北师大版九年级数学下册 （圆周角和圆心角的关系）圆新课件(第2课时)

圆周角和圆心角的关系第2课时第三章圆

知识点1

圆周角定理推论21.如图,☉O的直径AB=4,点C在☉上.若∠ABC=30°,则AC的长为

(D)2.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上.若∠ACD=15°,则∠BAD的度数为

(A)A.75° B.72°C.70° D.65°3.如图,AB是☉O的直径,C是☉O上的一点.若BC=3,AB=5,OD⊥BC于点D,则OD的长为

2

.

知识点2

圆内接四边形的性质4.如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形.若∠AOC=110°,则∠ADC=(C)

A.55° B.110° C.125° D.70°【变式拓展】(淮安中考)如图,点A,B,C都在☉O上.若∠AOC=140°,则∠B的度数是

(C)A.70° B.80°C.110° D.140°5.平行四边形ABCD为圆内接四边形,则此平行四边形是

矩形

.

6.(淮安中考)如图,在圆内接四边形ABCD中,若∠A,∠B,∠C的度数之比为4∶3∶5,则∠D的度数是

120°

.

7.如图,☉C过原点,且与两坐标轴分别交于点A,B,点A的坐标为(0,3),M是第三象限内

上的一点.若∠BMO=120°,求☉C的半径长.解:∵四边形ABMO是圆内接四边形,∠BMO=120°,∴∠BAO=60°.∵AB是☉C的直径,∴∠AOB=90°.∵点A的坐标为(0,3),∴OA=3,∴AB=2OA=6,∴☉C的半径为3.8.如图,圆内接四边形ABCD是由四个全等的等腰梯形组成的,AD是☉O的直径,则∠BEC的度数为

(B)

A.15° B.30° C.45° D.60°9.(安顺中考)如图,半径为3的☉A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧☉A优弧上的一点,则tan∠OBC为

(D)10.(凉山州中考)如图,已知四边形ABCD内接于半径为4的☉O中,且∠C=2∠A,则BD=

.

11.(南京中考)如图,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE.若∠D=78°,则∠EAC=

27°

.

13.如图,在边长为2的圆内接正方形ABCD中,AC是对角线,P为边CD的中点,延长AP交圆于点E.(1)∠E=

45

度;

(2)写出图中现有的一对不全等的相似三角形,并说明理由;(3)求弦DE的长.解:(2)△ACP∽△DEP.理由:∵∠AED=∠ACD,∠APC=∠DPE,∴△ACP∽△DEP.

14.如图,已知AB为☉O的直径,CD为☉O的弦,与直径相交于点E,tan∠D=0.5.(1)求tan∠ABC;(2)若D为半圆的中点,CE=4,DE=5,求BD及☉O的半径.15.如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的弦,OD⊥CB于点E,交

于点D.(1)请写出三个不同类型的正确结论;(2)连接CD,设∠CDB=α,∠ABC=β,试找出α与β之间的一种关系式并给出证明.解:(1)不同类型的正确结论不唯一,以下答案供参考:①BE=CE;②

;③∠BED=90°;④∠BOD=∠A;⑤AC∥OD;⑥AC⊥BC;⑦OE2+BE2=OB2;⑧S△ABC=BC×OE;⑨△BOD是等腰三角形;⑩△BOE∽△BAC等.(2)α与β的关系式主要有如下两种形式,写出其中一种即可.①α与β之间的关系式为α-β=90°.证明:∵AB为☉O的直径,∴∠A+∠ABC=90°.又∵四边形ACDB为圆的内接四边形,∴∠A+∠CDB=180°,∴180°-∠CDB+∠ABC=90°,∴∠CDB-∠ABC=90°,即α-β=90°.②α与β之间的关系式为α>2β.证明:∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD.又∵∠OBD=∠ABC+∠CBD,∴∠ODB>∠ABC.16.如图,☉O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E,F.(1)若∠E=∠F,求证:∠ADC=∠ABC;(2)若∠E=∠F=42°,求∠A的度数;(3)若∠E=α,∠F=β,且α≠β,请你用含有α,β的代数式表示∠A的大小.解:(1)∵∠DCE=∠BCF,∠E=∠F,又∵∠ADC=∠E+∠DCE,∠ABC=∠F+∠BCF,∴∠ADC=∠ABC.(2)由(1)知∠ADC=∠ABC,∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠ADC+∠ABC=180°,∴∠ADC=90°.在Rt△ADF中,∠A=90°-∠F=90°-42°=48°.(3)连接EF.∵四边形ABCD为圆的内接四边形,∴∠ECD=∠A.∵∠ECD=∠CEF+∠CFE,∴∠A=∠CEF+∠CFE.∵∠A+∠CEF+∠CFE+∠DEC+∠BFC=180°,∴2∠A+α+β=180°,∴∠A=90°-.第三章圆4圆周角和圆心角的关系第1课时

