2022中考数学复习《二次函数综合题》（解析版）

专题08二次函数综合题(解析版)

专题诠释：二次函数一直是中考的重点与热点，常以压轴题形式出现。考查的类型有线段问

题，面积问题，角度问题，存在性问题及新定义型问题等。

第一部分要由珂析+针对训然

类型一线段问题

典例1(2020秋•安庆期中)如图，抛物线y=af+bx+4交x轴于“(-3,0),B(4,0)

两点，与y轴交于点C,连接/C,BC.M为线段08上的一个动点，过点用作PMLx

轴，交抛物线于点P，交8C于点Q.

(1)求抛物线的表达式；

(2)过点尸作PN_L8C,垂足为点N.设M点的坐标为加，0),请用含m的代数式

表示线段PN的长，并求出当机为何值时PN有最大值最大值是多少？

1

思路引领：(1)用待定系数法即可求解；

(2)由PN=PQsin45。=字(一号/+gm)=—容一+竽ni即可求解.

彳旦19a—3b+4=0

解:(1)将/(-3,0),B(4,0)代入尸0?+以+4,Wtl6a4-4-4=O'

解之，得13.

[b=3

所以，抛物线的表达式为y=-#+上+4；

11

(2)由丁=一打2+"+4,得C(0,4).

将点8(4,0)、C(0,4)代入y=h+6,得｛：匕，=0,解之，得忆J

所以，直线8c的表达式为：y=-xH.

由M(m,0),得P(zn,—^m2++4),Q(m,-m+4).

:・PQ=一.病++4+m—4=一可一+

•：OB=OC,

工乙4BC=NOCB=45°.

AZPQN=ZBQM=45Q.

DMnn,ACO—荻r124、_/2?2般_5/2/9、22底

・•・PN=_PQsizi45=(一+可m)=—g-znzH—-m=—(m-2)H—-,

•<-f<0>

2V2

，当，〃=2时，PN有最大值，最大值为一^―.

点睛：本题考查的是抛物线与x轴的交点，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、等

腰三角形的性质等，有一定的综合性，难度不大.

针对训练1

1.(2019•贺州)如图，在平面直角坐标系中，已知点8的坐标为(-1,0),且ON=OC

=408,抛物线y=nx2+bx+c(a^O)图象经过/,B,C三点.

(1)求4C两点的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)若点P是直线NC下方的抛物线上的一个动点，作POLNC于点。，当尸。的值最

大时，求此时点P的坐标及的最大值.

思路引领：(1)OA=OC—4OB=4,即可求解；

(2)抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x-4)=a(x2-3x-4),即可求解;

(3)PD=HPsinNPFD=(x-4-x2+3x+4,即可求解.

解：⑴OA=OC=4OB=4,

故点X、C的坐标分别为(4,0)、(0,-4)；

(2)抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x-4)=a(/-3x-4),

即-4a=-4,解得：a=l,

故抛物线的表达式为：y=x2-3x-4：

(3)直线C4过点C,设其函数表达式为：y=kx-4,

将点力坐标代入上式并解得：A=l，

故直线CA的表达式为：y=x-4,

过点P作y轴的平行线交AC于点H,

〃y轴，：.ZPHD=ZOCA=45°,

设点尸(x,?-3x-4),则点，(x,x-4),

PD=HPsmZPHD=号(x-4-x2+3x+4)=~^-x2+2>/2x,

•.•一孝<0,.•.尸。有最大值，当工=2时・，其最大值为2vL

此时点P(2,-6).

点睛：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等，其中(3),

用函数关系表示尸。，是本题解题的关键.

类型二面积问题

典例2(吉林中考)如图，抛物线y=(x-1)2+左与x轴相交于48两点(点/在点8的

左侧)，与y轴相交于点C(0,-3).尸为抛物线上一点，横坐标为，〃，且切>0.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)当点P位于x轴下方时，求△/8P面积的最大值；

(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点产)最高点与最低点的纵坐标之

差为h.

①求〃关于机的函数解析式，并写出自变量机的取值范围；

②当/>=9时，直接写出△BC尸的面积.

