10.3.2相互独立事件的概率乘法公式

概率统计统计概率10.3.2相互独立事件的概率乘法公式

甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？

我们把“从两个坛子里分别摸出1个球，且从甲坛子里摸出白球”，叫做事件A,把“从两个坛子里分别摸出1个球，且从乙坛子里摸出白球”，叫做事件B。很明显，从一个坛子里摸出的是白球还是黑球，对从另一个坛子里摸出白球的概率没有影响。知识探究情境导入

于是有如下定义：事件A（或B）是否发生对事件B(或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。在上面的问题里，事件指的是：“从两个坛子里分别摸出1个球，且从甲坛子里摸出黑球”；事件指的是：“从两个坛子里分别摸出1个球，且从乙坛子里摸出黑球”；“从两个坛子里分别摸出l个球，都是白球”是一个事件，它的发生就是事件A，B同时发生，我们将它记做A·B。于是需要研究，两个相互独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)是多少？

从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果。于是从两个坛子里各摸出1个球，共有5*4种等可能的结果，如下图所示。

显然，事件A与，与B，与也都是相互独立的.一般地，如果事件A与B相互独立，那么A与，与B,

与也都是相互独立的。（白，白）

（白，白）（白，白）

（白，白）（白，白）

（白，白）（黑，白）（黑，白）（黑，白）（黑，白）（白，黑）（白，黑）（白，黑）（白，黑）（白，黑）（白，黑）（黑，黑）（黑，黑）（黑，黑）（黑，黑）（注：其中每个结果左、右分别表示从甲、乙坛子里取出球的颜色。）

在上面5×4种结果中，同时摸出白球的结果有3×2种，因此，从两个坛子里分别摸出1个球，都是白球的概率是

P(A·B)=（3×2）/(5×4)

另一方面，从两个坛子里分别摸出1个球，甲坛子里摸出白球的概率是

P(A)=3/5

从两个坛子里分别摸出1个球，乙坛子里摸出白球的概率是

P(B)=2/4

由于（3×2）/(5×4)=（3/5）×（2/4）

于是我们就得到P(A·B)=P(A)·P(B)

这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的乘积。例2甲、乙2人各射击1次，如果2人击中目标的概率都是0.6，求2人都击中目标的概率。例题解析解：记“甲、乙2人各射击1次，甲击中目标”为事件A，“甲、乙2人各射击1次，乙击中目标”为事件B。由于甲（或乙）是否击中，对乙（或甲）击中的概率是没有影响的。因此A与B是相互独立事件，又“两人各射击1次，都击中目标”就是事件A·B发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是

P(A·B)=P(A)·P(B)

=0.6×0.6=0.36

答：2人都击中目标的概率是0.36.例3在一段线路中并联着3个独立控制的常用开关，只要其中有1个开关闭合，线路就能正常工作。假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。

分析：在一段线路中并联着3个独立控制的常用开关，只要其中有1个开关闭合，这可以包括恰有其中1个开关闭合、恰有其中2个开关闭合、恰有其中3个开关闭合3种互斥的情况，逐一求其概率较为麻烦，为此，我们转而先求3个开关都不闭合的概率，从而求得其对立事件——3个开关至少有1个能够闭合的概率。解：分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够闭合为事件A，B，C。如下图所示，由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概