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数的开方1/48数开方2/48练习：填空：1、(

)2=9；2、(

)2=0.25；3、()；4、(

)2=4；

5、(

)2=0.0081．最轻易出现错误是丢掉负数解

3/48平方根(squareroot)

假如一个数平方等于a，那么这个数就叫做a平方根.用数学语言表示即为：若x2=a，则x叫做a平方根．4/48二、平方根性质：

1、一个正数有两个平方根，它们互为相反数．2、0有一个平方根，它是0本身．3、负数没有平方根．5/48三、开平方：

求一个数a平方根运算，叫做开平方运算．

+3与-3平方是9，9平方根是+3和-3，可见平方运算与开平方运算互为逆运算．依据这种关系，我们能够经过平方运算来求一个数平方根．6/48平方根表示方法:

被开方数根指数根号表示正数a正平方根表示正数a负平方根读作“二次根号”；读作“二次根号a”；提问：、各表示什么意义？、能够省略7/48例1.填空题(1)a是一个正数，表示a________，-表示a________，±表示a________(2)若7是x一个平方根，则x另一个平方根是________x=________.8/48五、算术平方根定义：

正数a有两个平方根，其中正数a正平方根，也叫做a算术平方根，记作：说明：1、因为正数都有一正一负两个平方根，所以正数都有算术平方根．2、0平方根也叫做0算术平方根。9/48做一做：例2、说出以下式子含义：10/48立方根概念:假如一个数立方等于a，这个数就叫做a立方根．(也称数a三次方根).即若x3=a，则x叫做a立方根，或称x叫做a三次方根．

11/482.表示方法：被开方数根指数根号读作“三次根号”；读作“三次根号a”；不能省略不能省略12/48开立方概念：求一个数立方根运算，叫做开立方.开立方运算立方运算．13/48立方根性质：(1)正数有一个正立方根；(2)负数有一个负立方根；(3)0立方根是0．14/48例3、填空练习：(1)1平方根是____；立方根为____；算术平方根为__．(2)平方根是它本身数是____．(3)立方根是其本身数是____．(4)算术平方根是其本身数是____．15/48(5)立方根为

.

(6)平方根为

.(7)立方根为

.(8)一个自然数算术平方根是a，那么与这个自然数相邻下一个自然数平方根是____；立方根是____．16/48例4、(1)平方根是

。(2)一个自然数一个平方根是m，那么紧跟它后面一个自然数平方根是（

）(A) (B) (C) (D)±3D17/48例5、填空：(1)0.000036平方根是________，算术平方根是________(2)(-41)2平方根是________(3)当a为________时，4a2算术平方根是2a.（4）平方根是____，算术平方根是____.18/48练习、判断题：1．±12是144平方根．()2．-12是144平方根．()3．144平方根是-12．()4．-1平方根是-1．()5．-1是1平方根．()6．(-1)2平方根是-1．()√√√×××(是±12)(-1无平方根)(是±1)19/4820/4821/48例6、1996年某市整年完成国内生产总值264亿元，比1995年增加23%，问：（1）1995年该市整年完成国内生产总值是多少亿元（准确到1亿元）？（2）预计该市1998年国内生产总值可到达386.5224亿元，那么1996年到1998年平均年增加率是多少？（黄冈市中考试题）22/48解：（1）设1995年某市整年完成国内生产总值亿元，依据题意有：

（2）设1996年到1998年平均年增加率为，依据题意有：用计算器求得：或

（不合题意，舍去）

答：（1）1995年生产总值为215亿元；（2）1996年到1998年平均年增加率是21%．23/48想一想：什么叫有理数？有理数怎样分类？观察以下数特点：24/48"无理数"由来

公元前5，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派弟子希勃索斯(Hippasus)发觉了一个惊人事实，一个正方形对角线与其一边长度是不可公度(若正方形边长是1，则对角线长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)哲理大相径庭。这一发觉使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界统治地位。希勃索斯所以被囚禁，受到百般折磨，最终竞遭到沉舟身亡惩处。25/48

不可通约本质是什么？长久以来众说纷坛，得不到正确解释，两个不可通约比值也一直被认为是不可理喻数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”数。然而，真理毕竟是淹没不了，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身可敬学者，就把不可通约量取名为“无理数”——这便是“无理数”由来．

26/48无理数定义：无限不循环小数叫做无理数．断以下说法是否正确？(1)无限小数都是无理数；(2)无理数都是无限小数；(3)带根号数都是无理数。27/48数发展历史

