北师大版九年级数学上册 （正方形的性质与判定）特殊平行四边形教学课件

1.3正方形的性质与判定

学习目标1．掌握正方形的判定方法；会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算．2．理解特殊的平行四边形之间的内在联系，形成辨证看问题的观点．什么是正方形？正方形有哪些性质？正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.正方形性质：①四个角都是直角; ②四条边都相等; ③对角线相等且互相垂直平分.ABCDO你是如何判断是矩形、菱形？平行四边形矩形菱形四边形三个角是直角四条边相等定义三个判定定理定义对角线相等定义对角线垂直合作探究想一想：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形展开后是个正方形？（1）（2）（3）（4）合作探究满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？矩形正方形一组邻边相等对角线互相垂直菱形正方形一个角是直角对角线相等新课讲授正方形判定定理1.对角线相等的菱形是正方形.2.对角线垂直的矩形是正方形.3.有一个角是直角的菱形是正方形.例1、如图，已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的各边上，且AE=BF=CG=DH，AF，BG，CH，DE分别相交于点A′，B′，C′，D′.求证：四边形A′B′C′D′是正方形.证明：在正方形ABCD中，∵在△ABF和△BCG中，AB=BC，∠ABC=∠BCD，BF=CG，∴△ABF≌△BCG.∴∠BAF=∠GBC.∵∠BAF+∠AFB=90°，∴∠CBG+∠AFB=90°.∴∠BB′F=90°.∴∠A′B′C′=90°.∴同理可得∠B′C′D′=∠C′D′A′=90°.∴四边形A′B′C′D′是矩形.∵在△AB′B和△BC′C中，∠BAF=∠CBG，∠AB′B=∠BC′C，AB=BC，∴△AB′B≌△BC′C.∴AB′=BC′.∵在△AA′E和△BB′F中，∠BAF=∠CBG，∠AA′E=∠BB′F，AE=BF，∴△AA′E≌△BB′F，∴AA′=BB′.∴A′B′=B′C′.∴矩形A′B′C′D′是正方形.例2、菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，连接CF.（1）求证：∠HEA=∠CGF；（2）当AH=DG时，求证：菱形EFGH为正方形.证明：（1）如图，连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠CGE.∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE.∴∠HEA=∠CGF.例2、菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，连接CF.（1）求证：∠HEA=∠CGF；（2）当AH=DG时，求证：菱形EFGH为正方形.（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°.∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE.在Rt△HAE和Rt△GDH中，AH=DG，HE=HG，∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL）.∴∠AHE=∠DGH.又∠DHG+∠DGH=90°,∴∠DHG+∠AHE=90°.∴∠GHE=90°.∴菱形EFGH为正方形.合作探究做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？ABCDABCDABCD矩形正方形任意四边形平行四边形菱形正方形EFGHEFGHEFGH新课讲授常见中点四边形比较名称任意四边形矩形菱形正方形对角线特点既不垂直也不相等不垂直，仅相等垂直但不相等垂直且相等中点四边形基本图形ABCDEFGH平行四边形ABCDEFGH菱形ABCDEFGHABCDEFGH矩形正方形例3、如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB∶AD=________时，四边形MENF是正方形.解：当AB∶AD=1∶2时，四边形MENF是正方形.∵AB∶AD=1∶2，AM=DM，AB=CD，∴AB=AM=DM=DC，∵∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，∴∠BMC=90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°,∴∠MBC=∠MCB=45°，∴BM=CM.∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴BE=CF=ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，∴四边形MENF是平行四边形，∵ME=MF，∠BMC=90°，∴四边形MENF是正方形.随堂练习1．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是 ()A.AC=BD，AB//CDB.AD∥BC，∠A=∠CC.AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD.AO=CO，BO=DO，AB=BCCABCDO随堂练习2．如图所示，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O.若不添加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需添加的一个条件是___________________.AC=BD(答案不唯一)ABCDO随堂练习3．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为 ()A.2cm2

