数学人教B版必修4学案2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式

2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式基础知识基本能力1．掌握数量积的坐标表达式．(重点)2．熟记与数量积有关的一些常用度量公式．(重点、易混点)1．能熟练地求解具有坐标的两个向量的数量积．(重点)2．能运用数量积来表示两个向量的夹角，并会用数量积来判断两个平面向量的垂直关系．(重点、难点)3．能够运用坐标表达式解决与长度、夹角、垂直、正投影等有关的实际问题．(难点)1．向量内积的坐标运算已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.知识拓展非零向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系是：(1)θ为锐角或零角⇔x1x2＋y1y2＞0；(2)θ为直角⇔x1x2＋y1y2＝0；(3)θ为钝角或平角⇔x1x2＋y1y2＜0.【自主测试1】若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且a·b＝eq\f(4,3)，则x等于()A．3B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．－3解析：由题意，得2x－6x＝eq\f(4,3)，解得x＝－eq\f(1,3).答案：C2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.名师点拨解决两向量垂直的问题时，在表达方式上有一定的技巧，如a＝(m，n)与b＝k(n，－m)总是垂直的，当两向量的长度相等时，k取±1.【自主测试2】已知a＝(2,5)，b＝(λ，－3)，且a⊥b，则λ＝__________.解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即2λ－15＝0，∴λ＝eq\f(15,2).答案：eq\f(15,2)3．向量的长度、距离和夹角公式(1)向量的长度：已知a＝(a1，a2)，则|a|＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2))，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)两点之间的距离公式：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(3)向量的夹角的余弦公式：已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则两个向量a，b的夹角的余弦为cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2))).你会求出与向量a＝(m，n)同向的单位向量a0的坐标吗？答：a0＝eq\f(a,|a|)＝eq\f(1,\r(m2＋n2))(m，n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,\r(m2＋n2))，\f(n,\r(m2＋n2)))).【自主测试3－1】已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断解析：由eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－4,2)，eq\o(CA,\s\up6(→))＝(3，－3)，得eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2，eq\o(BC,\s\up6(→))2＝20，eq\o(CA,\s\up6(→))2＝18.∵eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(CA,\s\up6(→))2＝eq\o(BC,\s\up6(→))2，即AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形．答案：B【自主测试3－2】已知m＝(3，－1)，n＝(x，－2)，且〈m，n〉＝eq\f(π,4)，则x等于()A．1B．－1C．－4D．4解析：coseq\f(π,4)＝eq\f(3x＋2,\r(10)×\r(x2＋4))，解得x＝1.答案：A【自主测试3－3】已知a＝(3，x)，|a|＝5，则x＝__________.解析：由|a|2＝9＋x2＝25，解得x＝±4.答案：±41．向量模的坐标运算的实质剖析：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得eq\o(OA,\s\up6(→))＝a＝(x，y)，∴|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|a|＝eq\r(x2＋y2)，即|a|为点A到原点的距离；同样若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量模的运算其实质即为平面直角坐标系中两点间距离的运算．2．用向量的数量积的坐标运算来分析“(a·b)·c＝a·(b·c)”不恒成立剖析：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)，则a·b＝x1x2＋y1y2,b·c＝x3x2＋y3y2.∴(a·b)·c＝(x1x2＋y1y2)(x3，y3)＝(x1x2x3＋y1y2x3，x1x2y3＋y1y2y3)，a·(b·c)＝(x1，y1)(x3x2＋y3y2)＝(x1x3x2＋x1y2y3，x2x3y1＋y1y2y3)．假设(a·b)·c＝a·(b·c)成立，则有(x1x2x3＋y1y2x3，x1x2y3＋y1y2y3)＝(x1x3x2＋x1y2y3，x2x3y1＋y1y2y3)，∴x1x2x3＋y1y2x3＝x1x3x2＋x1y2y3，x1x2y3＋y1y2y3＝x2x3y1＋y1y2y3.∴y1y2x3＝x1y2y3，x1x2y3＝x2x3y1.∴y2(y1x3－x1y3)＝0，x2(x1y3－x3y1)＝0.∵b是任意向量，∴x2和y2是任意实数．∴y1x3－x1y3＝0.∴a∥c.这与a，c是任意向量，即a，c不一定共线相矛盾．∴假设不成立．∴(a·b)·c＝a·(b·c)不恒成立．3．教材中的“思考与讨论”在直角坐标系xOy中，任作一单位向量eq\o(OA,\s\up6(→))旋转90°到向量eq\o(OB,\s\up6(→))的位置，这两个向量的坐标之间有什么关系？你能用上述垂直的条件，证明下面的诱导公式吗？cos(α＋90°)＝－sinα，sin(α＋90°)＝cosα.反过来，你能用这两个诱导公式，证明上述两个向量垂直的坐标条件吗？把两向量垂直的坐标条件可视化．有条件的同学可用“几何画板”、“Scilab”等数学软件进行可视化研究．剖析：如图所示，在平面直角坐标系中，画出一单位圆，有A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，且β－α＝90°，也就是β＝α＋90°.过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，则△BNO≌△OMA．∴|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝|eq\o(NB,\s\up6(→))|，|eq\o(ON,\s\up6(→))|＝|eq\o(MA,\s\up6(→))|.当点A在第一象限时，点B在第二象限，∴|eq\o(ON,\s\up6(→))|＝－cosβ，|eq\o(NB,\s\up6(→))|＝sinβ，|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝cosα，|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝sinα，从而有－cosβ＝－cos(α＋90°)＝sinα，sinβ＝sin(α＋90°)＝cosα，即cos(α＋90°)＝－sinα，sin(α＋90°)＝cosα.题型一向量数量积的坐标运算【例题1】已知a＝(－6,2)，b＝(－2,4)，求a·b，|a|，|b|，〈a，b〉．分析：直接套用基本公式a·b＝x1x2＋y1y2，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))，cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))即可．