人教版A版高中数学选修2-2第二章2.2.1综合法与分析法【练习】（教师版）

选修2-22.2.1综合法与分析法一、选择题1．证明命题“f(x)＝ex＋eq\f(1,ex)在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：∵f(x)＝ex＋eq\f(1,ex)，∴f′(x)＝ex－eq\f(1,ex).∵x>0，∴ex>1,0<eq\f(1,ex)<1∴ex－eq\f(1,ex)>0，即f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是()A．综合法 B．分析法C．反证法 D．以上都不是【答案】A【解析】该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A.2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a索的因应是()A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0【答案】C【解析】要证eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a，只需证b2－ac<3a2，只需证b2－a(－b－a)<3a2只需证2a2－ab－b2>0，只需证(2a＋b)(a－b)>0，只需证(a－c)(a－b)>0.故索的因应为C.3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a、b∈R＋，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，则A、B、C的大小关系为()A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A【答案】A【解析】eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)，又函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))≤f(eq\r(ab))≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b))).4．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是()A．sin(α＋β)＞sinα＋sinβB．sin(α＋β)＞cosα＋cosβC．cos(α＋β)＞sinα＋sinβD．cos(α＋β)<cosα＋cosβ【答案】D【解析】∵α、β为锐角，∴0＜α＜α＋β＜π，∴cosα＞cos(α＋β)又cosβ＞0，∴cosα＋cosβ＞cos(α＋β)．5．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么()A．x<eq\f(x＋y,2)<y<2xy B．2xy<x<eq\f(x＋y,2)<yC．x<eq\f(x＋y,2)<2xy<y D．x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y【答案】D【解析】∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝eq\f(3,4)，x＝eq\f(1,4)，则eq\f(x＋y,2)＝eq\f(1,2)，2xy＝eq\f(3,8).所以有x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y，故排除A、B、C，故正确答案为D。6．下面的四个不等式：①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②a(1－a)≤eq\f(1,4)；③eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.其中恒成立的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】C【解析】∵(a2＋b2＋c2)－(ab＋bc＋ac)＝eq\f(1,2)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0a(1－a)－eq\f(1,4)＝－a2＋a－eq\f(1,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2≤0，(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2.∴应选C.二、填空题7．如果aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a)，则实数a、b应满足的条件是________．【答案】a≥0，b≥0且a≠b【解析】∵aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a)⇔(eq\r(a)－eq\r(b))2(eq\r(a)＋eq\r(b))＞0⇔a≥0，b≥0且a≠b.8．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋eq\r(ab))________eq\f(1,2)[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．【答案】≤【解析】∵(1＋eq\r(ab))2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2eq\r(ab)＋ab－1－a－b－ab＝2eq\r(ab)－(a＋b)＝－(eq\r(a)－eq\r(b))2≤0∴(1＋eq\r(ab))2≤(1＋a)(1＋b)，∴lg(1＋eq\r(ab))≤eq\f(1,2)[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．9．如果不等式|x－a|<1成立的充分非必要条件是eq\f(1,2)<x<eq\f(3,2)，则实数a的取值范围是________．【答案】eq\f(1,2)≤a≤eq\f(3,2)【解析】|x－a|＜1⇔a－1＜x＜a＋1由题意知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))(a－1，a＋1)则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≤\f(1,2),a＋1≥\f(3,2)))，(且等号不同时成立)解得eq\f(1,2)≤a≤eq\f(3,2).10．给出下列不等式：①a>b>0，且a2＋eq\f(b2,4)＝1，则ab>a2b2；②a，b∈R，且ab<0，则eq\f(a2＋b2,ab)≤－2；③a>b>0，m>0，则eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b)；④eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≥4(x≠0)．其中正确不等式的序号为________．【答案】①②④【解析】①a>b>0，∴a≠eq\f(b,2)∴a2＋eq\f(b2,4)＝1>2eq\r(a2·\f(b2,4))＝ab∴1－ab>0，∴ab－a2b2＝ab(1－ab)>0，∴ab>a2b2正确．②eq\f(a2＋b2,ab)＋2＝eq\f((a＋b)2,ab)∵ab<0，(a＋b)2≥0，∴eq\f(a2＋b2,ab)≤－2，②正确；③eq\f(a＋m,b＋m)－eq\f(a,b)＝eq\f((b－a)m,b