本科 图像处理 第7章

图像处理第7章教材：《数字图像处理与图像通信》主讲：朱秀昌；辅导：干宗良考查课程，期末书面考试48学时，3学分9/15/20231图像处理第7章图像处理的数学形态学方法7.1数学形态学的基本概念7.2二值图像的数学形态学变换7.3灰度图像的数学形态学9/15/20232图像处理数学形态学(mathematicalmorphology)的基础：集合论；目标：几何形态分析和描述；起源：对岩相学的定量描述，生物形态学；数学形态学：构成了一种新型的数字图像分析方法和理论，得到了广泛的应用。基本思想：用一定形态的结构元素（“探针”）去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。在数学形态学中，用集合来描述图像目标，描述图像各部分之间的关系，说明目标的结构特点。使用不同的结构元素和形态学算子可以获得目标图像的大小、形状、连通性和方向等许多重要信息。9/15/20233图像处理7.1数学形态学的基本概念7.1.1基本集合定义集合：把一些可区别的客体，按照某些共同特征加以汇集，这些客体的全体称为集合，又称为集。元素：组成集合的各个客体，称为该集合的元素，又称为集合的成员。如图像中物体上的像素。常用小写字母a，b，c，…

表示。用a∈A表示a是集合A的元素。子集：集合A包含集合B的充要条件是集合B的每个元素都是集合A的元素，也可以称为集合B包含于集合A

。此时称B是A的子集。并集：由A和B的所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为A∪B

。9/15/20234图像处理交集：由A和B的公共元素组成的集合称为A和B的交集，记为A∩B

。补集：A的补集，记为，定义为差集：两个集合A和B的差集，记为A-B

，定义为映射：A的映射记为，定义为位移：A用位移，记为，定义为(7.1)(7.3)(7.2)9/15/20235图像处理7.1.2二值数学形态学的运算1.图像空间的集合表示对于n维图像可用n维欧氏空间的中的一个集合来表示，中的集合的全体用R

表示。图像是R中的一个集合X，而X的补集表示图像的背景。如果在R中另一个集合B，这两个集合X和B至少符合如下一个关系：

(1)集合B包含于集合X中，表示为

(2)集合B击中集合X

，表示为

(3)集合B与集合X相分离，表示为图7.1包含于X，击中X，相离于X9/15/20236图像处理2.结构元素

结构元素B

－－收集图像信息的“探针”。具有一定的几何形状，如圆形、正方形、十字形、有向线段等的集合。在图像中不断移动结构元素便可以考察图像中各个部分之间的关系。结构元素的选取直接影响形态运算的效果，选取原则：(1)结构元素必须在几何上比原图像简单，且有界。(2)结构元素的形状最好具有某种凸性，如圆形、十字架形、方形等。9/15/20237图像处理3.基本的形态变换(1)膨胀运算(Dilation)，符号X用B来膨胀为，定义膨胀过程：集合B首先做关于原点的映射，然后平移x形成集合，最后计算集合与集合X不为空集的结构元素参考点的集合。用B来膨胀X得到的集合是的位移与集合X至少有一个非零元素相交时结构元素B的参考点位置的集合。因此，膨胀运算又可以写成：(7.5)(7.4)9/15/20238图像处理例1．膨胀运算示例。图7.2二值图像的膨胀运算示例(a)(b)(c)9/15/20239图像处理计算机实现膨胀运算，采用向量运算或位移运算更为方便。向量运算：将集合X与集合B都看成是向量，于是

位移运算：从向量运算的定义可以看出，向量的和就是一种位移运算，是X的每一项按照b∈B中的每一项位移的结果。位移的表示符号为，它的含义是X按b进行位移，即(7.6)(7.7)9/15/202310图像处理例2．例1图像按照向量运算进行膨胀示例。对于7.2(a)的图像以左上角位置为(0,0)，结构元素以“+”位置为参考点(0,0)。则X和B分别表示为：

X={(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(4,3),(5,3)} B={(0,0),(-1,0),(1,0),(0,-1),(0,1)}用向量运算进行膨胀得到：

X⊕B={(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(4,3),(5,3), (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(3,3),(4,3), (3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(5,3),(6,3), (2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(4,2),(5,2), (2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,4),(5,4)}这一行元素分别和B中的第一个元素相加，即两个分量分别相加。以此类推……9/15/202311图像处理(2)腐蚀运算(Erosion)，符号X用B来腐蚀记为X

B，定义为：腐蚀过程：集合B平移x后仍在集合X中的结构元素参考点的集合。用B来腐蚀X得到的集合是B完全包括在集合X中时B的参考点位置的集合。腐蚀运算也可以通过向量运算或位移运算来实现。腐蚀的向量运算为：按位移运算的腐蚀运算为：(7.8)(7.10)(7.9)9/15/202312图像处理例3．腐蚀运算示例图7.3二值图像的腐蚀运算示例(a)(b)(c)9/15/202313图像处理对于集合X的元素(2,2)，x+b(0,0)∈X，x+b(1,0)X，x+b(0,1)X，所以该元素不是腐蚀后集合中的元素。例4．例3图像采用向量运算进行腐蚀示例。图像的左上角设为（0,0），结构元素的参考点（0,0）是B中的“+”点。则X={(2,2),(2,3),(3,3),(4,3),(3,4),(4,4),(3,5)}B={(0,0),(1,0),(0,1)}

表7.1腐蚀的向量运算

(2,2)(2,3)(3,3)(4,3)(3,4)(4,4)(3,5)

b(0,0)(2,2)(2,3)(3,3)(4,3)(3,4)(4,4)(3,5)b(1,0)(3,2)(3,3)(4,3)(5,3)(4,4)(5,4)(4,5)b(0,1)(2,3)(2,4)(3,4)(4,4)(3,5)(4,5)(3,6)∈X？