思路引领：(1)将点C(0,-3)代入歹=(x-1)之+k即可；

(2)易求4(-1,0),B(3,0),抛物线顶点为(1,-4),当尸位于抛物线顶点时,

△45。的面积有最大值；

(3))①当0＜加＜1时、h=-3-(加2-2m-3)=-加2+2加；当1＜m＜2时，h=-3

-(-4)=1；当加＞2时，h=m2-2m-3-(-4)=w2-2m+］；

②当〃=9时若-加2+2用=9,此时A＜0,加无解；若〃?2-2加+1=9,则加=4,则尸(4,

ill

5),△8CP的面积=/8X4-/5Xl-/(4+1)X3=6；

解：(1)将点C(0,-3)代入y=(x-1)2+k,

得k=-4,

'.y=(x-1)2-4=7-2r-3；

(2)令y=0,x=-1或x=3,

：.A(-1,0),B(3,0),

：.AB=4：

抛物线顶点为(1,-4),

当P位于抛物线顶点时，44BP的面积有最大值，

S=gx4x4=8；

(3)①当0＜加＜1时，h=-3-(m2-2m-3)=-m2+2m；

当lWmW2时，h=-3-(-4)=1：

当"?＞2时，h=m2-2m-3-(-4)=m2-2w+l：

②当h=9时

若-，M+2用=%此时AVO,7M无解；

若tn2-2m+l=9.则m=4,

：.P(4,5),

,:B(3,0),C(0,-3),

.♦.△8"的面积=2x8X4-；x5Xl-ax(4+l)X3=6；

点睛：本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质,

数形结合，分类讨论是解题的关键.

针对训练2

2.(2021•百色)已知。为坐标原点，直线/：尸一分+2与x轴、〉轴分别交于/、C两点,

点8(4,2)关于直线/的对称点是点E,连接EC交x轴于点。.

(1)求证：AD=CD；

(2)求经过8、。、。三点的抛物线的函数表达式；

(3)当X>0时，抛物线上是否存在点P,使S"BC=若存在，求点尸的坐标;

若不存在，说明理由.

思路引领：(1)求出4、C两点的坐标，可得四边形O/8C是矩形，贝IJO/〃8C,NBCA

=ZOAC,由对称可得等量代换得等角对等边即可

得出/O=CD；

(2)设0D=m,由对称可得CE=BC=4,4E=AB=OC=2,由(1)得CD=AD=4

-m,在RtZ\OC〃中，根据勾股定理可得〃?=|,可得。的坐标，再由8、C、。三点的

坐标通过待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；

⑶过点E作屈kLx轴于由Sk4E0=可得设8c

中8c边上的高为〃，由SMBC=|SME可得〃=2,则点尸的纵坐标为0或4,分别将y

=0和)，=4代入抛物线的函数表达式即可求解.

(1)证明：•••尸一营+2与x轴、.轴分别交于4、C两点，

：.A(4,0),C(0,2),

由对称得/NACB,

*：B(4,2),

四边形O/2C是矩形，

：.0A//BC,：.ZBCA=ZOAC,

AZACD=ZOACf：.AD=CD；

(2)解：设由对称可得CE=8C=4,AE=AB=OC=2,NAED=NB=90°,

.\CD=AD=4-m,

在RtZXOCO中，oJ+OCZnCZ^,

/./?72+22=(4-m)2,

33

,\fn=5,:.D(一,0),

22

设经过8、C、。三点的抛物线的函数表达式为：y=«x2+bx+c,

3

把8(4,2),C(0,2),D(-,0)代入得：

2

c=2

16a+4b+c=2,

言a+,b+c—0

{42

8

a=15

解得:,32.

h=-i5

c=2

.•・经过8,C,。三点的抛物线的函数表达式为：夕=袅2_1|什2；

(3)解：存在，

-,■SAAED=^AD-EM,

X2X5=4X(4-^)EM,：.EM=

22225

设XPBC中8。边上的高为h,

5511

*：S八PBC=QSAOAE，*e--x二OA・EM=；BC，h,

5161

4

-X-XX-=-X

32524/7

VC(0,2),B(4,2),

・••点尸的纵坐标为0或4,

①y=0时,

解得:

②y=4时，一x2-=4,

151b

解得：X3=生要，3=生萝(舍去)，

354+vyi

存在，点P的坐标为(二，0)或(二，0)或(------，4).

