空间向量及其线性运算（原题版）

3.1.1空间向量及其运算空间向量的数乘运算1.理解空间向量的有关概念.2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律．4.理解向量共线、向量共面的定义.5.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面．重点：向量共线、向量共面的定义难点：证明空间三点共线、四点共面阅读课本内容，自主完成下列内容。知识点一空间向量的概念思考1.类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.1.空间向量的概念在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_____或___.空间向量用有向线段表示，有向线段的_____表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为__________.（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量．2.几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫_______，记为0单位向量______的向量叫单位向量相反向量与向量a长度_____而方向_____的向量，称为a的相反向量，记为－a相等向量方向_____且模_____的向量称为相等向量，_____且_____的有向线段表示同一向量或相等向量知识点二空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．（3）空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：；已知空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(CB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c，则eq\o(CD,\s\up7(→))等于()A.a＋b－cB.－a－b＋cC.－a＋b＋c D.－a＋b－c知识点三共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是.此定理可分解为以下两个命题：（1）存在唯一实数，使得；（2）存在唯一实数，使得，则．注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．（3）共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；（进而证线面平行）②证明三点共线．注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法．证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．2．直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的．知识点四共面向量1．共面向量如图，如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l或，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做．2．向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.（1）在平面中，A，B，C三点共线的充要条件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．（2）在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．1、判断题：(1)共线向量一定是共面向量，但共面向量不一定是共线向量.()(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量.()(3)如果eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))，则P，A，B共线.()(4)空间中任意三个向量一定是共面向量.()2.已知空间四点P，M，A，B，下列结论可证明四点共面的有(1)eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋z(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up7(→))∥eq\o(AB,\s\up7(→))(或eq\o(PA,\s\up7(→))∥eq\o(MB,\s\up7(→))，或eq\o(PB,\s\up7(→))∥eq\o(AM,\s\up7(→))).考点一空间向量的有关概念例1给出下列命题：①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则；⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【对点演练1】下列命题中是假命题的是（

）A．任意向量与它的相反向量不相等B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小C．如果，则D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同【对点演练2】下列关于空间向量的说法中错误的是（

）A．零向量与任意向量平行B．任意两个空间向量一定共面C．零向量是任意向量的方向向量D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量考点二空间向量的线性运算例2如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（

）A． B．C． D．【对点演练1】若正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简下列各式的结果为的是（）A． B．C． D．【对点演练2】（2022·广东惠州·高二阶段练习）如图.空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（

）A． B．C． D．【对点演练3】在平行六面体中，点在上，且，若，则（

）A． B．1 C． D．【对点演练4】（2022·湖北·高二期中）在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设，，，则下列等式不成立的是（

）A． B．C． D．（2）（2022·全国·高二）若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则（

）A．P∈AB B．P∉ABC．点P可能在直线AB上 D．以上都不对【对点演练】（1）（2022·北京房山·高二期中）如果空间向量不共线，且，那么的值分別是（

）A． B．C． D．考点四空间向量的共面问题例4（2022·全国·高一单元测试）给出下列四个命题，其中是真命题的有（

）A．若存在实数，，使，则与，共面；B．若与，共面，则存在实数，，使；C．若存在实数，，使则点，，A，共面；D．若点，，A，共面，则存在实数，，使．【对点演练】（1）（2022·江苏常州·高二期中）对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（

）A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．与点位置有关（2）（2022·全国·高二课时练习）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（

）A．2 B． C．1 D．（3）（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）下列命题中正确的是（

）A．若∥，则∥B．是共线的必要条件C．三点不共线，对空间任一点，若，则四点共面D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件例5已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.证明(1)连接BG，则eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))，由共面向量定理知E，F，G，H四点共面.(2)因为eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.【对点演练】已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，，，.(1)求证：四点共面；(2)平面平面.1.（2022·全国·高二专题练习）下列命题中正确的是（）A．若，，则与所在直线平行B．向量、、共面即它们所在直线共面C．空间任意两个向量共面D．若，则存在唯一的实数λ，使2．直线的方向向量，直线的方向向量，则不重合直线与的位置关系是（

）A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定3．化简所得的结果是（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高二课时练习）下列命题为真命题的是（

）A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B．若，则､的长度相等且方向相同C．若向量､满足，且与同向，则D．若两个非零向量与满足，则.5．给出下列四个命题，其中是真命题的有（

）A．若存在实数，，使，则与，共面；B．若与，共面，则存在实数，，使；C．若存在实数，，使则点，，A，共面；D．若点，，A，共面，则存在实数，，使．6.（2022·全国·高一）如图，在三棱锥中，设，若，则=（

）A． B