新教材数学人教A版教案1-1集合的概念1-1-2集合的表示

第一章集合与常用逻辑用语集合的概念集合的表示[目标]1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)；2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．[重点]集合的两种表示方法及其运用．[难点]对描述法表示集合的理解．知识点一列举法[填一填]把集合的所有元素出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．{}表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；书写时不需要考虑元素的顺序．[答一答]1．实数集也可以写成{实数}，那么能写成{实数集}或{全体实数}吗？提示：不能，因为花括号“{}”表示“所有、全部”的意思．2．列举法能表示元素个数很少的有限集，那么可以用列举法表示无限集吗？提示：对于所含元素有规律的无限集也可以用列举法表示，如正自然数集可以用列举法表示为{1,2,3,4,5，…}．3．集合{(1,2)}与{(2,1)}是否为相等集合？提示：不是．知识点二描述法[填一填]1．一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．2．具体方法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.[答一答]3．集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合吗？提示：是同一个集合．虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合．类型一用列举法表示集合[例1](1)若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是(B)A．1 B．2C．3 D．4(2)用列举法表示下列集合．①不大于10的非负偶数组成的集合；②方程x2＝x的所有实数解组成的集合；③直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；④方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1))的解．[解析](1)集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．(2)解：①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．②方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．③将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．④解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1.))∴用列举法表示方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1))的解集为{(0,1)}．用列举法表示集合应注意的三点：1应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；2集合中的元素一定要写全，但不能重复；3若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.[变式训练1]用列举法表示下列集合：(1)15的正约数组成的集合；(2)所有正整数组成的集合；(3)直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合．解：(1){1,3,5,15}．(2)正整数有1,2,3，…，所求集合用列举法表示为{1,2,3，…}．(3)方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝2x－1))的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))所求集合用列举法表示为{(1,1)}．类型二用描述法表示集合[例2]用描述法表示下列集合：(1)不等式2x7<3的解集A；(2)二次函数y＝x2＋1的函数值组成的集合B；(3)被3除余2的正整数的集合C；(4)平面直角坐标系内坐标轴上的点组成的集合D.[分析]先确定集合元素的符号，再把元素的共同特征通过提炼加工后写在竖线后面．[解](1)解2x－7<3得x<5，所以A＝{x|x<5}．(2)函数值组成的集合就是y的取值集合，所以B＝{y|y＝x2＋1，x∈R}．(3)被3除余2的正整数可以表示为3n＋2(n∈N)，所以集合C＝{x|x＝3n＋2，n∈N}．(4)平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0，所以D＝{(x，y)|x·y＝0，x∈R，y∈R}．1用描述法表示集合，应先弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来代表其元素.2若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围.[变式训练2]用描述法表示下列集合：(1)函数y＝－x的图象上所有点组成的集合；(2)方程x2＋22x＋121＝0的解集；(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合；(4)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)，\f(3,5)，\f(2,3)，\f(5,7)，…)).解：(1){(x，y)|y＝－x，x∈R，y∈R}．(2){x|x＝－11}．(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合可表示为{x∈R||x|>3}．(4)先统一形式eq\f(1,3)，eq\f(2,4)，eq\f(3,5)，eq\f(4,6)，eq\f(5,7)，…，找出规律，集合表示为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,n＋2)，n∈N*)))).类型三两种方法的灵活应用[例3]用适当的方法表示下列集合：(1)方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝14，,3x＋2y＝8))的解组成的集合；(2)1000以内被3除余2的正整数组成的集合；(3)所有的正方形组成的集合；(4)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合．[分析](1)中的元素个数很少，用列举法表示；(2)是有限集，但个数较多，用描述法；(3)(4)是无限集，用描述法表示．[解](1)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝14，,3x＋2y＝8，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，))故该集合用列举法可表示为{(4，－2)}．(2)设集合的代表元素是x，则该集合用描述法可表示为{x|x＝3k＋2，k∈N，且k≤332}．(3)集合用描述法表示为{x|x是正方形}或{正方形}．(4)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．当集合的元素个数很少很容易写出全部元素时，常用列举法表示集合；当集合的元素个数较多不易写出全部元素时，常用描述法表示集合.对一些元素有规律的无限集，也可用列举法表示.如正奇数集也可写为{1，3，5，7，9，…}.但值得注意的是，并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.)[变式训练3]用适当的方法表示下列集合：(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；(2)24的所有正因数组成的集合；(3)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合．解：(1)用描述法表示为{x|2<x<5，且x∈Q}．(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．(3)在平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，所以该集合用描述法表示为{(x，y)||y|＝|x|}．1．集合{x∈N|x<5}的另一种表示方法是(A)A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}解析：∵x∈N，且x<5，∴x的值为0,1,2,3,4，用列举法表示为{0,1,2,3,4}．2.方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－2y＝－1))的解集是(C)A．{x＝1，y＝1} B．{1}C．{(1,1)} D．{(x，y)|(1,1)}解析：方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D中的条件是点(1,1)，不含x，y，排除D.3.集合{x|x＝eq\r(a)，a<36，x∈N}，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5}.解析：由a<36，可得eq\r(a)<6，即x<6，又x∈N，故x只能取0,1,2,3,4,5.4.能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}．解析：正整数中所有的偶数均能被2整除．5.用适当的方法表示下列集合：(1)已知集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2，且n∈N}；(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合；(3)x2－4的一次因式组成的集合；(4)由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1))的解所组成的集合．