三角函数的应用

5三角函数的应用教学目标一、基本目标1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用．2．把直角三角形的边角关系与实际问题联系起来，在解决实际问题时，养成“先画图，再求值”的习惯．二、重难点目标【教学重点】1．理解方向角的概念．2．用解直角三角形解决航海问题、仰角、俯角、坡度等实际问题．【教学难点】建立直角三角函数模型，解决实际问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P19～P21的内容，完成下面练习．【3min反馈】(一)方向角1．方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正北或正南为始边，旋转到观察目标的方向线所成的锐角，方向角也称象限角．2．如图，我们说点A在点O的北偏东30°方向上，点B在点O的南偏西45°方向上，或者说点B在点O的西南方向．(二)仰角、俯角1．在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．2．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的函数模型)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用解直角三角形的有关性质，解直角三角形；(3)得到数学答案；(4)得到实际问题的答案．(三)坡度、坡角1．坡度通常写成1∶m的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝eq\f(h,l)＝tanα.2．如图，斜坡AB和水平面的夹角为α，下列说法不正确的是(B)A．斜坡AB的坡角为αB．斜坡AB的坡度为eq\f(BC,AB)C．斜坡AB的坡度为tanαD．斜坡AB的坡度为eq\f(AC,BC)环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)(一)航海问题【例1】如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？【解答】如题图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝eq\f(BD,AD)，∴BD＝AD·tan55°.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)，∴CD＝AD·tan25°.∵BD＝BC＋CD，∴AD·tan55°＝20＋AD·tan25°，∴AD＝eq\f(20,tan55°－tan25°)≈(海里)．而海里>10海里，∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险．【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．应先求出点A距BC的最近距离，若大于10海里则无危险，若小于或等于10海里则有危险．(二)仰角、俯角问题【例2】如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1m)【解答】∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，∴BD＝AB＝50m，∴DC＝BD·sin60°＝50×eq\f(\r(3),2)＝25eq\r(3)≈43(m)．即该塔高约为43m.【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决这类问题时，找出仰角并解含这个仰角的直角三角形是解题的关键．(三)坡度问题【例3】某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占了多长一段地面？(结果精确到m)【互动探索】(引发学生思考)画出示意图→在直角三角形中分别求出CD、BD、AC的长→得出结论．【解答】根据题意可得图形，如图所示：在Rt△ABD中，∵sin40°＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(AD,4)，∴AD＝4sin40°≈4×＝(m)．在Rt△ACD中，∵tan35°＝eq\f(AD,CD)＝eq\f,CD)，∴CD＝eq\f,tan35°)≈(m)．∵tan40°＝eq\f(AD,BD)＝eq\f,BD)，∴BD＝eq\f,tan40°)≈(m)，∴CB＝CD－BD≈－＝(m)，∴楼梯多占了m长一段地面．∵AC＝eq\f(AD,sin35°)≈(m)，∴AC－AB≈－4＝(m)．即调整后的楼梯会加长m.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度和坡角构造直角三角形，利用三角函数求解．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α＝75°，若AC＝6米，则树高BC为(D)A．6sin75°米 B．eq\f(6,cos75°)米C．eq\f(6,tan75°)米 D．6tan75°米2．如图，防洪大坝的横断面是梯形，坝高AC为6米，背水坡AB的坡度i＝1∶2，则斜坡AB的长为6eq\r(5)米．3．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10m，此时他与出发地的垂直距离为6m，则这个坡面的坡度为3∶4.4．如图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．(1)试说明点B是否在暗礁区域外；(2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．解：(1)过点C作CD⊥AB于点D，设BC＝x海里．在Rt△BCD中，∵∠CBD＝60°，∴BD＝eq\f(1,2)x海里，CD＝eq\f(\r(3),2)x海里．在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(\f(\r(3),2)x,18＋\f(1,2)x)＝eq\f(\r(3),3)，解得x＝18.∵18海里>16海里，∴点B是在暗礁区域外．(2)∵CD＝eq\f(\r(3),2)×18＝9eq\r(3)(海里)，9eq\r(3)＜16，∴若继续向东航行船有触礁的危险．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)