度量空间序列商及度量空间的k映象

度量空间序列商及度量空间的k映象

研究计量空间的内部特征一直是一般散射的一个重要课题。众所周知，完整的映射保持了测量空间，而（窄覆盖）薄映射是完整映射的一个重要推广。因此，国内外许多设计师在测量空间的狭窄覆盖和序列覆盖方面做了大量工作，并取得了许多有趣的结果。由于k映射是一个与完整映射和（窄覆盖）薄映射之间的重要映射，因此k-映射的内部特征也受到国内外投资者的广泛关注。最近，刘川首次用点星网描绘了测量空间的k-映象。最近，李金正指出了测量空间k-映象的另一个特征，并在测量空间中讨论了k-映象的序列覆盖。正如李金正所说，k-空间的商业k-映象是完整的，序列商业映射是商业序列映射和商业映射的重要推广。当然，我们会考虑这么多的问题。问题1度量空间的序列商,k-象具有什么样的内在特征?另一方面,刘川在中曾用具有局部有限(紧有限)闭覆盖列的点星网的k-空间及具有紧有限点星邻域基的空间刻画了度量空间,并提出下述问题.问题2具有紧有限覆盖列的点星网的k-空间是否可度量化?对此问题,李进金在中曾给出了一个具有紧有限覆盖列的点星网的k-空间,但不可度量.因此,进而我们会考虑这样的问题.问题3具有局部有限覆盖列的点星P-网的k-空间是否可度量化?本文我们针对上述问题,用点星sn-网(点星网)刻画了度量空间的序列商,k-映象,并利用这一结果证明了空间X是度量空间序列商,k-映象当且仅当X是度量空间的k-映象.此外,我们还证明了空间X是度量空间当且仅当X具有局部有限(紧有限)闭(k-闭)覆盖列的点星弱邻域网,并利用林寿等关于g-度量空间的一个刻画,说明这里“闭”(“k闭”)不能省略,从而对问题3给出了比较彻底的否定回答.这些工作进一步完善了度量空间k-映象的理论,并深化了有关这方面已有的一些结果.在本文中,所有空间都假定是正则T1的,映射均指连续满映射.N表示自然数集,设A是空间X的子集,U是X的子集族,ˉAA¯¯¯表示A的闭包,st(x,U)=∪{U∈U:x∈U},st(A,U)=∪{U∈U:U∩A≠Ø}.{xn}表示第n项为xn的序列,空间X的子集列{Pn:n∈N}简记为{Pn},类似地,集族列{Pn:n∈N}简记为{Pn}.其它未给出定义的术语及记号均见.定义1,映射f:X→Y称为序列商映射,如果对于Y中每一收敛序列L,存在X中收敛序列S,使得f(S)是L的子序列;f称为k-映射,如果对于Y的每一紧子集K,f-1(K)是X的紧子集.定义2设空间X,x∈P⊂X.P称为x处序列邻域,如果X中任一收敛于x的序列{xn}终留于P,即存在k∈N,使得当n>k时,xn∈P.注1(1)X的子集P是x处序列邻域当且仅当x∈P且X中任一收敛于x的序列{xn}共尾于P,即对每一k∈N,存在n>k,使得xn∈P.(2)有限个x处序列邻域的交仍为x处序列邻域.定义3设P=∪{Px:x∈X}是空间X的覆盖.对每一x∈X,满足(a)Px是x处网,即x∈∩Px且任给开集U,x∈U,存在P∈Px,使得P⊂U;(b)若P1,P2∈Px,则存在P∈Px,使得P⊂P1∩P2.则(1)P称为X的弱基,如果任给G⊂X,G是X的开集当且仅当对于每一x∈G存在P∈Px,使得P⊂G.此时Px称为x处弱邻域基;(2)P称为X的sn-网,如果对于每一x∈X,Px中任一元是x处序列邻域.此时Px称为x处sn-网.定义4,设P是空间X的覆盖.(1)P称为X的cs-覆盖,如果X中每一收敛序列终留于某一P∈P且x∈P;(2)P称为X的cs*-覆盖,如果X中每一收敛序列共尾于某一P∈P且x∈P;(3)P称为X的k-闭覆盖,如果每一P∈P为X的k-闭集,即对X中任一紧子集K,P∩K为X的闭集(等价地,为K中闭集).定义5空间X的覆盖列{Pn}称为X的点星网(点星sn-网,点星弱邻域网),如果对于每一x∈X,{st(x,Pn):n∈N}是x处网(sn-网,弱邻域网);空间X的覆盖列{Pn}称为紧有限的(局部有限的,离散的),如果每一Pn是紧有限的(局部有限的,离散的).