222

点睛：本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、待定系数法，矩形的性质、

对称的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识，解题的关键是利用

待定系数法求出过8、C,。三点的抛物线的函数表达式，学会用分类讨论的思想思考问

题，属于中考压轴题.

类型三存在性问题

3

典例3(2020•东丽区一模)如图，抛物线经过/(-1,0),B(3,0),C(0,-)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使以+PC的值最小，求点P的坐标；

(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点M使以C,M,N四点构成

的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.

B\x

思路引领：(1)根据待定系数法，可得函数解析式；

(2)因为点Z关于对称轴对称的点8的坐标为(3,0),连接8c交对称轴直线于点尸,

求出P点坐标即可；

(3)分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论.

解：(1)设抛物线的解析式为y=/+6x+c(〃W0),

3

,：A(-1,0),B(5,0),C(0,-)三点在抛物线上，

1

a—b+c=0a.--

.2

9a+3b+c=0b.1

解得3

c.

=lc-

k2

抛物线的解析式为：、=一＞2+尢+京

(2)•.•抛物线的解析式为y=-#+x+|,

其对称轴为直线：%=-^-=——」=L

2a2x(-1)

连接8C,设直线8c的解析式为(左中0),

3

*：B(3,0),C(0,-),

2

(3k+b=0ffc=-5

A.3解得｛J.

Ifb=f.

直线BC的解析式为y=-1x+|.

1Q

当x=l时，y=~2+2=

：.P(1,1)；

(3)存在.如图2所示.

①当点N在x轴上方时，

3

•.•抛物线的对称轴为直线x=l,C(0,

3

'.N\(2,—)；

2

②当点N在x轴下方时，

如图，过点M作N1DA.X轴于点D,

：.AANiDq4MleO.

：.NiD=OC=^即M点的纵坐标为一宗

-32+工+|=—1,解得X=1+迎或X=\一巾,

QO

:.Ni(1+V7,N3(1-V7,-1).

3oo

综上所述，点N的坐标为(2,-),(1+V7,(1-V7,

点睛：本题考查的是二次函数综合知识，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的

解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答(3)时要注意进行分类讨

论.

针对训练3

3.(2021•巴中)已知抛物线y=a7+6x+c与x轴交于Z(-2,0)、B(6,0)两点，与〉

轴交于点C(0，-3).

(1)求抛物线的表达式；

PM

(2)点尸在直线8C下方的抛物线上，连接NP交3。于点当二7；最大时，求点尸的

AM

PM

坐标及二77的最大值；

(3)在(2)的条件下，过点尸作x轴的垂线/,在/上是否存在点。，使是直角

三角形，若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

思路引领：(1)将/(-2,0)^B(6,0)^C(0,-3)代入y—ax^+6x+c即可求解析

式；

(2)过点Z作轴交直线于点£过P作尸凡Lx轴交直线于点凡由Pb

MPPFPF

//AE,可得777=77，则求大的最大值即可；

AMAEAE

(3)分三种情况讨论：当NC8O=90°时，过点8作GHJ_x轴，过点。作。G_Ly轴，

DG与GH交于点、G,过点。作C"_Ly轴,C"与G"交于点〃，可证明△OBGsAgCH,

求出。（3,6）；当N8CZ）=90°时，过点。作。轴交于点K,可证明△OBCs4

KCD,求出。（3,-9）；当N8DC=9O°时，线段8C的中点7（3,—少，设。（3,加），

13V53Q./qQ

由。7=白8。，可求。（3,——一）或。（3,一竽一2）.

