广东省梅州市五校（虎山中学、丰顺中学、水寨中学、梅州中学、平远中学）2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题

2022-2023学年度第一学期期中五校考试卷高二数学考试时间：120分钟命题：虎山中学高二数学备课组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．在空间直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标为（）A． B． C． D．2．平行直线与之间的距离为（）A． B． C．3 D．03．如图，在四面体中，分别是的中点，为上一点，且，若，则（）A． B．C． D．4．已知点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A． B．C． D．5．如图，在直三棱柱中，为棱的中点，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．6．从点射出的光线沿与向量平行的直线射到轴上，则反射光线所在直线方程为（）A． B． C． D．7．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数．则表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．定义事件：“为奇数”，事件“”，事件“”，则下列结论不正确的是（）A． B．与互斥 C．与独立 D．与独立8．在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积，若，则的取值范围为（）A． B． C． D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则下列结论正确的有（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．下列说法正确的是（）A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是B．若三条直线，，不能构成三角形，则实数C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或D．过，两点的直线方程为11．下列关于空间向量的命题中，正确的是（）A．若非零向量，，满足，，则B．任意向量，，满足C．若，，为空间一基底，且，则，，，四点共面D．已知向量，若，则为钝角12．正方体的棱长为2，且，过作垂直于平面的直线，分别交正方体的表面于，两点．下列说法不正确的是（）A．平面B．四边形面积的最大值为C．若四边形的面积为，则D．若，则四棱锥的体积为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线过点，且方向向量为，则点到直线的距离为______．14．在长方体中，，，点为的中点，则点到平面的距离为______．15．已知直线，它关于直线对称的直线方程为______．16．点是直角斜边上一动点，，，将直角沿翻折，使与构成直二面角，则翻折后的最小值是______．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知直线．（1）若直线与直线平行，求的值；（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．18．（本小题满分12分）设，，，，且，．（1）求；（2）求向量与的夹角．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，面，，在四边形中，，，，，点在上，．求证：（1）面；（2）面面20．（本小题满分12分）2021年是中国共产党建党100周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史、悟思想、办实事、开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛．竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分．现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：，，，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数，平均数；（2）用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率．21．（本小题满分12分）已知的内角，，所对的边分别为，，，若向量，相互垂直．（1）求角的大小；（2）若，求周长的取值范围．22．（本小题满分12分）如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，．将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2． 图1图2（1）求证：；（2）求直线和平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．2022-2023学年度第一学期期中五校联考参考答案高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．B2．B3．D4．B5．A6．C7．D8．C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．AD10．AD11．AC12．ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．14．15．16．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）因为，所以解得（2）令，得，即直线在轴上的截距为令，得，即直线在轴上的截距为因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以所以，解得或则直线的方程是或，即或18．解：（1），向量，，，且，，可得，解得，则则．（2）因为所以向量与夹角为．19．证明以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系∵，，∴，，，，，∴，，（1）设为平面的一个法向量，由得令，得．∵，∴又平面，∴平面（2）如图，取的中点，连接，则，．∵，∴．又，∴，∴．又，∴平面．又平面，∴平面平面．（其它方法参照给分）20．【详解】（1）由频率分布直方图可得，1000名学员成绩的众数为，成绩在的频率为，成绩在的频率为，故中位数位于之间，中位数是平均数为：（2）∵与的党员人数的比值为，采用分层随机抽样方法抽取5人，则在中抽取2人，中抽3人，设抽取人的编号为，，抽取人的编号为，，，则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为：，，，，，，，，，，共10个样本点，这2人中至少有1人成绩低于76分的有：，，，，，，，共7个样本点，故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率．21．解：（1），相互垂直∴由正弦定理得：∴∵∴∴又为三角形内角∴（2）∵，，由正弦定理得：∴∵∴∴∴∴周长的取值范围是22．（1）因为在中，，分别为，的中点，所以，．所以，又为的中点，所以．因为平面平面且两平面交线为，平面，所以平面，所以．（2）取的中点，连接，所