数学北师大版选修1-2学案第一章第1节回归分析（第2课时）

1.2相关系数1．了解回归分析的概念和最小二乘法的求法及作用．2．理解相关系数的含义及求法．3．了解回归分析的基本思想．会建立回归模型，并能利用回归分析进行有效预测．1．变量间的关系往往会表现出某种不确定性，________就是研究这种变量之间的关系的一种方法，通过对变量之间关系的研究，从而发现蕴涵在事物或现象中的某些规律．【做一做1】下列两变量中具有相关关系的是()．A．正方体的体积与边长 B．人的身高与体重C．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间 D．球的半径与体积2．假设样本点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，我们可用____________求变量之间的线性回归方程y＝a＋bx，即求a，b，使这n个点与直线y＝a＋bx的“距离”平方之和最小，即使得Q(a，b)＝(y1－a－bx1)2＋(y2－a－bx2)2＋…＋(yn－a－bxn)2达到最小．3．Q(a，b)＝lyy＋n[eq\x\to(y)－(a＋beq\x\to(x))]2＋lxxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(lxy,lxx)))2－.其中eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i，eq\x\to(y)＝eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i，lxx＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2＝eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－neq\x\to(x)2，lxy＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝eq\i\su(i＝1,n,x)iyi－neq\x\to(x)eq\x\to(y)，lyy＝eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\x\to(y))2＝eq\i\su(i＝1,n,y)eq\o\al(2,i)－neq\x\to(y)2.当Q(a，b)取最小值时，b＝____________，a＝________.y对x的线性回归方程为__________，此直线一定过点______．公式比较复杂难记，只需记住a，b的求值公式即可．做题要细心，不可遗漏数据，使用公式计算时，可通过列出表格，进行计算，表格如下：ixiyixeq\o\al(2,i)xiyi123…n∑eq\i\su(i＝1,n,x)ieq\i\su(i＝1,n,y)ieq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)eq\i\su(i＝1,n,x)iyi【做一做2－1】已知x与y之间的一组数据如下表，则y与x的线性回归方程y＝bx＋a必过点__________．x0123y1357【做一做2－2】已知三个样本点(3,10)，(7,20)，(11,24)，求出其线性回归方程．4．判断两个变量之间的线性相关关系的方法有(1)________________________；(2)______________________．两个变量之间是否有线性相关关系，可以通过画散点图直观判断，但是在某些情况下，从散点图中不容易判断变量之间的线性相关关系，特别是当数据量较大时，画散点图比较麻烦，此时就可以通过计算，用线性相关系数r来作出判断，比较容易实施．5.假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则变量间线性相关系数r的计算公式为r＝__________________.线性相关系数|r|≤1，|r|越大，变量之间的线性相关程度越高，用直线拟合的效果就越好．线性相关系数r的计算公式虽然比较复杂，但是可以分开计算．因为在求线性回归方程时，也要计算eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi和eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)等量，只需再把eq\i\su(i＝1,n,y)eq\o\al(2,i)计算出来即可．通常是通过列表格来完成上述各项的计算．【做一做3】在建立两个变量y与x的线性回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合得最好的模型是()．A．模型1的相关系数rB．模型2的相关系数rC．模型3的相关系数rD．模型4的相关系数r答案：1．回归分析【做一做1】B选项A中正方体的体积为边长的立方，有固定的函数关系；选项C中匀速行驶的车辆的行驶距离与时间成正比，也有函数关系；选项D中球的体积是eq\f(4,3)π与半径的立方相乘，有固定的函数关系．所以只有选项B中人的身高与体重具有相关关系．2．最小二乘法3.eq\f(lxy,lxx)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)eq\x\to(y)－beq\x\to(x)y＝a＋bx(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))【做一做2－1】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))线性回归方程一定过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，又eq\x\to(x)＝eq\f(1,4)×(0＋1＋2＋3)＝eq\f(3,2)，eq\x\to(y)＝eq\f(1,4)×(1＋3＋5＋7)＝4，∴线性回归方程必过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4)).【做一做2－2】分析：样本点共有三个，可以直接计算．解：由所给数据可得：eq\x\to(x)＝7，eq\x\to(y)＝18，eq\i\su(i＝1,3,x)iyi＝434，＝179，进而可以求得b＝eq\f(\i\su(i＝1,3,x)iyi－3\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,3,x)\o\al(2,i)－3\x\to(x)2)＝eq\f(434－3×7×18,179－3×49)＝1.75，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)×7＝5.75.∴线性回归方程为yx.4．(1)画散点图(2)计算线性相关系数5.eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\x\to(y)2))【做一做3】A1．求线性回归方程的一般步骤剖析：(1)作散点图：对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，在坐标系内作出散点图，并观察各样本点是否呈条状分布，是否都分布在一条直线的两侧．若是，则可设其线性回归方程为y＝a＋bx.(2)列表：对于所给出的数据x，y列成相应的表格.ixiyixeq\o\al(2,i)xiyi1x1y1xeq\o\al(2,1)x1y12x2y2xeq\o\al(2,2)x2y2……………nxnynxeq\o\al(2,n)xnyn∑eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xieq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yieq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi(3)计算：eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi，b＝，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).(4)写出回归方程：y＝a＋bx.2．样本的选取是否影响两个变量的线性回归方程剖析：会影响．这是因为我们所采集的样本只是两个变量之间的部分数据的关系，而且它们的散点图分布在某一条直线的附近，不一定就在直线上，所以不能用某个一次函数y＝a＋bx来准确地表达它们之间的关系，我们只能近似地看作两个变量之间满足线性关系，符合一个一次函数y＝a＋bx，而将x＝xi代入时，得到y的值与所测得的yi之间存在着一定的误差，误差为yi－y＝yi－(a＋bxi)＝yi－a－bxi(i＝1,2，…，n)，那么，我们要想用y＝a＋bx拟合得好一点，就要使误差小一点．