引理1Pn是空间X的点星网当且仅当对每一x∈X,如果对每一n∈N,x∈Pn∈Pn,则{Pn:n∈N}是x处网.引理2设Pn是空间X的紧有限点星sn-网,{xn}是X中收敛于x的序列,记L={xn:n∈N}∪{x},则存在L的子序列L′,满足对每一n∈N,存在Pn∈Pn,使得L′终留于Pn,且x∈Pn.证对每一n∈N,因为st(x,Pn)是x处序列邻域,所以L终留于st(x,Pn)=∪{Pα∈Pn:x∈Pα}.又因为Pn是紧有限的,所以{Pα∈Pn:x∈Pα}是有限集族,从而存在Pn∈Pn,使得L共尾于Pn,且x∈Pn.下面我们构造L的一个子序列L′,使得对每一n∈N,L′终留于Pn.因为L共尾于P1,所以存在L的子序列L1,使得L1⊂P1,令xn1为序列L1的第一项,又因为L1共尾于P2,所以存在L1的子序列L2,使得L2⊂P2,令xn2为序列L2的第二项.由归纳法,一般的对每一k∈N,因为Lk-1共尾于Pk,所以存在Lk-1的子序列Lk,使得Lk⊂Pk,令xnk为序列Lk的第k项.记L′={xnk}∪{x},则L′是L的子序列,且对每一n∈N,当k>n时,xnk∈Lk⊂Ln⊂Pn,即L′终留于Pn.证完.定理1空间X是度量空间的序列商,k-映象当且仅当X具有紧有限k-闭覆盖列的点星sn-网.证必要性:设f:M→X是序列商,k-映射,M是度量空间.由[5,定理1.3.3],存在M的开覆盖的序列{Un},使得对M的每一紧子集K,{st(K,Un):n∈N}是K在M中的邻域基.由于M是仿紧空间,对每一n∈N,不妨设Un是M的局部有限开覆盖且Un+1加细Un.对每一n∈N,令Bn={ˉUBn={U¯¯¯:U∈Un},则Bn是M的局部有限闭覆盖.由正则性,可设对M的每一紧子集K,{st(K,Bn):n∈N}是K在M中的邻域网.对每一n∈N,置Pn={f(B):B∈Bn}.设P=f(B)∈Pn,则任给X的紧子集K,P∩K=f(B∩f-1(K)).因为f是k-映射,所以B∩f-1(K)是M中紧子集,故P∩K是X中紧子集,从而是X的闭集,即P是X中k-闭集.另一方面,对于X中任一紧子集K,K∩P=Ø当且仅当f-1(K)∩B=Ø,这里P=f(B)∈Pn.于是由Bn紧有限知Pn是紧有限的.所以,每一Pn是X的紧有限k-闭覆盖.下面证明,对每一x∈X,{st(x,Pn):n∈N}是x处序列邻域网.设x∈G,G是X的开子集,则f-1(x)⊂f-1(G).因为f是紧映射,所以f-1(x)是M的紧子集,故存在n∈N,使得st(f-1(x),Un)⊂f-1(G),从而st(x,Pn)⊂G.这就证明了{st(x,Pn):n∈N}是x处网,即满足定义3(a).由于对每一n∈N,Un+1加细Un,所以{st(x,Pn):n∈N}是单调递减序列,从而满足定义3(b).下面只需证明每一st(x,Pn)是x处序列邻域.事实上,设{xn}是收敛于x的序列,因为f是序列商映射,所以存在y∈f-1(x)及M中收敛于y的序列{yk},使得f(y)=x且对每一k∈N,f(yk)=xnk,因为Un是M的开覆盖,所以存在U∈Un,使得y∈U.于是{yk}终留于U,更终留于B=ˉU∈Bn,从而{xnk}终留于f(B),即{xn}共尾于f(B),注意到f(B)⊂st(x,Pn),所以{xn}共尾于st(x,Pn).由注1(1),st(x,Pn)是x处序列邻域.充分性:设{Pn}是空间X的紧有限sn-展开.对每一n∈N,记Pn={Pα:α∈An},不妨假定指标集族{An:n∈N}两两不交,并对每一An赋以离散拓扑.置M={α=(αn)n∈N∈Π{An:n∈N}:{Pαn}是X中某点xα处网},则M作为离散空间族{An:n∈N}的Tychonoff积空间Π{An:n∈N}的子空间,是度量空间.由空间X的T2性,容易证明,对于每一α=(αn)n∈N∈M,存在唯一的xα∈X,使得{Pαn}是xα处网.下面证明由f(α)=xα确定的映射f:M→X是序列商,紧映射.(1)f是满映射.