空间向量及其线性运算导学案

空间向量及其线性运算导学案学习目标类比平面向量引入了空间向量及相关概念、空间向量的表示、共线向量与相等向量，、；类比平面向量的加减、数乘运算和运算律，引入空间向量的加减、数乘运算和运算律，类比平面向量研究空间向量的共线、共面问题.理解空间向量及相关概念，掌握空间向量的表示，掌握空间向量的加减、数乘运算及其运算律等内容，并能借助图形理解空间向量线性运算及其运算律的意义.重点难点重点：通过类比平面向量的概念来归纳并理解空间向量的含义，发现空间向量也与平面向量满足线性运算(加法、减法和数乘），懂得运算律。难点：空间向量的线性在简单空间几何体中的计算和应用。课前预习自主梳理要点一空间向量的有关概念1.空间向量的定义在空间，像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量，叫作空间向量.2.空间向量的表示空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段来表示.3.空间向量的线性运算(1)空间向量的加法、减法与数乘运算的意义，如图.eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b；eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b；eq\o(OP,\s\up6(→))＝λa(λ∈R).(2)空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：运算律(其中λ，μ∈R)(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a；(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb．向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.要点二特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量要点三共线向量及共线向量定理1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝λa，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.思考：由数乘λa＝0，能否得出λ＝0?提示不能．λa＝0⇔λ＝0或a＝0.3．向量和直线平行：如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.4．向量和平面平行：如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.5．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．6．空间向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．思考：若向量p，a，b满足p＝xa＋yb，那么向量p，a，b共面吗？提示共面．当a与b共线时，显然向量p，a，b共面；当a与b不共线时，由向量共面的充要条件，可知向量p，a，b共面．自主检测1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)零向量没有方向.()(2)两个有公共终点的向量,一定是共线向量.()(3)空间向量的数乘运算中,只决定向量的大小,不决定向量的方向.()(4)若,则.()(5)若两个向量的起点重合,则这两个向量的方向相同.()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×【解析】(1)错误.零向量与任意向量共线，故可以认为零向量的方向是任意的.(2)错误.方向相同或相反的向量称为共线向量，与是否有公共终点无关.(3)错误.当时，与向量的方向相同；当时，与向量的方向相反.(4)正确.由相反向量的概念可知正确.(5)错误.若两个向量的起点重合，终点不确定，则其方向的关系不能确定.2.已知空间四边形,连接,则()A. B. C. D.0 【答案】【解析】.故选项.3.下列说法错误的是（

）A．空间的任意三个向量都不共面B．空间的任意两个向量都共面C．三个向量共面，即它们所在的直线共面D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面【答案】ACD【分析】A.画图举例判断；B.利用相等向量判断；C.画图举例判断；D.画图举例判断；【解析】A.如图所示：，三个向量共面，故错误；B.由相等向量知：通过平移，两个向量的起点总可以在同一点，故两个向量都共面，故正确；C.如图所示：，在正方体中三个向量共面，但它们所在的直线不共面，故错误；D.如图所示：，在正方体中三向量两两共面，但这三个向量一定共面，故错误；故选：ACD新课导学学习探究（一）新知导入环节一创设情境引入课题引导语章前图展示的是一个做滑翔伞运动的场景．可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等．显然，这些力不在同一个平面内，联想用平面向量解决物理问题的方法，你能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？问题1能否类比平面向量，给空间向量下个定义？与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量(spacevector)，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模(modulus)．问题2可以表示平面向量,也可以表示空间向量吗?平面向量与空间向量有哪些异同点?它们模长的几何意义相同吗?环节二观察分析感知概念阅读课本填写以下概念的内容零向量及其记法：单位向量：相反向量及其记法：共线向量（平行向量）：参考答案：与平面向量一样，我们规定，长度为0的向量叫做零向量(zerovector)，记为．当有向线段的起点与终点重合时，．模为1的向量叫做单位向量(unitvector)．与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，记为．如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量(collinervectors)或平行向量(parallelvectors)．我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有．方向相同且模相等的向量叫做相等向量(equalvectors)．因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合．因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．环节三抽象概括形成概念问题3类比平面向量的线性运算，空间向量的加法、减法如何定义？如图，已知空间向量，，以任意点为起点，作向量，，我们就可以把它们平移到同一个平面内．数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它们的运算．由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算．环节四辨析理解深化概念问题4想一想，向量线性运算的结果，与向量起点的选择有关系吗？与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律(其中)：交换律：结合律：分配律：参考答案：交换律：；结合律：，；分配律：，．探究1如图，在平行六面体中，分别标出，表示的向量．从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系?可以发现，，一般地，对于三个不共面的向量，，，以任意点为起点，，，为邻边作平行六面体，则，，的和等于以为起点的平行六面体对角线所表示的向量．另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．探究2对任意两个空间向量与，如果，与有什么位置关系？反过来，与有什么位置关系时，?类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使．如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得．我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量(directionvector)．这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定．如图，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线．如果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors)．我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的．问题6，什么情况下三个空间向量共面呢？探究3对平面内任意两个不共线向量，，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量可以写成，其中是唯一确定的有序实数对．对两个不共线的空间向量，，如果，那么向量与向量，有什么位置关系？反过来，向量与向量，有什么位置关系时，？可以发现，如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使．环节五概念应用巩固内化例1如图，已知平行四边形，过平面外一点，作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使．求证：，，，四点共面．分析：欲证，，，四点共面，只需证明，，共面．而由已知，，共面，可以利用向量运算由，，共面的表达式推得，，共面的表达式．证明：因为，所以，，，．因为四边形是平行四边形，所以．因此．由向量共面的充要条件可知，，，共面，又，，过同一点，从而，，，四点共面．选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系，是解决立体几何问题的常用方法．环节六归纳总结反思提升本节课的学习我们知道向量是具有大小和方向的量，这一概念既适用于平面，也适用于空间.由于空间向量是平面向量的推广，因此空间向量及其相关概念、空间向量的表示法等与平面向量都是一致的.类比平面向量引入了空间向量及相关概念、空间向量的表示、共线向量与相等向量，并类比平面向量的加减、数乘运算和运算律，引入空间向量的加减、数乘运算和运算律，类比平面向量研究空间向量的共线、共面问题理解空间向量及相关概念，掌握空间向量的表示，掌握空间向量的加减、数乘运算及其运算律等内容，并能借助图形理解空间向量线性运算及其运算律的意义.环节七 目标检测，作业布置作业布置：教科书P5练习备用练习1.下列命题中正确的是（

）A．空间任意两个向量共面B．向量、、共面即它们所在直线共面C．若，，则与所在直线平行D．若，则存在唯一的实数，使【答案】A【分析】根