解：a·b＝(－6,2)·(－2,4)＝12＋8＝20.|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(－6，2×－6，2)＝eq\r(36＋4)＝2eq\r(10)，|b|＝eq\r(－22＋42)＝eq\r(20)＝2eq\r(5).∵cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(20,2\r(10)×2\r(5))＝eq\f(\r(2),2)，且〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝eq\f(π,4).反思如果已知向量的坐标，则可以直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题；如果向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化．〖互动探究〗设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，(1)求a－2b的坐标表示和模的大小；(2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|.解：(1)∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，|a－2b|＝eq\r(72＋32)＝eq\r(58).(2)∵a·b＝－6＋5＝－1，∴c＝a＋b＝(1,6)，∴|c|＝eq\r(12＋62)＝eq\r(37).题型二平面向量垂直的坐标运算【例题2】在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k的值．分析：对△ABC的三个内角分别讨论，并利用坐标反映垂直关系．解：当A＝90°时，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴2×1＋3×k＝0.∴k＝－eq\f(2,3).当B＝90°时，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，∴2×(－1)＋3×(k－3)＝0.∴k＝eq\f(11,3).当C＝90°时，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴－1＋k(k－3)＝0，∴k＝eq\f(3±\r(13),2).因此，△ABC有一个角为直角时，k＝－eq\f(2,3)，或k＝eq\f(11,3)，或k＝eq\f(3±\r(13),2).反思(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a≠0，则向量a与b垂直⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)向量垂直的坐标表示x1x2＋y1y2＝0与向量共线的坐标表示x1y2－x2y1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a·b＝0，而共线是方向相同或相反．题型三数量积的坐标运算在几何中的应用【例题3】已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的两对角线所夹的锐角的余弦值．解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－3,3)．∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝1×(－3)＋1×3＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→))，即AB⊥AD．(2)若四边形ABCD为矩形，则eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).设C点的坐标为(x，y)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(x＋1，y－4)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝1，,y－4＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝5.))∴C点的坐标为(0,5)．从而eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,4)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4,2),∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(5)，|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2eq\r(5)，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝8＋8＝16.设eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→)),\o(|\o(AC,\s\up6(→))|,\s\up6())\o(|\o(BD,\s\up6(→))|,\s\up6()))＝eq\f(16,2\r(5)×2\r(5))＝eq\f(4,5)，∴矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为eq\f(4,5).反思用向量法解决几何问题的关键是把有关的边用向量表示，然后把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运算即可，最后再回归到原始几何图形中进行说明．题型四利用向量数量积的坐标运算证明不等式【例题4】证明：对于任意的a，b，c，d∈R，恒有不等式(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．分析：设m＝(a，b)，n＝(c，d)，用m·n≤|m|·|n|即可，要注意等号成立的条件．证明：设m＝(a，b)，n＝(c，d)，两向量夹角为θ，则m·n＝|m||n|cosθ，∴ac＋bd＝eq\r(a2＋b2)·eq\r(c2＋d2)·cosθ，∴(ac＋bd)2＝(a2＋b2)(c2＋d2)cos2θ≤(a2＋b2)(c2＋d2)，当且仅当m与n共线时等号成立．∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)得证．反思本题直接利用代数方法也易得证．若从不等式的特征构造向量，利用向量的数量积和模的坐标运算来证，显得比较灵活，体现了向量的工具性．题型五易错辨析【例题5】设平面向量a＝(－2,1)，b＝(λ，－1)(λ∈R)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)B．(2，＋∞)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))错解：由a与b的夹角为钝角，得a·b＜0，即－2λ－1＜0，解得λ＞－eq\f(1,2).故选C．错因分析：a·b＜0⇔a与b的夹角为钝角或平角．因此上述解法中需要对结论进行检验，把a与b的夹角为平角的情况舍去．正解：a·b＜0⇒(－2,1)·(λ，－1)＜0⇒λ＞－eq\f(1,2).又设b＝ta(t＜0)，则(λ，－1)＝(－2t，t)，所以t＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a和b反向，且共线，所以λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)．故选A．1．设m，n是两个非零向量，且m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则以下等式中，与m⊥n等价的个数为()①m·n＝0；②x1x2＝－y1y2；③|m＋n|＝|m－n|；④|m＋n|＝eq\r(m2＋n2).A．1B．2C．3D．4解析：①②中的等式显然与m⊥n等价；对③④中的等式的两边平方，化简，得m·n＝0，因此也是与m⊥n等价的，故选D．答案：D2．已知向量a＝(－2,1)，b＝(－2，－3)，则向量a在向量b方向上的投影的数量为()A．－eq\f(\r(13),13)B．eq\f(\r(13),13)C．0D．1答案：B3．(2012·广东广州测试