺线面积计算方法。在同一著作中，阿基米德还导出几何级数和算术级数求和几何方法。《平面平衡》是关于力学最早科学论著，讲是确定平面图形和立体图形重心问题。《浮体》，是流体静力学第一部专著，阿基米德把数学推理成功地利用于分析浮体平衡上，并用数学公式表示浮体平衡规律。《论锥型体与球型体》讲是确定由抛物线和双曲线其轴旋转而成锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成球型体体积。阿基米德理论为几何和微积分开创写下了不可磨灭一章第8页

以后，伴随托勒密、尼可马修斯、丢番图突出贡献，使得初等数学发展趋向完善，我们中学阶段学习也就是他们结果。自此以后，数学终于成为了一门独立学科，而且分为了几何与代数两大分支，为后人铺下了一条光明大道。托勒密丢番图阿基米德第9页笛卡尔变量

他引入了变量概念，于是运动进入了数学，微积分产生也就显得非常自然。而且当代a,b,c与x,y,z等符号也是笛卡尔首先使用。在笛卡儿时代，代数还是一个比较新学科，几何学思维还在数学家头脑中占有统治地位。笛卡尔思想关键：把几何学问题归结成代数形式问题，用代数学方法进行计算、证实，从而到达最终处理几何问题目标。依照这种思想他创建了我们现在熟知“解析几何学”。第10页1637年，笛卡尔发表了《几何学》，创建了平面直角坐标系，用平面上一点到两条固定直线距离来确定点位置，用来描述空间上点。欧拉—笛卡尔公式：在任意凸多面体中，设V为顶点数，E为棱数，F是面数，则V-E+F=2。该公式最早被笛卡尔证实。笛卡尔叶形线：首先由笛卡尔在1638年提出，他从叶形线隐式方程为极坐标中方程为依据，从自明直观公理出发，利用数学逻辑演绎，推出结论。这种方法和培根所提倡试验归纳法结合起来，经过惠更斯和牛顿等人综合利用，成为物理学尤其是理论物理主要方法。第11页微积分创建

到了十七世纪，有许多科学问题需要处理，这些问题也就成了促使微积分产生原因。归结起来，大约有四种主要类型问题：第一类是研究运动时候直接出现，也就是求即时速度问题。第二类问题是求曲线切线问题。第三类问题是求函数最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成面积、曲面围成体积、物体重心、一个体积相当大物体作用于另一物体上引力。十七世纪许多著名数学家、天文学家、物理学家都为处理上述几类问题作了大量研究工作，如法国费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国巴罗、瓦里士；德国开普勒；意大利卡瓦列利等人都提出许多很有建树理论。为微积分创建做出了贡献。十七世纪下半叶，在前人工作基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己国度里独自研究和完成了微积分创建工作，即使这只是十分初步工作。他们最大功劳是把两个貌似毫不相关问题联络在一起，一个是切线问题（微分学中心问题），一个是求积问题(积分学中心问题)。牛顿和莱布尼茨建立微积分出发点是直观无穷小量，所以这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称起源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑。第12页艾萨克·牛顿牛顿一项被广泛认可成就是广义二项式定理，它适合用于任何幂。他发觉了牛顿恒等式、牛顿法，分类了立方面曲线（两变量三次多项式），为有限差理论作出了重大贡献，并首次使用了分式指数和坐标几何学得到丢番图方程解。他用对数趋近了调和级数部分和（这是欧拉求和公式一个先驱），并首次有把握地使用幂级数和反转（revert）幂级数。他还发觉了π一个新公式。第13页戈特弗里德·威廉·莱布尼茨莱布尼茨曾讨论过负数和复数性质，得出复数对数并不存在，共扼复数和是实数结论。在以后研究中，莱布尼茨证实了自己结论是正确。他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式概念，提出行列式一些理论，另外，莱布尼茨还创建了符号逻辑学基本概念。第14页数学方法转变几何方法解析方法第15页莱昂哈德·欧拉

