第二章稳态热传导

第二章稳态热传导第1页，课件共45页，创作于2023年2月本章具体内容安排：2.1导热基本定律----傅里叶定律2.2导热问题的数学描述2.3典型导热问题的分析解2.4通过肋片的导热2.5具有内热源的导热第2页，课件共45页，创作于2023年2月要解决工程技术中的传热问题（传热强化、传热削弱及温度控制），必须解决以下问题：1.准确计算研究过程传递的热量；2.准确预测物体中的温度分布；在对传热过程的物理机理认识的基础上，通过一定的数序处理第3页，课件共45页，创作于2023年2月2.1导热基本概念及基本定律1.导热的基本概念：1）温度场在τ时刻，物体内所有各点的温度的分布称为该物体在该时刻的温度场。一般温度场是空间坐标和时间坐标的函数，在直角坐标系中，温度场可表示为：t=f（x，y，z，t）稳态温度场：温度不随时间变化的温度场，其中的导热为稳态导热非稳态温度场：温度随时间变化的温度场，其中的导热为非稳态导热第4页，课件共45页，创作于2023年2月2)等温面与等温线

等温面（或等温线)的特征：

在同一时刻，温度场中由温度相同的点连成面（线）称为等温面（或等温线）。温度场可用一组等温面或等温线表示.1）等温面（或等温线）不能相交；2）等温面（或等温线）或封闭，或终止于物体的边界，不可能在物体中中断；T形铸件浇注后10.7min时断面等温线第5页，课件共45页，创作于2023年2月3)温度梯度

温度场中任意一点的温度沿等温面（线）法线n方向的增加率称为该点的温度梯度,记为gradt。温度梯度是矢量，指向温度增加的方向在直角坐标系中的温度梯度为：第6页，课件共45页，创作于2023年2月3)热流密度导热热流密度的大小和方向可以用热流密度矢量q表示，

在直角坐标系中,热流密度矢量可以表示为：负号表示q的方向与n的方向相反，也就是和温度梯度的方向相反

式中的qx、qy、qz分别是热流密度矢量q在三个坐标方向的分量的大小第7页，课件共45页，创作于2023年2月2.导热基本定律---Fourier导热定律

傅里叶在对导热过程进行大量实验研究的基础上,发现了导热热流密度矢量与温度梯度之间的关系,于1882年提出了著名的导热基本定律—傅里叶定律。

傅里叶定律的数学表达式为：傅里叶定律表明：导热热流密度的大小与温度梯度的绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。标量形式的傅里叶定律的数学表达式为：第8页，课件共45页，创作于2023年2月Fourier导热定律的应用傅里叶定律的适用条件：由傅里叶定律可知：要计算通过物体的导热热流量,除了需要知道物体材料的热导率之外,还必须知道物体的温度场。所以,求解温度场是导热分析的主要任务。1.傅里叶定律只适用于各向同性物体；

2.在各向异性物体中,热流密度矢量的方向不仅与温度梯度有关,还与热导率的方向性有关,因此热流密度矢量与温度梯度不一定在同一条直线上。对各向异性物体中导热的一般性分析比较复杂，本书不作探讨。第9页，课件共45页，创作于2023年2月3导热系数（又称“热导率”）导热系数是物质的重要热物性参数,表示该物质导热能力的大小。根据傅里叶定律的数学表达式有：热导率在数值上等于温度梯度的绝对值为1K/m时的热流密度值

绝大多数材料的热导率值都可通过实验测得的。

导热系数的影响因素较多,主要取决于物质的种类、物质结构与物理状态,温度、密度、湿度等因素对热导率也有较大的影响。第10页，课件共45页，创作于2023年2月一些典型材料的导热系数注：多孔材料的导热系数一般指它的表观导热系数,或称作折算导热系数第11页，课件共45页，创作于2023年2月2.2导热问题的数学描述热传导研究的重要任务就是确定导热物体内部的温度分布，即确定t=f(x,y,z,t)的具体函数关系。直接利用Fourier定律可以计算简单形状物体的导热问题，如：稳定的平板导热、圆筒壁导热、球壁导热中的热流和温度分布对复杂几何形状和不稳定情况下的导热问题，仅用Fourier定律往往无法解决，必须以能量守恒定律和Fourier定律为基础，建立导热微分方程式，然后结合具体条件求得导热体内部的温度分布。第12页，课件共45页，创作于2023年2月2.2.1导热微分方程引入假设条件：1.导热体（固体或静止流体）由各向同性的均匀材料组成；2.材料的热导率λ、密度ρ和比热Cp都是常数；3.导热体内部存在热源（如电热元件、凝固潜热等）导热微分方程式的导出分下面几个步骤:根据物体的形状,选择合适的坐标系,选取物体中的微元体作为研究对象；分析导热过程中进、出微元体边界的能量及微元体内部的能量变化；根据能量守恒定律,建立微元体的热平衡方程式；根据傅里叶定律及已知条件,对热平衡方程式进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式第13页，课件共45页，创作于2023年2月导热微分方程推导根据能量守恒定律：[微元体热量的积累]=[导入微元体的热量]-[导出微元体的热量]+[微元体内热源产生的热量]第14页，课件共45页，创作于2023年2月导热微分方程推导微元体热量的积累为：导入微元体的热量为：导出微元体的热量为：微元体内热源生成的热量为：第15页，课件共45页，创作于2023年2月[微元体热量的积累]=[导入微元体的热量]-[导出微元体的热量]+[微元体内热源产生的热量]可得：导热微分方程式