解：(1)用列举法表示为P＝{0,2,4}．(2)可用列举法表示为{6,9,12}；也可用描述法表示为{x|x＝3n,4<x<15，且n∈N}．(3)用列举法表示为{x＋2，x－2}．(4)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))故可用列举法表示为{(1,2)}，也可用描述法表示为{(x，y)|x＝1，y＝2}．——本课须掌握的两大问题1．表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．(2)元素具有怎样的属性．当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第一章第2课时A组·素养自测一、选择题1．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为(C)A．{(1,2)} B．{(2,1)}C．{1,2} D．{x2－3x＋2＝0}[解析]解方程x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2.用列举法表示为{1,2}．2．直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为(B)A．{0,1} B．{(0,1)}C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))))[解析]解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1，,x＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1.))故该集合为{(0,1)}．3．已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集为(C)A．{x|x＝2}B．{x|x＝1或x＝－2}C．{x|x＝1}D．{1，－2}[解析]方程x2＋x－2＝0的解为x＝1或x＝－2.由于x∈N，所以x＝－2舍去．故选C．4．若A＝{－1,3}，则可用列举法将集合{(x，y)|x∈A，y∈A}表示为(D)A．{(－1,3)}B．{－1,3}C．{(－1,3)，(3，－1)}D．{(－1,3)，(3,3)，(－1，－1)，(3，－1)}[解析]因为集合{(x，y)|x∈A，y∈A}是点集或数对构成的集合，其中x，y均属于集合A，所以用列举法可表示为{(－1,3)，(3,3)，(－1，－1)，(3，－1)}．5．下列集合中，不同于另外三个集合的是(B)A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}[解析]因为{x|x＝1}＝{1}，{x|x2＝1}＝{－1,1}，{y|(y－1)2＝0}＝{1}，所以B选项的集合不同于另外三个集合．6．下列说法：①集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1))的解集为{x＝1，y＝2}．其中说法正确的个数为(D)A．3 B．2C．1 D．0[解析]由x3＝x，得x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1.因为－1∉N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0,1}，故①不正确．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“R”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x|x为实数}或R，故②不正确．方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1))的解是有序实数对，其解集应为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝2))))))，故③不正确．二、填空题7．已知A＝{(x，y)|x＋y＝6，x∈N，y∈N}，用列举法表示A为__{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}__.[解析]∵x＋y＝6，x∈N，y∈N，∴x＝6－y∈N，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝6，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝1，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝0.))∴A＝{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}．8．集合{1，eq\r(2)，eq\r(3)，2，eq\r(5)，…}用描述法表示为__{x|x＝eq\r(n)，n∈N*}__.[解析]注意到集合中的元素的特征为eq\r(n)，且n∈N*，所以用描述法可表示为{x|x＝eq\r(n)，n∈N*}．9．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是__a≤－2__.[解析]因为1∉A，则应有2×1＋a≤0，所以a≤－2.三、解答题10．用列举法表示下列集合：(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(6,2－x)∈Z，x∈Z))))；(2){(x，y)|y＝3x，x∈N且1≤x<5}．[解析](1)因为eq\f(6,2－x)∈Z，所以|2－x|是6的因数，则|2－x|＝1,2,3,6，即x＝1,3,4,0，－1,5，－4,8.所以原集合可用列举法表示为{－4，－1,0,1,3,4,5,8}．(2)因为x∈N且1≤x<5，所以x＝1,2,3,4，其对应的y的值分别为3,6,9,12.所以原集合可用列举法表示为{(1,3)，(2,6)，(3,9)，(4,12)}．11．用描述法表示下列集合．(1){2,4,6,8,10,12}；(2){eq\f(1,3)，eq\f(2,4)，eq\f(3,5)，eq\f(4,6)，eq\f(5,7)}；(3)被5除余1的正整数集合；(4)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；(5)方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－y＝2))的解组成的集合．[解析](1){x|x＝2n，n∈N*，n≤6}．(2){x|x＝eq\f(n,n＋2)，n∈N*，n≤5}．(3){x|x＝5n＋1，n∈N}．(4){(x，y)|xy<0}．(5)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－y＝2))))))或eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝0)))))).B组·素养提升一、选择题1．方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝2，,x＋2y＝－1))的解集是(C)A．{x＝1，y＝－1} B．{1}C．{(1，－1)} D．{(x，y)|(1，－1)}[解析]方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D的集合表示方法有误，排除D．2．用列举法可将集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示为(D)A．{1,2}B．{(1,2)}C．{(1,1)，(2,2)}D．{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}[解析]x＝1，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝1；x＝2，y＝2.∴集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示为{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，故选D．3．(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为(BD)A．{x|x＝2k－1，k∈N}B．{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}C．{x|x＝2k＋3，k∈N}D．{x|x＝2k＋5，k∈N}[解析]选项A，C中，集合内的最小奇数不大于4.4．(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是(ABD)A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}B．M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)}C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}[解析]选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；选项B中，(3,1)与(1,3)表示不同的点，故M≠P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．故选ABD．二、填空题5．若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则实数a的值是__0或1__.[解析]集合A中只有一个元素，有两种情况：当a≠0时，由Δ＝0，解得a＝1，此时A＝{－1}，满足题意；当a＝0时，x＝－eq\f(1,2)，此时A＝{－eq\f(1,2)}，满足题意．故集合A中只有一个元素时，a的值是0或1.6．用列举法写出集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,3－x)∈Z))x∈Z))＝__{－3，－1,1,3