目录CONTENTS1

学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸1.圆周角的定义2.圆周角和圆心角的关系3.圆周角和弧的关系.（重点、难点）学习目标新课导入什么是圆心角？它具有哪些性质？新课讲解

知识点1圆周角的定义图中∠ACB的顶点和边有哪些特点？AOBC顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．如∠ACB．新课讲解圆周角的特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交，这两个特征是判定圆周角

不可缺少的条件．新课讲解例典例分析连接OC，如图所示.∵BC=BD，∴∠BOC=∠BOD=50°.∴∠A=∠BOC=×50°=25°.解：如图所示，AB

是⊙O

的直径，弦BC=BD，若∠BOD=50°，求∠A

的度数.新课讲解练一练下列四个图中，∠x为圆周角的是(

)C新课讲解

知识点2圆周角和圆心角的关系如图,∠AOB=80°.(1)请你画出几个

所对的圆周角，这几

个圆周角有什么关系？与同伴进行交流.(2)这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是

怎样发现的？与同伴进行交流.

在图中，改变∠AOB的度数，你得到的结论还成立吗？新课讲解圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.新课讲解1.圆周角定理的证明：

已知：如图,∠C是

所对的圆周角，∠AOB是

所对的圆心角.

求证：∠C=∠AOB

分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三种情况讨论：新课讲解(1)圆心O在∠C的一条边上，如图(1);(2)圆心O在∠C的内部，如图(2);(3)圆心O在∠C的外部，如图(3).

在三种位置关系中，我们选择(1)给出证明，其他情况可以

转化为(1)的情况进行证明.(1)圆心O在∠C的一条边上，如图(1).

∵∠AOB是△AOC的外角，∴∠AOB=∠

A+∠C.∵

OA=OC，∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C,即∠C=∠AOB.

请你完成图(2)和图(3)两种情况的证明.证明：新课讲解例典例分析如图，A，B，C，D是同一圆上的点，∠1＝68°，∠A＝40°，则∠D＝________．由圆周角定理的推论1可知∠C＝∠A＝40°，由三角形的外角性质得∠D＝∠1－∠C＝68°－40°＝28°.分析：28°新课讲解例典例分析如图，在⊙O中，∠AOC＝150°，求∠ABC，∠ADC的度数，并判断∠ABC和∠ADC，∠EBC和∠ADC之间的度数关系．解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如

所对的圆心角是∠AOC，所对的圆周角是∠ABC，所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周角是∠ADC.分析：新课讲解∵∠AOC＝150°，∴∠ABC＝∠AOC＝75°.∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°，∴∠ADC＝∠α＝105°.∵∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°，∴∠EBC＝∠ADC，即∠EBC与∠ADC相等．又∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，∴∠ABC和∠ADC互补．解：新课讲解练一练如图，在⊙O中，∠O

=50°，求∠A的度数.解：∵∠BAC与∠BOC

所对的弧都是

，∴∠BAC＝∠BOC＝×50°

＝25°.新课讲解知识点3圆周角和弧的关系

在如图的射门游戏中，当球员在B，D，E处射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？新课讲解例典例分析

如图所示，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．求证：△ABC是等边三角形.分析：紧扣“同弧所对的圆周角相等”解决.新课讲解解：∵A，P，B，C

是圆上的四个点，∴∠ABC=∠APC，∠CPB=∠BAC.又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°.∴AC=BC.又∠BAC=60°，∴△ABC

是等边三角形.新课讲解练一练如图，哪个角与∠BAC相等？你还