数系扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823-1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造”。零与自然数产生源于人类在生存活动中原始冲动。28/48类似于2+3=5事实产生了加法概念，然而2加上几会等于1呢？由此需要定义负数：一个数“负数”即它与该数之和等于0；进而定义减法。产生零、负自然数，合称整数；

加法重复进行产生了乘法，2×3=6就是三个2相加。然而2乘以几会等于1呢？由此需要定义倒数：一个数“倒数”即它与该数之积等于1，进而定义除法，产生既约分数，合称有理数。

29/48无理数是一个能恰好地描述数学特征案例

从数学发展史看，人类对无理数发蒙始于古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前582-497）学派，但二千四百年后才产生包含无理数在内实数严格定义。

30/48

乘法重复进行产生了乘方，23就是三个2相乘，然而哪个数平方会等于2呢？毕达哥拉斯学派提出了这个问题，边长为1正方形对角线长度不是既约分数，以后用√2表示对角线长度，无理数概念初步形成。

31/48因为有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用“无限不循环小数”来定义无理数，这也是直至19世纪中叶以前实际做法。它看起来很通俗，不明白无理数奥妙人大致也是这么了解无理数。但这么做碰到困难更大：关键问题是你无法判断一个数是无限不循环，也不能将两个无限不循环数进行加减乘除。

32/48启示：

每个有理数作为有长度线段，对应着数轴上坐标。边长为1正方形对角线线段也应对应数轴上一个点，这意味着假如只有有理数，数轴上存有“空隙”——尽管有理数非常稠密。应该填补这些“空隙”使数轴成为完美，欧几里德《几何原本》中曾记载过这一思想雏形。

戴德金33/48历史上两种无理数定义戴德金说法，一个实数是有理数一个集合

康托说法，一个实数是有理数一个（柯西）序列34/48

1874年康托还证实了无理数比有理数多得多，这也意味着，无形、不是根式无理数竟比直观、根式无理数多得多！数轴上代表有理数点即使是稠密——任何两个有理数点之间恒有没有数多有理数点，不过除有理数点外“空隙”更多。“空隙”一旦填满，稠密概念发展成了连续概念，数轴上点与实数完全对应，无理数问题画上了永远句号。

35/48数学家所知道无理数确实少可怜：

知道得最多只是各式各样根式，这是古希腊人即已知道；其次是π与e两个非代数数。那些比代数数多得多无理数在哪儿？19数学家希尔伯特（Hilbert，1862-1943）提出著名23个数学问题即包含了这一内容。然而，若稍微追问一句“(π+e)是无理数还是有理数”？则至今都没有严密答案。36/48总之：

数学家心安理得是建立了无懈可击实数体系，在坚实基础上，任何闲言碎语都是不足道。无理数所表达完美无缺、一丝不苟纯粹理性与无孔不入、尽人皆知世俗应用，可谓占尽天上人间风光，正是数学魅力之所在。37/48实数定义：有理数和无理数统称为实数．38/48三、实数分类：

（1）按定义分类：（2）按大小分类：39/48例7、把以下各数写入对应集合中：

40/48四、实数轴

我们知道数轴上点表示并不都是有理数，也有没有理数．假如我们把全部有理数连起来，组成是一条断断续续数轴，这其中空缺就是我们刚才学习无理数，可见由有理数和无理数把整个数轴填充完整了，所以我们把这个数轴又称为实数轴．实数与数轴上点是一一对应．这其中包含着两层含义：第一，每一个实数都能够用数轴上一个点来表示；第二，数轴上每一个点都能够用一个实数来表示．41/48

我们把实数表示在数轴上，最直观地表明了实数大小，以原点为分界限，在原点右侧，表示正数，在原点左侧为负数，我们知道数轴上实数从左到右是由小变大，而且数轴上右侧数总是比它左侧数大，这就引出了实数比较大小问题．显然同有理数之间比较大小是类似．例8、比较大小：42/48说明：

实数比较，需要遵照标准是必须化成同类数才可作比较，对于一些无理数，若要化成小数，只能取其近似值，所以需要熟记一些无理数近似值。43/48例9、填空：(1)｜3-π｜=_______．

则x=______；y=______．44/48小结：同学们，无理数引进，把我们所研究问题数范围从有理数扩充到了实数，这么一来，我们今后研究问题数范围更广泛了，我们所研究问题也就会更广、更深了．从现在起，在考虑一些数学问题时，一定要在实数范围内．对于不一样数范围，可能结果是不相同．45/481）在3.14，sin30°,各数中，无理数有………（）

A、2个B、3个C、4个D、5个

2）以下命题中正确个数有………（）