22222

解：（1）将点4（-2,0）、B（6,0）、C（0,-3）代入y=/+fec+c,

（4a-2b+c=0fa=i

得］36a+6b+c=0,解得｛匕=f

（c=-3UZ-3

••.尸不1丫2~X-23；

（2）如图1,过点4作4轴交直线BC于点、E,过产作PFLx轴交直线8。于点R

MPPF

:.PF//AE

9AM~AE

设直线BC的解析式为y=fcr+d,

.(6k+d=0.ffc=i

，，，

.(=—3ld=_3

.12

.•尸-3,

设尸"，Jr2-r-3),则尸(/,*-3),

I1o13

PF=~3-4，+f+3=一下9+2^»

'：A(-2,0),：.E(-2,-4),

：.AE=4,

...小=竺=至受=_4+*=4”3)

9

AMAE41681616f

MP9

：・当z=3时，"7二有最大值77，

AM16

：.P（3,-苧）；

（3）VP（3,-苧），。点在/上,

如图2,当/。8。=90°时，

过点8作G，_Lx轴，过点。作。G_Ly轴，OG与GH交于点G,过点C作C〃J_y轴,

CH与GH交于点//,

ZDBG+ZGDB=90°，NDBG+NCBH=90",

:.NGDB=/CBH,

：.△DBGS^BCH,

DG_BG3BG

即一=--

BH-CH36

:.BG=6,

：.D(3,6)；

如图3,当NBCD=900时，

过点D作DK±y轴交于点K,

♦：NKCD^NOCB=90°,NKCD+NCDK=9Q。,

：.ZCDK=ZOCB,

:AOBCSAKCD,

OBOC_63

/.—=,即—=一,

KCKDKC3

:・KC=6,

：.D(3,-9)；

如图4当NBDC=90。时，

线段BC的中点7(3,-|),BC=3后

设。(3,%),

'：DT=^BC,二|阳+||=苧，

.3V53T3V53

>>/M=_2--之或"?=--r~2,

3y/53-3753

:・D(3,——)或。(3,«5)；

2222

综上所述：ABC。是直角三角形时，。点坐标为(3,6)或(3,-9)或(3,-竽-力或

点睛：本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将一

AM

的最大值问题转化为求竺的最大值问题是解题的关键.

AE

类型四角度问题

13.(崇川区模拟)如图，抛物线卜=«?+版+，交x轴于O(0,0),A(8,0)两点，顶点

(1)直接写出抛物线的解析式;

(2)若点C是抛物线上异于原点。的一点，且满足28c2=0貂+20c2,试判断△os。

的形状，并说明理由.

(3)在(2)的条件下，若抛物线上存在一点D,使得NOCD=N/OC-NOCA,求点

D的坐标.

思路引领：(1)根据抛物线卜=4：+6/。交x轴于。(0,0),A(8,0)两点，顶点8

的纵坐标为4,根据待定系数法可求抛物线的解析式：

(2)设C(x,y),由勾股定理得点C(12,-12),则/4O8=NNOC=45°,ZBOC

=90°,因此△OBC是直角三角形；

(3)作轴于E,根据三角函数可得直线与抛物线的交点即为所求点D./\OBC

中，tanN0C8=^^=g可得直线上方的点。即为点8(4,4),由点8关于点。的

12v2$

对称点〃(-4,-4),且O8_LOC,可得NOCB=NOCB,,将直线8c解析式为尸一方

-6代入抛物线y=—/M+2x,可得点。的坐标.

解：(1)..•抛物线ynaW+bx+c交x轴于O(0,0),A(8,0)两点，顶点8的纵坐标

为4,

C=0(Q=一;

64a+8b+c=0,解得，—2,

16a+4b+c=0(c=0

故抛物线的解析式是y=-1x2+2x；

(2)△OBC是直角三角形.

如图1,设C(x,y),

由勾股定理得：OB2=42+42,OC2=x2+y2»BC2=(.x-4)2+(y-4)2,

•.,2802=0/2+20c2,

二化简得x=-y,

代入产—^x2+2x,

解得x=12,y=-12,

即点C(12,-12),

则408=400=45°,Z5OC=90°,

因此△OBC是宜角三角形.

1

(3)如图2,作CEJ_x轴于E,则tan//CE=w.

