2023-2024学年江西省宜春市上高县高三（上）开学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江西省宜春市上高县高三（上）开学数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={x|x2−A.⌀ B.[2,5] C.2.下列函数中最小值为4的是(

)A.y=x2+2x+4 3.已知复数z满足：z1+i=2i(iA.2−2i B.2+2i4.函数f(x)=3sA.

B.

C.

D.5.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师.浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地.已知某班级有A，B，C，D，E共5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，每所学校至少有一位同学选择，则A同学选择浙江大学的不同方法共有(

)A.24种 B.60种 C.96种 D.240种6.已知函数f(x)=alnx+xA.−2 B.−1 C.1 7.已知点P在直线y=−x−3上运动，M是圆x2+y2=A.13 B.11 C.9 D.88.已知函数f(x)是R上的奇函数，对任意的x∈R均有f(x)<fA.{x|x>1} B.{二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.若正实数a，b满足a+b=2A.ab的最大值为1 B.1a+1b的最大值为2

C.a+10.下列命题中，正确的是(

)A.已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，若P(X≤0)=0.2，则P(X<2)=0.8

B.“a<11”是“∃x∈R，x2−2x+a<0”的充分不必要条件

C.用X表示n次独立重复试验中事件11.已知正四棱柱ABCD−A1B1A.D1C//平面A1BC1

B.异面直线A1B与AC所成角的余弦值为45

12.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线Γ：y2=x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P(4116,1)射入，经过Γ上的点A(xA.y1y2=−1

B.|AB|=2516

C.PB平分∠AB三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若(2x−1x)n的展开式中含1x2项的系数与含114.设数列{an}的前n项的和为Sn，且Sn=n15.已知圆x2+y2−6x16.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，点M四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知函数f(x)=3sin2x+2cos2x+18.(本小题12.0分)

已知等差数列{an}的公差d不为0，a4=7，且a1，a3，a13成等比数列．

(1)求数列{an}19.(本小题12.0分)

如图，在几何体ABCDEF中，菱形ABCD所在的平面与矩形BDEF所在的平面互相垂直．

(1)若M为线段BF上的一个动点，证明：CM//平面AD20.(本小题12.0分)

为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12.(注：比赛结果没有平局)

(1)求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；

(2)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；

21.(本小题12.0分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a∈N)，四点P1(1,1)，P2(1,0)，P3(2,3)22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=ex，g(x)=lnx．

(1)设f(x)在x1处的切线为l1，g(x)在x2处的切线为l2，若答案和解析1.【答案】B

【解析】解：集合A={x|x2−7x+10≤0}={x|2.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，考查了转化思想，属于中档题．

利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项B，利用基本不等式求出最值，即可判断选项C，利用特殊值验证，即可判断选项D．【解答】

解：对于A，y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3，

所以函数的最小值为3，故选项A错误；

对于B，因为0<|sinx|≤1，所以y=|sinx|+4|sinx|≥2|sinx|⋅4|3.【答案】C

【解析】由z1+i=2i，可得z=2i(1+i4.【答案】A

【解析】解：因为f(x)=3sinxe|x|的定义域为[−2π3,2π3]，

又f(−x)=5.【答案】B

【解析】解：5位同学选择4所学校，每所学校至少有一位同学选择，

则有两位同学选择了同一所学校，已知A同学选择浙江大学，

当有两位同学选择了浙江大学时，

则B，C，D，E这4

位同学在4所大学中分别选了一所，共A44=24种选法；

当只有A同学选择了浙江大学时，

则B，C，D，E这4

位同学在其余3所大学中选择，每所学校至少有一位同学选择，

则有两位同学选择了同一所学校，共C42A33=36种选法；

所以A同学选择浙江大学的不同方法共有246.【答案】B

【解析】解：因x+y−1=0的斜率为−1，

则f′(1)7.【答案】D

【解析】解：圆(x−9)2+(y−2)2=16的圆心为C(9,2)，半径为4，

圆x2+y2=1的圆心为O(0,0)，半径为1，

如图所示，

则|PC|−4≤|PN|≤|PC|+4，|PO|−1≤|PM|≤|PO|+1，

所以|PM|+|PN8.【答案】B

【解析】解：由f(x)<f′(x)ln3，得f′(x)−f(x)ln3>0，

设g(x)=f(x)3x，则g′(x)9.【答案】AD【解析】解：对于A项，因为ab≤(a+b2)2=1，当且仅当a=b=1时取等号，则ab的最大值为1，故A项正确；

对于B项，因为1a+1b=12(a+b)(1a+1b)=12(2+ba+ab)≥12(2+2ba⋅ab)=2，当且仅当a=b=1时取等号，

所以1a+1b10.【答案】AB【解析】解：对于A，因X服从正态分布N(1,σ2)，且P(X≤0)=0.2，

由正态分布的性质知，P(X≥2)=P(X≤0)=0.2，

则P(X<2)=1−P(X≥2)=0.8，A正确；

对于B，∃x∈R，x2−2x+a<0，只需Δ=4−4a>0，解得a<1，

“a<11”是“a<111.【答案】AC【解析】解：如图，

在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，∵A1D1//BC，A1D1=BC，

∴四边形BA1D1C为平行四边形，则D1C//A1B.