最后结果同例3一样。对于集合X的元素(3,3)，有x+b(0,0)∈X，x+b(1,0)∈X，x+b(0,1)∈X，所以该元素仍然是腐蚀后集合中的元素。9/15/202314图像处理(3)膨胀和腐蚀运算的性质膨胀和腐蚀是关于集合补和反转的对偶：膨胀和腐蚀运算都可以转化为集合的逻辑运算（与、或、非）。性质1互换性，即几个膨胀过程的先后次序变化不造成影响性质2腐蚀运算不具有互换性(7.12)(7.11)9/15/202315图像处理性质3膨胀和腐蚀运算具有组合性，如果一个膨胀运算为，并且结构元素D具有可分解性，即性质4膨胀和腐蚀运算具有增长性，如果X和Y为两个集合，M.O.为某种数学形态学的运算符号，增长性定义：如果对于膨胀运算，如果，则性质5膨胀运算具有外延性的，腐蚀运算不具有外延性。外延性定义：。性质6膨胀运算和腐蚀运算不具有同前性同前性定义：即无论M.O.运算多少次，其结果与运算一次相同。9/15/202316图像处理4.复合形态变换膨胀与腐蚀不是互为逆运算，可以级连结合使用。膨胀后再腐蚀，或者腐蚀后再膨胀，通常不能恢复成原来图像。(1)开启运算(Opening)和闭合运算（Closing）开启运算用“”表示，闭合运算用“”表示：开启运算：先腐蚀，后膨胀。——拉开闭合运算：先膨胀，后腐蚀。——合拢开启和闭合运算不受参考点是否在结构元素之中的影响。(7.14)(7.13)9/15/202317图像处理例5．开启和闭合运算示例(a)为目标图像（浅灰）；(b)为圆形的结构元素；(c)是腐蚀运算的结果；(d)是开启运算的结果；(e)是膨胀运算的结果；(f)是闭合运算结果。图7.4开启和闭合运算示例9/15/202318图像处理

(2)开启和闭合运算的性质

性质1开启和闭合都具有增长性，即当时，有

上式表明，通过与结构元素B的开启或闭合作用，修去原来具有的枝节或修补原来具有的某些缺陷。性质2开启运算是非外延的，而闭合运算是外延的性质3开启和闭合运算都具有同前性性质4开启和闭合运算都具有对偶性(7.15)(7.16)(7.17)(7.18)(7.19)9/15/202319图像处理7.2二值图像的数学形态学变换7.2.1形态滤波基本形态运算和复合形态运算可以改变图像的某些特征。结构元素的形状和大小会直接影响形态滤波的输出效果。图7.5用不同方向结构元素提取方向向量图7.6用不同取向结构元素对图像进行筛选9/15/202320图像处理7.2.2图像的平滑处理采集图像时由于各种因素，不可避免地存在噪声，多数情况下是加性噪声。可以通过形态变换进行平滑处理，滤除图像的可加性噪声。形态开启是一种串行复合极值滤波，可以切断细长的搭线，消除图像边缘毛刺和孤立点，具有平滑图像边界之功能。图7.7去除图像高斯噪声示意图9/15/202321图像处理闭合运算是一种串行复合极值滤波，具有平滑边界、连接短的间断、填充小孔的作用。采用闭合运算（图7.7)通过开启和闭合运算的串行，构成形态学噪声滤波器（图7.8)图7.8二值形态学用于图像平滑处理(7.20)9/15/202322图像处理7.2.3图像的边缘提取图像的边缘线或棱线是图像中信息量最为丰富的区域。提取边界或边缘也是图像分割的重要组成部分。提取物体的轮廓边缘的形态学变换为：图7.9二值图像的边缘提取示例(7.21)9/15/202323图像处理7.2.4区域填充区域是边界所包围的部分，边界是区域的轮廓线，区域和边界可以互求。填充过程实际上就是从边界上某一点P开始做以下迭代运算，用结构元素对其进行膨胀、求补和求交集的过程。图7.10形态学区域填充示例9/15/202324图像处理7.2.5标探测—击中与否变换(HitorMissTransformation)在可能存在着多个目标的图像中，通过HMT探测所感兴趣的目标。其数学形态学变换为：HMT变换是两部分变换集合的交集。其中X是二值图像，Xc是其补集，表示二值图像的背景。结构元素H：由区域中的最小目标或目标的最小特征尺寸确定。结构元素M：由区域中的最大目标或目标的最大特征尺寸确定。左边运算：探测区域中是否存在具有最小尺寸或具有最小特征尺寸的物体。右边运算：用识别背景的结构元素对背景进行识别。两者交集：正是在探测区域中具有最小和最大物体之间或具有最小特征尺寸和最大特征尺寸之间的任何物体。(7.22)9/15/202325图像处理例6在图7.11(a)图中寻找结构元素（b）所示的图像目标位置注：图中黑色像素=1，白色像素=0，结构元素的参考点在图形的中心。(d)图像A的补集Ac(d)结构元素M=W-H(e)图像Ac被M腐蚀图7.11击中与否变换示意图(a)原图像A(b)结构元素H(c)图像A被H腐蚀M=W-HXYZXX被“击中”9/15/202326图像处理HMT的一般表示实例：设B=(B1,B2)

，B1是与目标相关的B元素的集合，B2是与背景相关的B的元素集合。用集合差的定义及膨胀和腐蚀的对偶关系，可以写成：

这样集合X

B包括了所有被击中的点：B1在X中找到了一个匹配“击中”，B2在Xc中