VZAOC^ZOCE=45°,

AZAOC-NOCA=NOCE-』OCA=NACE,

,/Z0CD=NAOC-ZOCA,

：.tanZOCD=1,

只要经过点c,在co的上方与下方各作一条直线，使所作直线与c。所成锐角的正切值

1

为9则直线与抛物线的交点即为所求点D

,/△O8C中tanZOCB==

12/2

直线上方的点。即为点8(4,4),

,/点B关于点O的对称点B'(-4,-4),且OBLOC,

：.ZOCB=ZOCB'

•直线B'C解析式为了=-寺x-6

.••代入抛物线y=-Jx2+2x,

解得xi=-2,X2=1O(舍去),

当x=-2时，y=-5.

则。(-2,-5).

点睛：本题主要考查了二次函数综合题，涉及运用待定系数法求抛物线解析式、直角三

角形的判定、三角函数、勾股定理等知识，运用图形结合的思想是解题的关键.

针对训练4

(2021•枣庄)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-热+3与x轴交于点4,与y轴交于

点B,抛物线y=^x2+bx+c经过坐标原点和点A,顶点为点M.

(1)求抛物线的关系式及点M的坐标；

(2)点E是直线下方的抛物线上一动点，连接£8,E4当△E/8的面积等于g时，

求E点的坐标；

(3)将直线N3向下平移，得到过点〃的直线且与x轴负半轴交于点C,取

点。(2,0),连接求证：ZADM-ZACM=45°.

思路引领：(1)用待定系数法即可求解；

1

=(2+3)xV5,由点。、河的坐标得，DM=7(2-3)2+(0+3)2=V10,即可

求解.

解：(1)对于产-3叶3,令y=-%+3=0,解得x=6,令x=0,则y=3,

故点/、5的坐标分别为(6,0)、(0,3),

;抛物线产条2+Ax+c经过坐标原点，故c=0,

将点”的坐标代入抛物线表达式得：0=*36+68,解得〃=-2,

故抛物线的表达式为尸#-2x；

则抛物线的对称轴为x=3,当x=3时，y=#-2x=-3,

则点M的坐标为(3,-3)；

设点E的坐标为(K,jx2-2x),则点“(x,-1x+3),

111121

则△£1"的面积=SAE//8+SAE/A4=2xE〃XOA=5x6X(-6+3-ix2+2x)=爱,

7

解得x=i或万，

故点E的坐标为(1,-|)或(1,—碧)；

(3)•••直线48向下平移后过点M(3,-3),

故直线CAf的表达式为y=(x-3)-3=-%-*,

令夕=-/一2=0,解得x=-3,

故点C(-3,0)；

过点D作DHVCM于点H,

V直线CM的表达式为y=-1x-1故tanZAfCD=则sinNMCZ)=专,

1

则(2+3)X=V5,

DH=CDsmZMCD=奔

由点O、M的坐标得，DM=J(2_3)2+(0+3)2=V10,

则sin/M如鼠=磊=竽，

故N〃MZ)=45°=ZDMC=ZADM-ZACM=45°,

ZADM-ZACM=45°.

点睛：本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、面积的计

算等，其中（3）,确定N。历4CM是本题解题的关键.

类型五新定义问题

典例5（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个

函数图象的“等值点”.例如，点（1,1）是函数、=3+/的图象的“等值点”.

（1）分别判断函数y=x+2,y=7-x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出”等

值点”的坐标：如果不存在，说明理由；

（2）设函数夕=3（x>0）,y=-x+6的图象的“等值点”分别为点Z,B,过点8作8c

_Lx轴，垂足为C.当△ZBC的面积为3时，求6的值；

（3）若函数尸7-2（x》m）的图象记为斯，将其沿直线x=〃?翻折后的图象记为礼.当

必，仍两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围.

思路引领：（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；

（2）先根据“等值点”的定义求出函数y=|（x>0）的图象上有两个“等值点”/（V3,

遮），同理求出8弓〃，/）,根据△ABC的面积为3可得］xjb|X|百一夕|=3,求解

即可；

（3）先求出函数y=7-2的图象上有两个“等值点”（-1,-1）或（2,2）,再利用

翻折的性质分类讨论即可.