由引理2.1立即可得.(2)f是连续映射.设α=(αn)n∈N∈M,U是x=f(α)在X中的开邻域.因为{Pαn}是x处网,所以存在n∈N,使得x∈Pαn⊂U.置V={β∈M:β的第n个坐标是αn},则V是α在M中的开邻域.容易看出,f(V)⊂Pαn⊂U.所以f是连续映射.(3)f是序列商映射.设{xn}是X中收敛于x的序列,记L={xn:n∈N}∪{x}.由引理2.2,存在L的子序列L′={yk:k∈N}∪{x},满足对每一n∈N,存在αn∈An,使得L′终留于Pαn且x∈Pαn.记α=(αn),则α∈M且f(α)=x.对每一yk∈L′,我们选取βk∈f-1(yk)如下.对每一n∈N,如果yk∈Pαn,令βkn=αn;如果yk∉Pαn,取αkn∈An,使得yk∈Pαkn,令βkn=αkn.置βk=(βkn)n∈N,则显然βk∈M且f(βk)=yk.下面证明S={βk}∪{α}是M中收敛于α的序列.设U是α的开邻域,由Tychonoff积拓扑定义,不妨设对某一m∈N,U=((Π{{αn}:n≤m})×(Π{An:n>m}))∩M.因为对每一n≤m,L′终留于Pαn,所以存在k(n)∈N,使得当k>k(n)时,yk∈Pαn,从而βkn=αn.令k0=max{k(1),k(2),…,k(m),m},显然当k>k0时,βk∈U,所以{βk}收敛于α.这就证明了对于X中的收敛序列L,存在M中收敛序列S,使得f(S)=L′是L的子序列,即f是序列商映射.(4)f是k映射.设K是空间X的任一紧子集,对每一n∈N,置Bn={α∈An:K∩Pn≠Ø},因为每一Pn是紧有限的,所以每一Bn是有限集,从而Π{Bn:n∈N}是M的紧子集.类似于[1,定理1]中论断2,容易证明f-1(K)是Π{Bn:n∈N}的闭子集,从而f-1(K)是M的紧子集,所以f是k映射.综上所述,空间X是度量空间M在序列商,k映射f下的象.证完.引理3对于空间X,下述等价.(1)X具有紧有限k-闭cs*-覆盖列的点星sn-网;(2)X具有紧有限k-闭覆盖列的点星sn-网;(3)X具有紧有限k-闭cs*-覆盖列的点星网;(4)X具有紧有限k-闭覆盖列的点星网.证(1)⇒(2)⇒(4)和(1)⇒(3)⇒(4)是显然的,下面只需证(4)⇒(1).设X具有紧有限k-闭覆盖列的点星网{Pn}.论断1每一Pn是X的cs*-覆盖.设{xn}为收敛于x的序列,记L={xn:n∈N}∪{x},则L与Pn中至多有限个相交,从而存在P∈Pn及A={xnk:k∈N}使得A⊂P.显然x∈ˉA.令L′=A∪{x},因为P为X的k-闭集,所以L′∩P为X的闭集,而A⊂L′∩P,所以x∈L′∩P⊂P.这就证明了L共尾于P且x∈P,所以Pn是X的cs*-覆盖.论断2每一st(x,Pn)是x处序列邻域.设{xn}为收敛于x的序列,由论断1的证明,{xn}共尾于某一P∈Pn且x∈P.从而{xn}共尾于st(x,Pn)且x∈st(x,Pn),由注1(1),st(x,Pn)是x处序列邻域.综上,{Pn}是X的紧有限k-闭cs*-覆盖列的点星sn-网.证完.由定理1,引理3及[1,定理1],立即可得下述定理.定理2空间X是度量空间的序列商,k-映象当且仅当X是度量空间的k-映象.下面讨论具有点星弱邻域网空间的度量化问题.定理3空间X是度量空间当且仅当X具有局部有限(紧有限)闭(k-闭)覆盖列的点星弱邻域网.证必要性:设X是度量空间,由[4,定理1.3.3],存在X的开覆盖的序列{Un},使得对每一x∈X,{st(x,Un):n∈N}是x在X中的邻域基且Un+1加细Un.与定理1必要性的证明中类似,可构造出X的局部有限闭覆盖列{Bn},容易验证,{Bn}是X的局部有限闭覆盖列的点星弱邻域网.充分性:设X具有紧有限k-闭覆盖列的点星弱邻域网,则由[1,定理1],X是度量空间的k-映象.易见X是g-第一可数的,从而是k-空间,所以X是度量空间().证完.注2刘川曾证明了空间X是度量空间当且仅当X具有紧有限覆盖列的点星邻