2023-2024学年湖北省襄阳市名校高二（上）起点数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖北省襄阳市名校高二（上）起点数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合P={x|x2−xA.[2,3] B.(−∞,−2.已知不重合的平面α、β、γ和直线l，则“α//β”的充分不必要条件是A.α内有无数条直线与β平行 B.α内的任何直线都与β平行

C.α⊥γ且γ⊥β 3.如果函数y=x2+(1−a)xA.(−∞,9] B.(−4.在△ABC中，a=6，b=6A.6 B.12 C.6或12 D.65.已知向量a=(2,−3,1)A.8 B.9 C.13 D.6.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=2，AC=A.30° B.120° C.60°7.四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB=BC=CD=DA=4，AC=BD=22，点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，现有如下结论：

①过点E，F，G作四面体AA.0 B.1 C.2 D.38.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=6，AD=8，A.34+26

B.34二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的是(

)A.命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2≤0”

B.若正数a，b满足a+b=110.一组数据x1，x2，…，xn的平均数是3，方差为4，关于数据3x1−1，3xA.平均数是3 B.平均数是8 C.方差是11 D.方差是3611.如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1DA.单位向量有8个

B.与AB相等的向量有3个

C.AA1的相反向量有4个

D.模为12.如图，在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为AB，BC，A.D1C与EF所成角为30°

B.平面EFG截正方体所得截面的面积为273

C.AD1/三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知甲、乙两人进行比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，当比赛进行到一方比另一方多2分或者打满6局时停止比赛，设甲在每局中获胜的概率为23，乙每局获胜的概率为13，且各局之间相互独立，则6局后才停止比赛的概率为______．14.如图，在△ABC中，点O满足BO=2OC，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N.设

15.两个非零向量a，b，定义|a×b|=|a||b|sin16.已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知函数f(x)=x2+2kx+4．

(1)若函数f(x18.(本小题12.0分)

已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB−sinC)2=sin2A−19.(本小题12.0分)

摇奖器中有6个小球，其中4个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金(元)为这些小球上记号之和，如果参加此次摇奖，求获得所有可能奖金数及相应的概率．20.(本小题12.0分)

已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，且PA=2，∠ABC=60°，E，F分别是BC，21.(本小题12.0分)

已知向量m=(2sinθ,sinθ−cosθ),n=(cosθ,−2−m)，函数22.(本小题12.0分)

如图，在三棱锥D−ABC中，AD=CD=AE=CE=12BC，CD⊥AD，记二面角D−A

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：由x2−x−2≤0得，−1≤x≤2，则集合P={x|−1≤x≤2}，

由log2(x−1)≤1=l2.【答案】D

【解析】解：对于A选项，若α内有无数条直线与β平行且这无数条直线是平行直线，则α、β平行或相交，

即“α内有无数条直线与β平行”推不出“α//β”，A不满足；

对于B选项，由面面平行的定义可知，“α内的任何直线都与β平行”⇔“α//β”，B不满足；

对于C选项，若α⊥γ且γ⊥β，则α、β平行或相交，

则“α⊥γ且γ⊥β”不能推出“α//β”，C不满足；

对于D选项，由线面垂直的性质可知，若l⊥α且l⊥β，则α//β，

反之，若α//β，则“l3.【答案】A

【解析】解：函数图象开口线上，对称轴为x=a−12，因为函数在(4,+∞)上单调递增，

所以a−4.【答案】B

【解析】解：∵△ABC中，a=6，b=63，A=30°，

则由余弦定理可得a2=b2+c2−2bc⋅cosA，

即36=1085.【答案】B

【解析】【分析】本题考查向量的数量积的求法，空间向量的坐标运算．

由向量加法的坐标运算先求出b+c，由此利用向量数量积的坐标运算能求出【解答】

解：∵向量a=(2,−3,1)，b=(2,6.【答案】B

【解析】解：如图所示：

由条件，知CA⋅AB=0,AB⋅BD=0,CD=CA+AB+BD．

∴|CD|2=|CA7.【答案】C

【解析】解：对于①，如图所示，

取AB的中点H，过点E，F，G作四面体ABCD的截面即为面EFHG，

则EG//BD//GH，EG//AC//FH，∴四边形EFHG为平行四边形，

取AC的中点O，连接OB，OD，

∵AB=BC=CD=DA=4，∴DO⊥AC，BO⊥AC，

∵BO⋂DO=O，BO，DO⊂平面BOD，∴AC⊥平面BOD，

BD⊂平面BOD，∴AC⊥BD，∴EG⊥EF，∴四边形EFHG为矩形，

EF=12BD=2，8.【答案】B

【解析】解：以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

设Q(x,y,z)，长方体外接球球心记为O，

则O(3,4,3)，A(6,8,0)，B(0,8,0)，E(6,2,0)，A1(6,8,6)，

∴EQ=(x−6,y−2,z),AQ=(x−6,y−8,z),EB=(−6,6,0)，

EA1=(0,6,6),OQ=(x−3,y−4,z−3)．

∵EQ⋅AQ=0，

∴(x−6)2+(y−2)(y−8)+z2=0，①

又动点9.【答案】BC【解析】解：命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x∈R，x2<0”，故A错误；

ab≤(a+b2)2=14，当且仅当a=b=12时，等号成立，故B正确；

函数f(x)=sin(2x10.【答案】BD【解析】解：∵数据x1，x2，…，xn的平均数是3，方差为4，

∴数据3x1−1，3x2−1，…，3xn11.【答案】AB【解析】解：由题意，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=1，