解：(1)在y=x+2中，令x=x+2,得0=2不成立，

・・.函数y=x+2的图象上不存在“等值点”；

在歹=-一工中，4'X2-x=x,

解得：期=0,X2=2,

・,・函数的图象上有两个“等值点”(0,0)或(2,2)；

(2)在函数尸|(x>0)中，令

解得：x=V3,

：.A(V3,V3),

在函数y=-x+b中，令x=~x+b,

111

解得：x=冲,:・B(~b9-b)9

1

・・・8C_Lx轴，：.C(-b,0),

2

：.BC=^b\,♦.•△Z8C的面积为3,

当6Vo时，h2-2y[3b-24=0,

解得b=-2V3,

当0Wb<2VW，b2-2y[3b+24=0,

,:X=(-2V3)2-4X1X24=-84<0,

方程b2-2V3b+24=0没有实数根，

当622代时，b2-2\[3b-24=0,

解得：b—4y/3,

综上所述，b的值为-2次或4旧；

(3)令x=/-2,

解得：X\=~1>X2=2,

...函数y=7-2的图象上有两个“等值点”(-1,-1)或(2,2),

①当用<7时，W\,区两部分组成的图象上必有2个“等值点”(-1,-1)或(2,

2),

W\：y=7-2

检：y=(x-2m)2-2(X</M),

令x=(x-2m)2-2,

整理得：--(4〃?+l)x+4/-2=0,

的图象上不存在“等值点”,

・・・△<0,

・♦・（4〃?+1）2-4（4/M-2）＜0,

・♦・mV「一百9,

②当机=-1时，有3个“等值点”（-2,-2）、（-l,-1）.（2,2）,

③当7＜加＜2时，W\,收两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，

④当m=2时，W\,收两部分组成的图象上恰有1个“等值点”（2,2）,

⑤当机＞2时，W\,g两部分组成的图象上没有“等值点”，

综上所述，当旧，伙两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，mV-得或-1V〃?＜

O

2.

点睛：本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“等值点”综合运用，一

元二次方程根的判别式，翻折的性质等，综合性较强，解题关键是理解并运用新定义，

运用分类讨论思想解决问题.

针对训练5

5.（2021•长春模拟）定义：形如y=|G|（G为用自变量表示的代数式）的函数叫做绝对值

函数.

例如，函数尸产库y=|--+入+3|都是绝对值函数.

x(x>0)

绝对值函数本质是分段函数，例如，可以将y=R写成分段函数的形式：y=

—%(%<0)

2

~Ox

备用图

探索并解决下列问题：

（1）将函数y=|x-1|写成分段函数的形式；

（2）如图1,函数1|的图象与x轴交于点“（1,0）,与函数y=停|的图象交于8,

C两点，过点8作x轴的平行线分别交函数y=4|,y=[x-1|的图象于。，E两点.求

证"BEs^CDE；

（3）已知函数yf-f+Zr+BI的图象与J/轴交于F点，与x轴交于M,N两点（点”在

点N的左边），点P在函数^=|-$+2%+3]的图象上（点尸与点尸不重合），轴，

垂足为H.若ZXPMH与/\MOF相似，请直接写出所有符合条件的点P的坐标.

思路引领：(1)根据绝对值的性质即可得到函数>=)%-1|分段函数的形式；

(2)根据条件得各点坐标为：B(3,2),C(-2,3),£(-1,2),£)(-3,2),根

据两点间的距离公式得到DE,AE,CE,再根据相似三角形的判定即可求解；

(x2-2x-3(x<-1)

(3)由题意得y=|-x2+2r+3]=(-%2+2x+3(-1Wx〈3),设P的横坐标为x,分△

(x2—2x—3(x>3)

PM*丛FMO,4PMHS丛MFO,APMHS丛MF,进行讨论可求点尸的坐标.

(X—l(x>1)

解：⑴y=|x-l|=[r+l(xvi)；

(2)•.•函数y=|x-”与函数y=|||的图象交于8,C,过点B作x轴的平行线分别交函

数y=停1，-1]的图象于。，E两点.