他对微分方程理论作出了主要贡献。他还是欧拉近似法创始人，这些计算法被用于计算力学中。此中最有名被称为欧拉方法。在数论里他引入了欧拉函数。自然数欧拉函数被定义为小于而且与互质自然数个数。比如，，因为有四个自然数1，3，5和7与8互质。在分析领域，是欧拉综合了莱布尼兹微分与牛顿流数。他在1735年因为处理了长久悬而未决贝塞尔问题而取得名声：其中是黎曼函数。欧拉将虚数幂定义为以下公式:这就是欧拉公式，它成为指数函数中心。在初等分析中，从本质上来说，要么是指数函数变种，要么是多项式，二者必居其一。被理查德·费曼称为“最卓越数学公'”则是欧拉公式一个简单推论（通常被称为欧拉恒等式）：在1735年，他定义了微分方程中有用欧拉-马歇罗尼常数：他是欧拉-马歇罗尼公式发觉者之一，这一公式在计算难于计算积分、求和与级数时候极为有效。第16页高等数学完善十九世纪是数学发展史上一个伟大转折世纪，它突出地表现在两个方面：首先是近代数学主题部分发展成熟了，经过一个多世纪数学家们努力，它三个组成部分取得了极为主要成就：微积分发展成为数学分析，方程论发展成为高等代数，解析几何发展成为高等几何，这就为近代数学向当代数学转变准备了充分条件。令首先，近代数学基本思想和基本概念，在这一时期中发生了根本改变：在分析学中，傅立叶级数论产生和建立，使得函数概念有了重大突破；在代数学中，伽罗瓦群论产生，使得代数运算概念有了重大突破；在几何学中，非欧几何诞生在空间概念方面有了重大突破，这三项突破促使近代数学快速向当代数学转变。十九世纪还有一个独特贡献，就是数学基础研究形成了三个理论：实数理论、集合论和数理逻辑，这三个理论建立为即将到来当代数学准备了更为深厚基础。第17页三大数学危机处理第18页第一次数学危机

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中一个组员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1正方形其对角线长度是多少呢？他发觉这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯发觉造成了数学史上第一个无理数√2诞生。小小√2出现，却在当初数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发觉不不过对毕达哥拉斯学派致命打击。对于当初全部古希腊人观念这都是一个极大冲击。这一结论悖论性表现在它与常识冲突上：任何量，在任何准确度范围内都能够表示成有理数。这不但在希腊当初是人们普遍接收信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确！可是为我们经验所确信，完全符合常识论断竟然被小小√2存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬事！它简直把以前所知道事情根本推翻了。更糟糕是，面对这一荒谬人们竟然毫无方法。这就在当初直接造成了人们认识上危机，从而造成了西方数学史上一场大风波，史称“第一次数学危机”。第19页第二次数学危机

导源于微积分工具使用。伴伴随人们科学理论与实践认识提升，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发觉。这一工具一问世，就显示出它非凡威力。许许多多疑难问题利用这一工具后变得易如翻掌。不过不论是牛顿，还是莱布尼兹所创建微积分理论都是不严格。两人理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念无穷小量了解与利用却是混乱。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人反对与攻击。一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比较关注于微积分严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人工作开始，最终由威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成，中间经历了半个多世纪，基本上处理了矛盾，为数学分析奠定了一个严格基础。第20页第三次数学危机

十九世纪下半叶，康托尔创建了著名集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人猛烈攻击。但很快这一开创性结果就为广大数学家所接收了，而且取得广泛而高度赞誉。数学家们发觉，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为当代数学基石。“一切数学结果可建立在集合论基础上”这一发觉使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们能够建造整个数学大厦……今天，我们能够说绝正确严格性已经到达了……”可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界消息传出：集合论是有漏洞！这就是英国数学家罗素提出著名罗素悖论。罗素结构了一个集合S：S由一切不是本身元素集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？依据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。所以，对于一个给定集合，问是否属于它自己是有意义。但对这个看似合理问题回答却会陷入两难境地。假如S属于S，依据S定义，S就不属于S；反之，假如S不属于S，一样依据定义，S就属于S。不论怎样都是矛盾。危机产生后，数学家纷纷提出自己处理方案。人们希望能够经过对康托尔集合论进行改造，经过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新标准。“这些标准必须足够狭窄，以确保排除一切矛盾；另首先又必须充分辽阔，使康托尔集合论中一切有价值内容得以保留下来。”1908年，策梅罗在自己这一标准基础上提出第一个公理化集合论体系，以后经其它数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上填补了康托尔朴素集合论缺点。除ZF系统外，集合论公理系统还有各种，如诺伊曼等人提出NBG系统等。第21页柯西近代数学领跑者第22页常微分方程柯西在分析方面最深刻贡献在常微分方程领域。他首先证实了方程解存在和唯一性。在他以前，没有些人提出过这种问题。通常认为是柯西提出三种主要方法，即柯西－利普希茨法，逐步迫近法和强级数法，实际上以前也散见到用于解近似计算和预计。柯西最大贡献就是看到经过计算强级数，能够证实迫近步骤收敛，其极限就是方程所求解。单复变函数柯西最主要和最有首创性工作是关于单复变函数论。18世纪数学家们采取过上、下限是虚数定积分。但没有给出明确定义。柯西首先说明了相关概念，而且用这种积分来研究各种多样问题，如实定积分计算，级数与无穷乘积展开，用含参变量积分表示微分方程解等等。分析基础柯西在综合工科学校所授分析课程及相关教材给数学界造成了极大影响。自从牛顿和莱布尼茨创造微积分(即无穷小分析，简称分析)以来，这门学科理论基础是含糊。为了深入发展，必须建立严格理论。柯西为此首先成功地建立了极限论。柯西极限论功效设函数f(x)在点x。某一去心邻域内有定义，假如