导热微分方程建立了导热过程中物体的温度随时间和空间变化的函数关系。第16页，课件共45页，创作于2023年2月1）当导热系数

为常数时,导热微分方程式可简化为：

或写成式中,

2是拉普拉斯算子,在直角坐标系中有：称为热扩散率或热扩散系数,也称导温系数,单位为m2/s。热扩散率a是对非稳态导热过程有重要影响的热物性参数，其大小反映物体被瞬态加热或冷却时物体内温度变化的快慢。导热微分方程式简化：

第17页，课件共45页，创作于2023年2月2）当

为常数，无内热源时,导热微分方程式可简化为：

或写成导热微分方程式简化：

3）常物性、稳态导热时,导热微分方程式可简化为：

4）常物性、无内热源，稳态导热时,导热微分方程式可简化为：

第18页，课件共45页，创作于2023年2月柱坐标和球坐标系下导热微分方程：

柱坐标系下的导热微分方程：球坐标系中的导热微分方程式为：

第19页，课件共45页，创作于2023年2月2.2.2导热微分方程的定解条件导热微分方程在推导过程中没有涉及导热过程的具体特点,所以它适用于无穷多个的导热过程,也就是说它有无穷多个解。为了完整的描写某个具体的导热过程，除了给出导热微分方程式之外,还必须说明导热过程的具体特点,即给出导热微分方程的单值性条件或定解条件，使导热微分方程式具有唯一解。单值性条件一般包括:几何条件、物理条件、初始条件、边界条件第20页，课件共45页，创作于2023年2月2.2.2导热微分方程的定解条件1.几何条件2.物理条件3.初始条件4.边界条件说明参与导热过程的物体的几何形状及尺寸的大小

说明导热物体的物理性质,例如给出热物性参数(

、

、c等)的数值及其特点。说明导热过程进行的时间上的特点,例如是稳态导热还是非稳态导热。对于非稳态导热过程,还应该给出过程开始时物体内部的温度分布规律。说明导热物体边界上的热状态以及与周围环境之间的相互作用。第21页，课件共45页，创作于2023年2月导热问题的三类边界条件1.第一类边界条件给出物体边界上的温度分布及其随时间的变化规律2.第二类边界条件给出物体边界上的热流密度分布及其随时间的变化规律3.第三类边界条件给出了与物体表面进行对流换热的流体的温度tf及表面传热系数h第22页，课件共45页，创作于2023年2月2.3典型一维稳态导热问题的分析解单层平壁的导热多层平壁的导热圆筒壁的导热第23页，课件共45页，创作于2023年2月2.3.1通过平壁的导热1.单层平壁的导热导热微分方程式为：边界条件为：平壁的稳态导热假设平壁的表面面积为A、厚度为

、热导率为常数、无内热源，平壁两侧表面分别保持均匀恒定的温度tw1、tw2，且tw1>tw2。选取坐标轴x与壁面垂直

x=0,t=tw1

x=

,

t=tw2

积分求解得平壁内的温度分布为：第24页，课件共45页，创作于2023年2月单层平壁的导热平壁的稳态导热当热导率

为常数时,平壁内的温度呈线性分布,温度分布曲线的斜率为：

通过平壁的热流密度可由傅立叶定律得出：通过整个平壁的热流量为：第25页，课件共45页，创作于2023年2月单层平壁导热问题例题讲解[例1]一窑炉的耐火硅砖炉墙为厚度δ＝250mm的硅砖。已知内壁面温度t1＝1500℃，外壁面温度t2＝400℃，试求每平方米炉墙的热损失。

解：从附录C查得，对硅砖＝0.93＋0.0007，于是每平方米炉墙的热损失为：

教材P50：例2-1第26页，课件共45页，创作于2023年2月2.多层平壁的导热三层平壁的稳态导热运用热阻的概念分析假设：三层平壁材料的热导率分别为

1、2、3,且为常数,厚度分别为1、2、3，各层之间的接触非常紧密,因此相互接触的表面具有相同的温度,分别为tw2、tw3,平壁两侧外表面分别保持均匀恒定的温度tw1、tw4。

根据单层平壁稳态导热的计算公式有:由以上三式可得:对于n层平壁的稳态导热有：第27页，课件共45页，创作于2023年2月1.单层圆筒壁的导热导热微分方程式

边界条件r=r1，t=tw1

r=r2，t=tw2

2.3.2通过圆筒壁的导热可得圆筒壁内的温度分布为:根据傅立叶定律,沿圆筒壁r方向的热流密度为:由上式可见,径向热流密度不等于常数,而是r的函数,随着r的增加,热流密度逐渐减小。第28页，课件共45页，创作于2023年2月单层圆筒壁的导热但是,对于稳态导热,通过整个圆筒壁的热流量是不变的,其计算公式为:整个圆筒壁的导热热阻:

第29页，课件共45页，创作于2023年2月多层圆筒壁的导热三层圆筒壁的稳态导热

运用热阻的概念分析单位长度圆筒壁的导热热流量为：对于n层不同材料组成的多层圆筒壁的稳态导热,单位管长的热流量为：第30页，课件共45页，创作于2023年2月1.什么是“肋片（fin）”？

依附于基础表面上的扩展表面。2.4通过肋片的导热a)针肋b)直肋c)环肋d)大套片2.加装肋片的目的：强化传热由对流换热的牛顿冷却公式知：增大对流换热量有三条途径第31页，课件共45页，创作于2023年2月3.等截面直肋的导热矩形直肋

分析肋片导热的目标：解决两个问题：1）肋片中的温度如何变化2）通过肋片的散热量有多少以矩形肋为例肋片导热的特点：肋片表面与外界有换热，肋片中沿导热热流传递方向上，热流量是不断变化的第32页，课件共45页，创作于2023年2月等截面直肋的导热分析矩形直肋

为简化分析，做下列假设：矩形肋的高度为H、厚度为

、宽度为l，与高度方向垂直的横截面积为Ac,横截面的周长为P。1)肋片材料均匀，热导率

为常数；2)肋片根部与肋基接触良好，温度一致；3)肋片的导热热阻与肋片表面的对流换热热阻相比很小，可以忽略。即认为肋片的温度只沿高度方向发生变化,肋片的导热可以近似地认为是一维的；4）肋片表面各处与流体间的表面传热系数都相同；5）忽略肋片端面的散热量，认为肋端面绝热。第33页，课件共45页，创作于2023年2月等截面直肋的导热分析矩形直肋

肋片的导热过程是常物性、具有负内热源的一维稳态导热过程，其导热微分方程式为：边界条件为：内热源强度为单位容积的发热（或吸热）量代入导热微分方程式得:第34页，课件共45页，创作于2023年2月矩形直肋

二阶非齐次常微分方程引入过于温度并令二阶齐次常微分方程边界条件改写成：通解为

代入边界条件双曲余玄函数：第35页，课件共45页，创作于2023年2月

肋片的温度分布规律：肋片的过余温度从肋根开始沿高度方向按双曲余玄函数的规律变化说明：肋片的过余温度从肋根开始沿高度方向逐渐降低，当mH较小时，温度降低缓慢，当mH较大时，温度降低较快。在实际应用中，一般取0.7<mH<2。

mH的大小取决于肋片的几何尺寸、肋片材料的热导率及肋片与周围流体之间的表面传热系数。第36页，课件共45页，创作于2023年2月

肋片的散热量与肋片效率加装肋片的目的是为了扩大散热面积，增大散热量。加装了肋片到底增加多少换热量？表征肋片散热的有效程度，定义为肋片的实际散热量

与假设整个肋片都具有肋基温度时的理想散热量

0之比。肋片效率定义：式中分别为肋面的平均温度和平均过余温度

第37页，课件共45页，创作于2023年2月

肋片导热问题的典型应用实例：教材P61例2-6“套管温度计测温误差分析”例：为了测量管道内的热空气温度和保护测温元件—热电偶，采用金属测温套管，热电偶端点镶嵌在套管的端部。试分析产生测温误差的原因并求出测温误差。已知条件:套管长为H、厚度为

,外径为d，套管材料的导热系数λ,热电偶的指示温度为th，套管根部的温度t0，套管外表面与空气之间对流换热的表面传热系数为h解：分析热电偶指示的是测温套管端部的温度；测温套管与周围环境的的热交换为：热量以对流换热的方式由热空气传给测温套管，测温套管再通过热辐射和导热将热量传给管道壁面。不考虑辐射换热影响套管可以看成是等截面直肋测温误差就是端部的过于温度测温误差取决于套管的长度、厚度以及套管材料的导热系数

如何减小测温误差？？？第38页，课件共45页，创作于2023年2月

思考题：试分析传热过程，说明在两侧表面传热系数相差较大的传热过程，在哪一侧壁面上加肋可有效强化传热？第39页，课件共45页，创作于2023年2月接触热阻：理想接触实际接触

相互接触的两个固体表面之间不可能完全接触，只能是局部的、甚至存在点接触，当未接触的空隙中充满空气或其它气体时，由于气体的热导率远远小于固体,就会对两个固体间的导热过程产生热阻，称之为接触热阻。

说明：触热阻的影响因素非常复杂，至今仍无统一的规律可循，只能通过实验加以确定。

第40页，课件共45页，创作于2023年2月

2.5具有内热源的一维导热问题1.具有内热源的平板导热

假设平壁的表面面积为A、厚度为2

、热导率为常数、具有均匀的内热源，平壁两侧同时与温度为tf的流体发生对流换热，表面传热系数为h.由于对称性，只研究板厚的一半导热微分方程式为：边界条件为：积分求解得平壁内的温度分布为：第41页，课件共45页，创作于2023年2月

2.5具有内热源的一维导热问题具有内热源的平板导热

假设平壁的表面面积为A、厚度为2

、热导