专题20-立体几何综合-2020年高考数学母题题源解密(山东、海南专版)(原卷版)

专题20立体几何综合【母题题文】如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【试题解析】（1）因为底面，所以．又底面为正方形，所以，因此底面．因为，平面，所以平面．由已知得．因此平面．（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，．由（1）可设，则．设是平面的法向量，则即可取．所以．设与平面所成角为，则．因为，当且仅当时等号成立，所以与平面所成角的正弦值的最大值为．【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查线面关系、面面关系、线面角及二面角的求解，考查数形结合的思想，空间想象能力及运算求解能力等．【命题方向】高考对该部分内容的考查主要有两种形式：一是利用立体几何的知识证明线面关系、面面关系；二是考查学生利用空间向量解决立体几何的能力，考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题.【答题模板】运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：（1）建立恰当的空间直角坐标系；（2）求出相关点的坐标；（3）写出向量坐标；（4）结合公式进行论证、计算；（5）转化为几何结论．【方法总结】1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量判定方法设直线l的方向向量为a=(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ=(a2，b2，c2)，v=(a3，b3，c3)，则（1）线面平行：l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2=0；（2）线面垂直：l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2；（3）面面平行：α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3，b2=λb3，c2=λc3；（4）面面垂直：α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3=0.注意：用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a=λb（λ∈R）即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.2.利用向量求异面直线所成的角把角的求解转化为向量运算，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线AC，BD的夹角β的余弦值为cosβ=.注意：两条异面直线所成的角α不一定是两直线的方向向量的夹角β，即cosα=|cosβ|.3.利用向量求直线与平面所成的角（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．注意：直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化．设直线l的方向向量为a=(a1，b1，c1)，平面α的法向量为μ=(a3，b3，c3)，直线l与平面α的夹角为，则.4.利用向量求二面角求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．注意：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角．设平面α，β的法向量分别为μ=(a3，b3，c3)，v=(a4，b4，c4)，平面α，β的夹角为θ(0≤θ≤π)，则.5.用向量解决探索性问题的方法（1）确定点在线段上的位置时，通常利用向量共线来求．（2）确定点在平面内的位置时，充分利用平面向量基本定理表示出有关向量的坐标而不是直接设出点的坐标．（3）解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．1．（2020·海南期中）已知在正方体中，，分别为，上的点，且满足，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．2．（2020·四川成都·月考）已知三棱锥，平面，且，在中，，，且满足，则三棱锥外接球的体积为（）A． B． C． D．3．（2020·云南昆明一中月考）已知球面上，，三点，如果，且球的体积为，则球心到平面的距离为（）A． B． C． D．4．（2020·浙江省东阳中学其他）已知长方体的高，则当最大时，二面角的余弦值为（）A． B． C． D．5．（2020·湖南雅礼中学月考）已知三棱锥中，为中点，平面，，，则下列说法中正确的是（）A．若为的外心，则B．若为等边三角形，则C．当时，与平面所成角的范围为D．当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为6．（2020·湖南月考）在正方体中，，，分别为，，的中点，则（）A．B．平面C．异面直线与所成角的余弦值为D．点到平面的距离是点到平面的距离的2倍7．（2020·福建省福州第一中学开学考试）在矩形中，，，沿对角线翻折，形成三棱锥．下列判断正确的是（）A．“”是“”的充分条件B．“”是“”的必要条件C．当时，三棱锥的体积为D．三棱锥外接球的表面积不是定值8．（2020·湖南长沙·月考）如图，已知圆锥底面圆的直径与侧棱､构成边长为的正三角形，点是底面圆上异于，的动点，则、、、四点所在球面的半径是______.

9．（2020·福建厦门一中月考）已知三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，平面，，，，，则球O的表面积为________；若D是的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的范围是________．10．（2020·贵州省思南中学期中）如图，在三棱锥中，，，，，．（1）证明：；（2）求三棱锥的体积．11．（2020·湖南长沙一中月考）如图，四边形为平行四边形，，点在上，，且.以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.12．（2020·海南期中）如图，在多面体中，是边长为4的等边三角形，，，，点为的中点，平面平面．（1）求证：平面（2）线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由．13．（2020·江西南昌二中月考）如图，是边长为2的正三角形，平面，分别为的中点，为线段上的一个动点.（1）当为线段中点时，证明：平面；（2）判断三棱锥的体积是否为定值？14．（2020·四川成都·月考）如图（1）所示，是中边上的高线，且，将沿翻折，使得平面平面，如图（2）.（1）求证：；（2）图（2）中，是上一点，连接､，当与底面所成角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值.15．（2020·渝中·重庆巴蜀中学月考）如图甲，在中，，，，，分别在，上，且满足，将沿折到位置，得到四棱锥，如图乙．（1）已知，为，上的动点，求证：；（2）在翻折过程中，当二面角为60°时，求直线与平面所成角的正弦值．16．（2020·云南昆明一中月考）如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，，，.（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由17．（2020·福建厦门一中月考）如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，，分别为，的中点，过的平面与侧面交于.（1）求证：；（2）若平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值.18．（2020·广东月考）如图，四边形为直角梯形，，，，，点D为上一点，且，如图，将绕边翻折形成三棱锥.（1）证明：在三棱锥中，；（2）求三棱锥体积的最大值，并求此时与面所成角的正弦值.19．（2020·江西二模）如图所示，底面为菱形的直四棱柱被过三点的平面截去一个三棱锥(图一)得几何体(图二)，E为的中点．(1)点F为棱上的动点，试问平面与平面是否垂直?请说明理由；(2)设，当点F为中点时，求锐二面角的余弦值．20．（2020·湖南郴州·月考）如图，四棱锥中，是边长为2的正三角形，底面为菱形，且平面平面，，为上一点，满足.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.21．（2020·浙江温州·月考）如图，已知三棱锥中，，D为的中点.（1）求证：；（2）若，求与平面所成角的正弦值.22．（2020·湖南长沙·月考）三棱柱中，平面，且，，，为中点.（1）求四面体的体积；（2）求平面与所成锐二面角的余弦.23．（2020·湖南月考）如图，在四棱锥中，.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值.24．（2020·陕西西安·月考）如图，已知正方体中，点分别是棱的中点.（1）证明：四点共面；（2）证明：平面平面；（3）若正方体的棱长为2，点是线段上的一个动点，且动直线与平面所成的角记为，求的最大值.25．（2020·天津红桥·期中）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD//BC//FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.（I）证明：平面AMD⊥平面CDE；（II）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值.26．（2020·徐州市铜山区大许中学月考）一副标准的三角板（如图1）中，ABC为直角，A=60°，DEF为直角，DE=EF，BC=DF，把BC与DF重合，拼成一个三棱锥（如图1），设M是AC的中点，N是BC的中点．

（1）求证：平面ABC平面EMN；（2）若AC=4，二面角E-BC-A为直二面角，求直线EM与平面ABE所成们的正弦值．27．（2020·湖北期中）如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.28．（2020·广东