∵A1B⊂平面A1BC1，D1C⊄平面A1BC1，

∴D1C//平面A1BC1，故A正确；

∵D1C//A1B，∴异面直线A1B与AC所成角即为∠ACD1．

由已知求得AC=12.【答案】BC【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

因为l1//x轴，且l1过点P(4116,1)，

所以y1=1，

把y=1代入抛物线的方程y2=x，

解得x=1，即A(1,1)，

由题知，直线AB经过焦点(14,0)，

直线AB的方程为y−1=1−01−14(x−1)，即4x−3y−1=0，

联立4x−3y−1=0y2=x，得4y2−3y−1=0，

所以y1+y2=34，y1y2=−14，

对于A：y1y2=−14，与y1y2=−1矛盾，故A错误；

对于B：|AB|=1+1k2|y1−y2|=1+1(43)213.【答案】6

【解析】解：二项式(2x−1x)n的展开式的通项为Tr+1=Cnr(2x)n−r(−1x)r=(−1)r⋅2n−r⋅Cnr⋅xn−2r(r=0,1,14.【答案】1011【解析】解：由题意，当n=1时，a1=S1=1×22=1，

当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n(n+1)2−n(n−1)2=n，15.【答案】2【解析】解：由圆x2+y2−6x=0，可得圆(x−3)2+y2=9，

可得圆心C(3,0)，半径r=3，16.【答案】5【解析】解：设双曲线的左焦点为F′，连MF′，NF′，

∵|ON|=|OF|=|OM|=|OF′|，∴四边形MFNF′为矩形．

不妨设点M在双曲线的右支上，设|MF′|=m，|MF|17.【答案】解：(1)由已知f(x)=3sin2x+cos2x+m+1=2sin(2x+π【解析】(1)利用三角函数的恒等变换得到f(x)=2sin(218.【答案】(1)解：由题意可知，a32=a1a13，

所以(a4−d)2=(a4−3d)⋅(a4+9d)，

即(7−d)2=(7−【解析】(1)结合等比中项与等差数列的通项公式，求得公差d和通项公式an，再由等差数列的前n项和公式，得解；

(2)利用裂项求和法，即可得证．

19.【答案】解：(1)证明：由题知四边形BDEF为矩形，

所以BF//DE，

又因为BF⊄面ADE，DE⊂面ADE，

所以BF//面ADE，

同理可知BC//面ADE，

又因为BC∩BF=B，BC⊂面BCF，BF⊂面BCF，

所以面BCF//面ADE，

又因为CM⊂面BCF，

所以CM//面ADE．

(2)因为面ABCD⊥面BDEF，且面ABCD∩面BDEF=BD，DE⊥DB，DE⊂面BDEF，

所以DE⊥面ABCD，

又因为底面ABCD是菱形，且∠BAD【解析】(1)根据题意可得BF//面ADE，同理可知BC//面ADE，由面面平行的判定定理可得面BCF//面ADE，又CM⊂面BCF，即可得出答案．

(2)由线面垂直的判定定理可得DE⊥面20.【答案】解：(1)设事件B=“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，

设事件Aj=“甲队第j局获胜”，其中j=1，2，3，4，Aj相互独立，

又甲队明星队员M前四局不出场，故P(Aj)=12,j=1,2,3,4，

又B=A1−A2A3A4+A1A2−A3A【解析】(1)根据独立事件的积事件的概率乘法公式，互斥事件的并事件的概率加法公式，即可求解；

(2)根据条件概率公式，全概率公式，即可求解；

21.【答案】解：(1)易知双曲线C：x2a2−y2b2=1关于x轴对称，P3，P4关于x轴对称，

故P3，P4都在双曲线C上，

若P1(1,1)，P3(2,3)，P4(2,−3)在双曲线上，

则1a2−1b2=12a2−3b2=1，

可得a=22，不满足a∈N；

若P2(1,0)，P3(2,3)，P4(2,−3)在双曲线上，

则1a2【解析】(1)分析可知P3，P4都在双曲线C上，可得a=1，进而得出双曲线方程；

(2)易知l与x轴垂直时，不符合题意，进而可设l：y=kx+m(