第六章平面向量及其应用复习导学案

学科：高一数学模块：必修二班级组别姓名课题：第六章平面向量及其应用【基础知识要点】§6的概念：向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的模：向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作.零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作. 单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.记作：.规定：零向量与任意向量平行.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§6.2.平面向量的运算§6.2加法的法则：向量加法的三角形法则和平行四边形法则.2.≤（当且仅当与方向方向相同时等号成立）.3.向量加法的运算律：交换律：结合律：§6.2.2.向量的减法运算相反向量：与长度相等，方向相反的向量叫做.向量减法的定义：加上的相反向量，叫做与的差.3.向量减法的法则：三角形法则.§6.2.3.向量的数乘运算数乘的定义：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：，它的长度和方向规定如下：⑴；⑵当时,的方向与的方向相同；当时,的方向与的方向相反.2.运算律：；；：向量统称为向量的线性运算.4.平面向量共线定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.§6.2.4.向量的数量积向量的夹角：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作,则叫做向量与的夹角.2.与垂直：如果与的夹角是，则与垂直，记作.：已知两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即.4.投影向量：向量在上的投影向量：在平面内任取一点O，作,过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.设与同方向的单位向量为，与的夹角为，则.的性质：（1）（2）（3）或（4）的运算律：（1）（2）（3）结论：，.§平面向量基本定理及坐标表示§平面向量基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数，使.叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.§平面向量的正交分解及坐标表示正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.的坐标表示：在平面直角坐标系中,设与轴.轴方向相同的两个单位向量分别为,取,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数,使得，这样平面内的任一向量都可由唯一确定,我们把有序数对叫做向量的坐标,记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，叫做向量的坐标表示.§平面向量加.减运算的坐标表示，则：⑴，⑵，即：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差），则.§平面向量数乘运算的坐标表示，则.2.设,则向量共线的充要条件是.§平面向量数量积的坐标表示1.设，则：（1）（2）（3）（4）（5）设，则：.6.4平面向量的应用1.余弦定理：推论：2.正弦定理：.（其中为外接圆的半径）题型练习一平面向量的线性运算1、设D为△ABC所在平面内一点，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，则()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→))2、在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq\o(EB,\s\up6(→))等于()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))3、设、是两个不共线的向量，已知、、，若、、三点共线，求的值.4、在△ABC中，已知eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角是90°，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1，M是BC上的一点，且eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，且eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，则eq\f(λ,μ)的值为________.题型练习二平面向量数量积的应用1、已知平面向量a，b的夹角为eq\f(π,6)，且|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋2b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2a－6b，D为BC中点，则|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝________.2已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，设向量eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))的夹角为θ，则cosθ＝________.3△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2a＋b，则下列结论正确的是()A.|b|＝1 B.a⊥bC.a·b＝1 D.(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up6(→))4、已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且|ka＋b|＝eq\r(3)|a－kb|(k>0).(1)用k表示数量积a·b；(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.5、已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，求实数λ.题型练习三、解三角形1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2B＝A＋C，向量m＝(3a，b)，n＝(2b，c)，m∥n.求A.2在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq\f(sinA,a)＝eq\f(\r(3)cosC,c).(1)求C的大小；(2)如果a＋b＝6，eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝4，求c的值.3、在中，角、、所对的边分别为、、，且与共线.(1)求：(2)若，且，，求的面积.4、（23高考2卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为3，D为BC的中点，且AD=1．(1)若∠ADC=π3，求tanB；(2)若b2+5．的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角A；（2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.题型练习四平面向量的综合运用1、已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－eq\r(3))，x∈[0，π]，若f(x)＝a·b，求f(x)的最值.2、如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.(1)求的面积；(2)求的值及的长度.3、某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．巩固案eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3,4)，则向量eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A.(－4，－6) B.(4,6)C.(－2，－2) D.(2,2)a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于()A.－eq\f(3,2)B.－eq\f(5,3)C.eq\f(5,3)D.eq\f(3,2)3.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于()A.－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C.1 D.－1a，b满足|a|＝1，b＝(t,2－t)，a－b与a垂直，则|a－b|的最小值为()A.eq\f(\r(2),2)B.1C.eq\r(2)5．（多选）下列说法中错误的是（

）.A．若，，，则B．若且，则C．若，非零向量且，则D．若，则有且只有一个实数，使得6.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是