第一部分多项式矩阵理论

2023年9月15日电气与信息工程学院

控制科学与工程系主要参考书：

1）《线性系统理论》郑大钟清华大学出版社

2）《线性控制系统》陈际达中南大学出版社

3）《线性系统》T.Kailath科学出版社主讲：刘国才教授、博士生导师lgc630819@，lgc630819@线性系统理论

教案内容提要1、多项式矩阵2、初等变换和初等矩阵3、单模阵4、既约性5、互质性第一部分：多项式矩阵理论多项式矩阵定义：以多项式为元构成的矩阵称为多项式矩阵。引例：第一部分：多项式矩阵理论其中X=Ax+Bu，Y=Cx多项式矩阵性质

多项式矩阵的奇异和非奇异性的定义和实数矩阵相同。

需注意的是，多项式矩阵的秩，多项式向量的线性无关性必需在有理分式域中定义。例：

显然其行列式DetQ(s)=0，但在实数域内其列向量不相关。※矩阵秩的一个重要性质：第一部分：多项式矩阵理论初等变换和初等矩阵矩阵A的行初等变换相当于左乘相应的初等矩阵E矩阵A的列初等变换相当于右乘相应的初等矩阵E第一部分：多项式矩阵理论单模阵单模矩阵定义：称方阵Q(s)为单模阵，当且仅当其行列式detQ(s)=c为独立于s的非零常数。

例1：非奇异的常数矩阵

例2：通过计算，可以得到：据定义可知，Q(s)为单模阵。第一部分：多项式矩阵理论单模阵

特性单模阵的特性单模阵M(s)可逆且其可逆矩阵还是单模阵单模阵的乘积仍为单模阵单模阵可以分解为一系列初等矩阵的乘积，反之亦然。因此，一系列初等变换等价于一个单模变换。多项式矩阵的奇异性、非奇异性和单模性存在如下对应关系：第一部分：多项式矩阵理论多项式向量的次数对列或行多项式向量:其次数定义为其元多项式次数的最大值，即既约性1第一部分：多项式矩阵理论列既约性的定义：给定方非奇异多项式矩阵M(s)dciM(s)为其相应的列次数，i=1，2，…p。称M(s)为列既约的，当且仅当：其行列式的次数等于其所有列次数的和，即既约性2第一部分：多项式矩阵理论列次表达式：对于多项式矩阵M(s)，其列次数记为：既约性3

则可将M(s)表达为其列次表达式：第一部分：多项式矩阵理论多项式矩阵的既约化

通过一系列的列或行的初等变换（单模变换），可将非既约的多项式矩阵化为一列或行既约矩阵。

特性：列或行既约矩阵的列或行次数之和在单模变换下是不变的。第一部分：多项式矩阵理论既约性4多项式矩阵列既约判据充要条件：高次系数矩阵Mhc非奇异

引言MIMOs多变量线性系统传递函数矩阵可表达为如下“分式”形式：其中N(s)和D(s)的最大公因子为单模阵，即N和D互质。互质性可分为右互质性和左互质性。右互质多项式矩阵D(s)和N(s)列数相同。左互质多项式矩阵DL(s)和NL(s)行数相同。第一部分：多项式矩阵理论互质性1互质性是对两个多项式矩阵间的不可简约属性的表征。公因子和最大公因子

右公因子：称多项式矩阵R(s)为列数相同的两个多项式矩阵D(S)和N(s)的一个右公因子，如果存在多项式矩阵：左公因子有类似定义。左公因子和线性系统能观性有关，右公因子和线性系统能控性有关。第一部分：多项式矩阵理论互质性2

第一部分：多项式矩阵理论互质性3最大公因子gcrd的构造定理

对列数相同的两个多项式矩阵D(s)和N(s),

如果可以找到一单模阵U(s),使得：

则导出的多项式矩阵R(s)为D(s)和N(s)的一个最大右公因子。且满足如下贝左特等式： R(s)=U11(s)D(s)+U12(s)N(s)第一部分：多项式矩阵理论互质性4

第一部分：多项式矩阵理论互质性5右互质定义如果列数相同的两个多项式矩阵D(s)和N(s)的最大右公因子R(s)为一个单模阵，则称D(s)和N(s)右互质。右互