故单位向量有8个，分别是AA1，A1A，BB1，B1B，CC1，C1C，DD1，D1D，故A正确；

与AB相等的向量有3个，分别是A1B1，D1C1，DC，故B正确；

向量AA1的相反向量有4个，分别是12.【答案】BC【解析】解：以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则E(3,0,0)，F(6,3,0)，C(6,6,0)，D1(0,6,6)，G(6,6,3)，B1(6,0,6)，B(6,0,0)，

∴D1C=(6,0,−6)，B1D1=(−6,6,0)，EF=(3,3,0)，EG=(3,6,3)，

A选项，cos<D1C，EF>=D1C⋅EF|D1C|⋅|EF|=1836+36×9+9=12，则直线D1C与EF所成角为60°，故A错误；

B选项，由平面在两平行平面上的交线互相平行，取C1D1的中点Q，A1D1的中点H，AA1的中点K，连接GQ，QH，HK，KE，

则过点E，F，G作正方体的截面，截面为正六边形E13.【答案】1681【解析】解：设比赛结束时进行的局数为X，则X的可能取值为2，4，6，

则P(X=2)=(23)2+(13)2=59，

4局结束时，即前两局甲、乙各胜一局，后两局都是最终的获胜者胜，

故P(X=4)=C21(214.【答案】3+【解析】解：∵BO=2OC，

∴AO=AB+23BC=AB+23(AC−AB)

=13AB+23AC=m3AM+215.【答案】2【解析】解：设向量a，b的夹角为θ，

∵a=(1,0,1)，b=(0,2,2)，

∴|a|=2，|16.【答案】1

【解析】解：由题意可知图形如图：△ABC是面积为934的等边三角形，可得34AB2=934，

∴AB=BC=AC=3，

可得：AO1=23×32×3=17.【答案】解：(1)因为函数f(x)在区间[1,4]上是单调递增函数，且f(x)的对称轴为x=−k，

所以−k≤1，解得k≥−1，即k的取值范围是[【解析】(1)利用对称轴和区间的关系，列不等式，解不等式即可；

(2)利用判别式18.【答案】解：(1)原式化简可得：sin2B−2sinBsinC+sin2C=sin2A−sinBsin【解析】(1)根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理即可得到结果；

(2)根据题意，由三角形的面积公式可得19.【答案】解：设此次摇奖的奖金数额为ξ元，获得所有可能奖金数ξ=6，9，12，

记标有数字2的球为1，2，3，4；标有数字5的球为a，b，

则从中摇出3个球的所有样本点为：

123，124，12a，12b，134，13a，13b，14a，14b，1ab，234，23a，23b，24a，24b，2ab，34a，34b，3ab，4ab共20个，

当摇出的3个小球均标有数字2时，ξ=6；对应的样本点有：123，124，134，234共4个，

当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，ξ=12，

对应的样本点有：1ab，2ab，3ab【解析】确定奖金数额的可能取值，用列举法列举出摇奖的所有情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案．

本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．20.【答案】解：(1)由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，BC//AD，因此AE⊥AD．

由于PA⊥平面ABCD，AD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AE，

故AE，AD，PA两两垂直，则以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

又E，F分别为BC，PC的中点，则A(0,0,0)，B(3,−1,0)，C(3,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(3,0,0)，F(32,1【解析】(1)先证AE，AD，PA两两垂直，构建空间直角坐标系，再应用向量法求线面角的正弦值；

(2)取AC的中点O，连接FO，易证FO⊥平面ABCD21.【答案】解：(1)f(θ)=m⋅n=2sinθcosθ−(2+m)(sinθ−cosθ)，

设t=sinθ−cosθ=2sin(θ−π4)，则t∈[−2,2],2sinθcosθ=−t2+1，

f(θ)=Q(t)【解析】(1)利用向量的乘积运算求出f(θ)的解析式，求出最小值可得g(m)，根据对称轴，讨论参数的范围分段表示求g(m)；

(2)假设存在符合条件的实数m22.【答案】解：(1)取AC中点F，连结FD，FE，由BC=2，得AD=CD=AE=CE=1，

∴DF⊥AC，EF⊥AC，

∴∠DFE是二面角D−AC−B的平面角，∴∠DFE=θ=π3，

连接