但不能把这些误差直接相加，这是因为它们有正有负，相加可能抵消一部分，为了不使误差之和正负抵消，我们可设全部误差的平方和为Q(a，b)，即Q(a，b)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－a－bxi)2，用Q的大小来度量总的误差大小，Q是a，b的二元函数．当b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)时，Q(a，b)最小，此时a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).由此看来，所取的样本点不同，有可能得到的线性回归方程不同．题型一求线性回归方程【例题1】一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验．测得的数据如下表所示：零件数x/个102030405060708090100加工时间y/分626875818995102108115122(1)求y对x的线性回归方程；(2)据此估计加工200个零件所用的时间是多少？反思：计算线性回归方程比较麻烦，对于样本点较少的情况可直接代入公式计算求值．实际问题中的数据都不好算，一般要借助计算器来完成．题型二计算线性相关系数【例题2】某工厂有一大型机器设备，其使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：使用年限x/年2345678维修费用y/万元请问维修费用y与使用年限x之间是否具有线性相关关系？如果具有，请求出线性回归方程．分析：本题为探索两个变量之间是否具有线性相关关系的题型，可通过计算线性相关系数来加以判断，因为数据比较多，可列表分项计算．反思：对于数量比较多的数据判断它们相应的变量是否线性相关，可通过计算线性相关系数来判断．题型三利用回归分析进行有效预测【例题3】为了了解某地母亲身高x与女儿身高y的相关关系，现随机测得10对母女的身高，所得数据如下表所示：母亲身高x/cm159160160163159154159158159157女儿身高y/cm158159160161161155162157162156(1)试对x与y进行线性回归分析，并预测当母亲身高为161cm时，(2)求相关系数r，并分析模型的拟合效果．分析：通过观察两变量对应的数据，可判断x与y之间存在线性相关关系，通过列表计算，求出回归方程，并通过计算线性相关系数来判断两变量的线性相关程度．反思：一个模型拟合得好不好，可通过计算线性相关系数r来判断，|r|的值越接近于1，变量之间的线性相关程度越高，拟合得越好．答案：【例题1】解：(1)列出下表，并用科学计算器进行计算.i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi62013602250324044505700714086401035012200eq\x\to(x)＝55，eq\x\to(y)＝91.7，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝38500，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝55950设所求的回归直线方程为y＝bx＋a.同时，利用上表可得b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi－10\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)＝eq\f(55950－10×55×,38500－10×552)≈，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈－×55＝，即所求的线性回归方程为y＝x＋54.96.(2)这个线性回归方程的意义是当x增大1时，y，y不随x增大而变化的部分．因此当x＝200时，y的估计值为y＝＋×200＝≈189.故加工200个零件时所用的时间约为189分．【例题2】解：列表：ixiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi12423934164525563667497864∑35203由此可得：eq\x\to(x)＝5，eq\x\to(y)≈7，eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝251.1，eq\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(2,i)＝203，eq\i\su(i＝1,7,y)eq\o\al(2,i)＝311.51.∴线性相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,7,y)\o\al(2,i)－7\x\to(y)2))≈eq\f(251.1－7×5×7,\r(203－7×52)×\r(311.51－7×72))≈5.∴维修费用与使用年限之间存在线性相关关系．b＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\x\to(x)2)≈eq\f(251.1－7×5×7,203－7×52)≈7，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈7×52，∴线性回归方程为y7x.【例题3】解：列表：ixiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi11591582528124964251222160159256002528125440316016025600256002560041631612656925921262435159161252812592125599615415523716240252387071591622528126244257588158157249642464924806915916225281262442575810157156246492433624492∑15881591252222253185252688(1)由表可得eq\x\to(x)＝158.8，eq\x\to(y)＝159.1，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝252222，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(2,i)＝253185，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝252688，进而可以求得b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi－10\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)＝eq\f(252688－10××,252222－10×2)≈0.78，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)×≈35，∴线性回归方程为yx.当x＝161cm时，y＝cm(2)r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi－10\x\to(x)\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)\r(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))y\o\al(2,i)－10\x\to(y)2))＝eq\f(252688－10××,\r(252222－10×2)×\r(253185－10×2))≈0.715，说明模型拟合得效果较好．1由一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的线性回归方程为y＝a＋bx，则下列说法正确的是()．A．直线y＝a＋bx必过点(，)B．直线y＝a＋bx至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一点C．直线y＝a＋bx是由(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的两点确定的D．(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)这n个点到直线y＝a＋bx的距离之和最小答案：A正确理解线性回归方程的含义，所求的线性回归方程并不一定要经过这n个样本点中的某些点，而是这n个点到直线的距离的平方和最小，即用最小二乘法求出线性回归方程中a，b的值，由于a