专题3.5 直线与双曲线的位置关系【七大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

专题3.5直线与双曲线的位置关系【七大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1判断直线与双曲线的位置关系】 2【题型2根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围】 2【题型3双曲线的弦长问题】 3【题型4双曲线的“中点弦”问题】 4【题型5双曲线中的面积问题】 4【题型6双曲线中的定点、定值、定直线问题】 6【题型7双曲线中的最值问题】 7【知识点1直线与双曲线的位置关系】1．直线与双曲线的位置关系(1)研究直线与双曲线的位置关系：一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断.

①代入②得.

当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点.

当0，即时，=.

>0直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交；

=0直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切；

<0直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离.(2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论：

①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件；

②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件>0x1+x2<0x1【题型1判断直线与双曲线的位置关系】【例1】（2022·全国·高二专题练习）直线y=32x+2与双曲线x24-y29=1A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定【变式1-1】（2023·高二课时练习）“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【变式1-2】（2023·高二课时练习）过点P（4，4）且与双曲线x216-A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【变式1-3】（2022·高二课时练习）直线y=2x+m与双曲线A．恒有一个交点 B．存在m有两个交点C．至多有一个交点 D．存在m有三个交点【题型2根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围】【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线y=kx-1与双曲线x2A．±33 B．±233 C．±1或±【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）直线l：y=k(x-A．k≤-1或k≥1 BC．-2<k【变式2-2】（2023·河南·统考模拟预测）若直线l：y=-12x+m与曲线C：A．-22,0C．-2,0∪0,2【变式2-3】（2023·高二课时练习）若过点P0,1的直线l与双曲线E:x2－y2A．(1，2) B．[-2，－1]【知识点2弦长与“中点弦问题”】1．弦长问题①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d.

②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.

③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.

④双曲线的通径：

过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于.2．“中点弦问题”“设而不求”法解决中点弦问题：①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验.

②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.3．双曲线的第二定义平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.【题型3双曲线的弦长问题】【例3】（2022·全国·高二专题练习）过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：x22－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（A．22 B．23C．33 D．43【变式3-1】（2022·全国·高二假期作业）过双曲线x2-y22=1的一个焦点作直线交双曲线于A，A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【变式3-2】（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程是y=2x，过其左焦点A．25 B．45 C．10 D【变式3-3】（2022·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐近线交于C，D两点．若AB=5，则CD=（A．27 B．26 C．35 D．【题型4双曲线的“中点弦”问题】【例4】（2023·高二课时练习）已知双曲线方程x2-y23=1，则以A．6x+y-11=0 B．6x【变式4-1】（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）已知双曲线C：x2-y2b2=1(b>0)的焦点到渐近线的距离为2，直线l与C相交于A，BA．-1 B．1 C．2 D．【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知点A，B在双曲线x2-y2=3上，线段AB的中点为MA．25 B．45 C．210【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线x2-y22=1，过点P1,1的直线l与该双曲线相交于A,BA．2x-yC．2x-【题型5双曲线中的面积问题】【例5】（2023秋·全国·高二期中）设A，B为双曲线x2-y22(1)直线AB的方程；(2)△OAB的面积(【变式5-1】（2023·河南·襄城高中校联考三模）设双曲线E:x2a2-y2b(1)求E的方程；(2)过F2作两条相互垂直的直线l1和l2，与E的右支分别交于A，C两点和B，D【变式5-2】（2023·湖南邵阳·邵阳市校考模拟预测）已知双曲线C的离心率为2，右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，双曲线C的左、右顶点分别为A，B，点M为第二象限内的动点，过点M作双曲线C左支的两条切线，分别与双曲线C的左支相切于两点P，Q，已知MA，MB

(1)求双曲线C的方程；(2)直线PQ是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由.(3)设△APQ和△BPQ的面积分别为S1和S2参考结论：点Rx0,y0为双曲线x【变式5-3】（2023春·浙江衢州·高二统考期末）已知双曲线C:x2-y23=1，过点P2,(1)若点P恰为AB的中点，求直线l的斜率；(2)记双曲线C的右焦点为F，直线FA，FB分别交双曲线C于D，E两点，求S△FABS【题型6双曲线中的定点、定值、定直线问题】【例6】（2023·河北张家口·统考三模）已知点P4,3为双曲线E:x2a2-(1)求双曲线E的标准方程；(2)不过点P的直线y=kx+t与双曲线E交于A,B两点，若直线PA，PB【变式6-1】（2023·广东茂名·茂名市校考三模）已知双曲线C:x(1)求双曲线C的渐近线方程；(2)若双曲线C的右焦点为F，若直线EF与C的左，右两支分别交于E,D两点，过E作l:x=a【变式6-2】（2023春·湖北荆门·高二统考期末）已知双曲线C：x2a2-y(1)求双曲线C的方程：(2)当a<b时，记双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：x=my+2与双曲线C的右支交于M，N两点（异于A2），直线【变式6-3】（2023春·重庆渝中·高二校考期末）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a,b>0的渐近线方程为y=±(1)求该双曲线的标准方程；(2)过x轴上一动点Pt,0作直线l交双曲线的左支于A，B两点，A点关于x轴的对称点为A'（A'与B不重合），连接BA'并延长交x【知识点3双曲线中的最值问题】1．双曲线中的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【题型7双曲线中的最值问题】【例7】（2023·山东淄博·统考三模）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为4(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，∠F1QF2的角平分线记为l，过点M做l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1，（a(1)求C的标准方程；(2)过点M(-2,0)且斜率不为0的直线l与C的左、右两支分别交于点A,B，点N在线段AB上，且|MA||MB|=|AN||NB|，P【变式7-2】（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：x2a2-y2b(1)求双曲线