...根据条件得各点坐标为：B(3,2),C(-2,3),E(-1,2),D(-3,2).

:.BE=3-(-1)=4,DE=-1-(-3)=2,AE=y[4+4=2&,CE=VTTT=V2,

BEAE

・••在△4E5和△CED中，/AEB=/CED,—=—=2,

DECE

：.MMBSAPNA.

一,-、，1013811

(3)P的坐标为(6,21),(一,一),(一，一).

3939

当x=0时，>=|-/+2x+3|=3,：.F(0,3).

当y=0时，|-/+2%+3|=0,Axi=-1,%2=3,：.M(-1,0),N(3,0).

(x2-2%-3(xV-1)

由题意得y=|-X2+2X+3|=<-x2+2x+3(-1<x<3),

(X2-2X-3(X>3)

设尸的横坐标为》,

当x<-1时，由题意得P(x,7-2x-3),

…PHFOX2-2X-3

若丛PMHs丛FMO,—----=3,-------------=3.

MHMO-1-x

解得xi=-1(舍去)，X2=0(舍去).

PHMO1X2-2X-31

若APMHSAMFO,—=—=

MHFO3-1—x3

解得%1=—1(舍去)，％2=?(舍去)•

当-l〈xV3时，由题意得尸(x,-7+2x+3),

,八PHMO1-X2+2%+31

右/\PMHsAMFO,==一,

MHFO3X+l3

解得亢1=-1（畲为,%2=Q-

811

...P的坐标为号-）.

PHM0-X2+2X+3

若APMHsAMFO,==3,----------=3.

MHF0x+1

解得知=-1（舍去），X2=0（舍去）.

当x>3时，由题意P（x,x2-2x-3）,

PHFOX2-2X-3

右丛PMHsAFMO,==3,--------=3.

MHMOx+l

解得Xl=-1（舍去），X2=6.

，。的坐标为（6,21）.

PHMO1二一2比一3_1

若丛PMHS^MF,—=—=一,

MHFO3X4-1-3

解得=-1（舍去）,x2—3

1013

.•.P的坐标为（77，—）.

39

点睛：本题考查了二次函数综合题，两点间的距离公式，相似三角形的判定与性质，考

查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力，弄清绝对值函数的定义，进行分类讨论是

解题的关键.

第二部分专题理优训练

1.（2020•成都模拟）已知，如图，抛物线》=0?+瓜+。（aWO）的顶点为"（1,9）,经过抛

物线上的两点力（-3,-7）和8（3,加）的直线交抛物线的对称轴于点C.

(2)在抛物线上4/两点之间的部分(不包含4朋两点)，是否存在点。，使得

DAC=2S&DCM?若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)上下平移直线设平移后的直线与抛物线交于H,B'两点(4在左边，B'

在右边)，且与y轴交于点P(0,〃)，若NHMB'=90°,求〃的值.

思路引领：(1)抛物线的表达式为：y=a(x-1)2+9,将点/的坐标代入上式并解得：

a=-1,即可求解；

(2)S&DAC=2SGDCM，则HN=2GH,即1-4-(34-7)=2(9-4-1+左)，即可求解；

(3)/G4'M=ZHMB'，故tan/GHM=tanZHMB'，即：一—=9-(2^+»)

9一(2%1+九)x2-l

而xi+x2=0,x]X2=n-8,"+”=2〃，y\y2=4n-32+n2,即可求解.