B.4cm2

C.6cm2

D.8cm2B随堂练习4．如图所示，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO=AC，∵EA=EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，∴平行四边形ABCD是菱形.随堂练习4．如图所示，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形.(2)∵∠1=∠EAD+∠AED，∠DAC=∠EAD+∠AED，∴∠1=∠DAC，∴AO=DO.由(1)知四边形ABCD是菱形,∴AC=2AO，DB=2DO，∴AC=BD,∴菱形ABCD是正方形.随堂练习5.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂足分别为M、N.(1)求证：ADB=CDB；(2)若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形.CABDPMN证明：（1）∵AB=BC，BD平分∠ABC.∴∠1=∠2.∴△ABD≌△CBD(AAS).∴∠ADB=∠CDB.12随堂练习CABDPMN（2）∵∠ADC=90°;又∵PM⊥AD，PN⊥CD；∴∠PMD=∠PND=90°.∴四边形NPMD是矩形.∵∠ADB=∠CDB；∴∠ADB=∠CDB=45°.∴∠MPD=∠NPD=45°.∴DM=PM，DN=PN.∴四边形NPMD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.课堂小结有一个角是90°（或对角线互相垂直）有一对邻边相等（或对角线相等）平行四边形矩形菱形正方形一组邻边相等且一个内角为直角（或对角线互相垂直平分且相等）有一个角是90°（或对角线互相垂直）有一对邻边相等（或对角线相等）正方形的性质与判定第一章特殊平行四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时

1.了解正方形的定义及其与平行四边形的关系.2.探索并证明正方形的性质定理.（重点）3.应用正方形的性质定理解决相关问题.（难点）学习目标活动:观察这些图片，你什么发现？正方形四条边有什么关系？四个角呢？导入新课正方形的定义一活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到一个四边形.问题1：折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？正方形讲授新课活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.正方形正方形的性质探究和证明二ABCD填一填：角：

边：

对角线：

对称性：

四个角都是直角.四条边相等.对角线相等且互相垂直平分.aaaa轴对称图形（4条对称轴）.

1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.定理已知：如右图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.ABCD证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°,AB=AC.（正方形的定义）

又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形,（矩形的定义） 正方形是菱形.(菱形的定义) ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,

AB=BC=CD=AD.定理证明已知：如右图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.ABCDO请同学们动手完成以上证明？提示：可以先通过证明来得到正方形是矩形、菱形，然后利用矩形和菱形的定理来完成该题.想一想：正方形是矩形吗？是菱形吗？

矩形菱形正方形平行四边形正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.归纳归纳结论正方形对角线边边对角线对角线角对边平行且相等相互平分相等四个角相等都是90°相互垂直且平分对角四边相等对称性轴对称图形（4条对称轴）例1：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.正方形性质定理的应用三典例精析解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°.（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.ABDCFEABDFE∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.(2)延长BE交DE于点M,∵△BCE≌△DCF

,∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°

,∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°

,∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.CM例2：如图，已知四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O

,

MN∥AB

,且分别于OA

,

OB相交于点M

,

N.求证：（1）BM

=CN;（2）BM⊥CN.ABCDOMN证明：（1）∵MN∥AB.∴∠1

=∠2

=∠3

=∠4

=

45°. ∴OM=ON. ∵OA=OB, ∴OA-OM=OB-ON,AM=BN.

又∵∠2=∠NBC,AB=BC. ∴△ABM≌△BCN(SAS)∴BM=CN.1234ABCDOMN(2)延长CN交线段MB于点Q.∵△ABM≌△BCN.∴∠6=∠8.∵∠OCB=∠ABO=45°.∴∠5=∠7.又∵∠ONC=∠QNB.∴180°-∠5-∠ONC

=180°-∠7-∠QNB,∠CON=∠NQB=90°.∴BM⊥CN.Q57681．在正方形ABC中,∠ADB=