专题50圆的方程（原卷版）

专题50圆的方程知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：圆的方程题型二：与圆有关的最值问题题型三：与圆有关的轨迹问题培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.【考点预测】1．圆的定义和圆的方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．【常用结论】1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.【方法技巧】1.求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.2.与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为圆上动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.3.求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.二、【题型归类】【题型一】圆的方程【典例1】已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1【典例2】已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________．【典例3】已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，则圆E的标准方程为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,4)【典例1】已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求eq\f(y－3,x＋2)的最大值和最小值；(3)求y－x的最大值和最小值．【典例2】设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的最大值为________．【典例3】(多选)若P是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任一点，则点P到直线y＝kx－1距离的值可以为()A．4 B．6C．3eq\r(2)＋1 D．8【题型三】与圆有关的轨迹问题【典例1】设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程.【典例2】已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.【典例3】已知线段AB的端点B的坐标为(8,6)，端点A在圆C：x2＋y2＋4x＝0上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．三、【培优训练】【训练一】（2023秋·高二单元测试）已知，点P为直线上的一点，点Q为圆上的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【训练二】（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）图为世界名画《蒙娜丽莎》.假设蒙娜丽莎微笑时的嘴唇可看作半径为的圆的一段圆弧，且弧所对的圆周角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为（

）A． B．C． D．【训练三】（多选题）（2024·江西·校联考模拟预测）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆（图2）.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点，均在的蒙日圆上，，分别与相切于，，则下列说法正确的是（

）A．的蒙日圆方程是B．设，则的取值范围为C．若点在第一象限的角平分线上，则直线的方程为D．若直线过原点，且与的一个交点为，，则【训练四】（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，，，.则下列说法正确的是（

）A．若点P在直线AB上运动，当取得最大值时，的值为B．若点P在直线AB上运动，在上的投影的数量的取值范围是C．若点P在以r=为半径且与直线AB相切的圆上，取得最大值时，的值为3D．若点P在以r=为半径且与直线AB相切的圆上，的范围是【训练五】（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知三点在圆上，的重心为坐标原点，则周长的最大值为.【训练六】（2023·重庆万州·统考模拟预测）设抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，（其中O为坐标原点）的面积为4．(1)求外接圆的方程；(2)若过点的直线与抛物线C交于A，B两点，延长AF，BF分别与抛物线C交于M，N两点，证明：直线MN过定点，并求出此定点坐标．四、【强化测试】一、单选题1．（2023·北京·模拟预测）当圆的圆心到直线的距离最大时，（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知，点P满足，直线，当点P到直线l的距离最大时，此时m的值为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高二专题练习）已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（

）A． B． C． D．4．（2023·江西·校联考一模）古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯（，公元3世纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线.今有平面内三条给定的直线，，，且，均与垂直.若动点M到的距离的乘积与到的距离的平方相等，则动点M在直线之间的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线5．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中,已知,,若该平面中不存在点,同时满足两个条件与,则的取值范围是（

）A． B．C． D．6．（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知圆，圆，过动点P分别作圆、圆的切线PA，PB（A，B为切点），使得，则动点P的轨迹方程为（

）．A． B．C． D．7．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与圆相交于M，N两点.则的最小值为（

）A． B． C．4 D．68．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知点，圆，过点的直线与圆交于，两点，则的最大值为（

）A． B．12 C． D．二、多选题9．（2023春·江西新余·高二新余市第一中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线，过点与圆分别切于，，两点，交于点，和，，则（

）A．与没有公共点B．经过，，三点的圆的方程为C．D．10．（2023春·江苏南京·高二金陵中学校考期中）已知圆C过点，，直线m：平分圆C的面积，过点且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，则（

）A．圆心的坐标为B．圆C的方程为C．k的取值范围为D．当时，弦MN的长为11．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点，点M在x轴上，则（

）A．B不在圆C上 B．y轴被圆C截得的弦长为3C．A，B，C三点共线 D．的最大值为12．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上存在一点M，使过点M所作的圆的两条切线相互垂直，则点M的纵坐标为（

）A．1 B． C． D．三、填空题13．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知动圆经过点及原点,点是圆与圆的一个公共点,则当最小时,圆的半径为.14．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为.15．（2023·全国·高三专题练习）过点作圆的两条切线，切点分别为，则的直线方程为.16．（2023春·江苏南京·高二校考期末）直线经过点，与圆相交截得的弦长为，则直线的方程为．四、解答题17．（2023秋·山东临沂·高二山东省临沂第一中学校考期末）已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直．(1)求直线的一般式方程；(2)若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程．18．（2022·全国·高一专题练习）点是曲线上任一点，已知曲线在点处的切线方程为．如图，点P是椭圆上的动点，过点P作椭圆C的切线l交圆于点A、B，过A、B作圆O的切线交于点M．(1)求点M的轨迹方程；(2)求面积的最大值．19．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的焦距为，设椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，且是顶角为的等腰三角形.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知是椭圆上的两点，以椭圆中心为圆心的圆的半径为，且直线与此圆相切.证明：以为直径的圆过定点.20．（2023秋·天津北辰·高二校考期末）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求：(1