解：(1)抛物线的表达式为：y=a(x-1)2+9,

将点工的坐标代入上式并解得：a=-1,

故抛物线的表达式为：y=-f+2x+8,

将点8坐标代入上式并解得：m=5,

故点8(3,5)；

(2)过点A/、C、4分别作三条相互平移的平行线，分别交y轴于点G、H、N,直线/

与抛物线交于点D,

图1

设直线机的表达式为：y=kx+t,将点”的坐标代入上式并解得：f=9-七

故直线m的表达式为：y=kx+9-k,

当x=0时，y—9-k,即点G（0,9-k）,

同理直线/的表达式为：y=fcr+l-k,故点，（0,1-k）,

同理直线〃的表达式为：y=kx+3k-7,故点N（34-7）,

SADAC=2S&DCM，则HN=2GH,

即1-A-（3八7）=2（9-4-1+左），

解得:k=-2,

故直线/的表达式为：y=-2x+3…②，

联立①②并解得：x=5（舍去）或-1,

故点。（-1,5）；

（3）直线，8'的表达式为：y=2x+n,

设点/'、B'的坐标分别为：（X”以）、（X2,”），

将抛物线与直线48'的表达式联立并整理得：

x2+n-8=0.

故xi+x2=0,xm=n-8,

yi+”=2（xi+x2）+2n=2n,同理可得：y\y2=4n-32+«2,

过点M作x轴的平行线交过点H与y轴的平行线于点G,交过点8'与y轴的平行线

于点H,

MB'=90°,

AZGMA1+ZGA1M=90°,ZGMAf+ZMHB,=90°,

：.ZGAfM=NHMB',故tanNGHM=tanNHMB’,

1_%i9~~(2%2+m2

即：----------=-----------,而xi+%2=0,x\x2=n-8,y\+y2=2n,y\yi=4n-32+〃，

9一(2%i+n)x2-l

整理得：n2-13”+42=0,

解得：〃=6或7(舍去7),

故n=6.

点睛：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会

利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，

从而求出线段之间的关系.

2.(诸城市二模)如图，RtZ\/5。的两直角边O/、08分别在x轴的负半轴和y轴的正半

轴上，O为坐标原点，A,8两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=|x2+bx+c

经过点8,且顶点在直线x=9上.

(1)求抛物线对应的函数关系式；

(2)若把△48。沿x轴向右平移得到△OCE,点/、B、O的对应点分别是。、C、E,

当四边形Z3CD是菱形时，试判断点C和点。是否在该抛物线上，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，连接8Z),已知在对称轴上存在一点P使得△P8Z)的周长最小，

求出P点的坐标.

思路引领：（1）利用对称轴公式求出6的值，再利用8点坐标得出c即可；

（2）利用菱形的性质得出C,。点坐标，再利用图象上点的坐标性质得出答案；

（3）首先求出CD所在直线解析式，进而轴对称得出尸点位置，进而得出P点坐标.

解：⑴：抛物线产jf+bx+c经过8（0,4）,

，。=4,

，♦•顶点在直线X=擀上，；・一/=擀，则----~2=

2X3

解得:6=-孚

•••所求的函数关系式为：尸|/一坐+4；

（2）如图所示：在RtZX/BO中，04=3,0B=4,：.AB=y/0A2+0B2=5,

•..四边形N8CD是菱形，：.BC=CD=DA=AB=5,

・・・C、。两点的坐标分别是（5,4）、（2,0）,

当x=5时，y=\x52-^x5+4=4,

当x=2时,jx22--yx2+4=0,

点C和点D都在所求抛物线上；

（3）由（2）可知，点8与点C关于对称轴对称，

设8与对称轴交于点P,则P为所求的点，

设直线CD对应的函数关系式为y=fcr+6,

则伴+b=4

hk+b=0

ffe=4

3

解得：8，

lh=~3

直线CD对应的函数关系式为：

54582

当

-时-X---=-

23233

点睛：此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理和菱形的性质等知识，利用轴对称求

出P点位置是解题关键.

2.（2021•海安市模拟）如图，平面直角坐标系xOy中，直线y=fcv+3与抛物线y=相

交于/（xi，与），B（X2,y2）两点，与y轴相交于点C,连接/。，BO.

（1）求证：点（yi，"）在反比例函数y=*的图象上；

（2）求/498的度数；

（3）过点/作轴，垂足为〃，连接C“，判断C”，BO的位置关系，并说明理由.

思路引领：（1）联立反比例函数和一次函数表达式并整理得：x2-3fcv-9=0,则xix2=

-9,即可求解；

9

（2）tan/4OH==一些=—9-=我=tan/O8N,进