《91UP行测考点精讲》之常规排列组合问题

常规排列组合问题知识框架排列组合问题根据是否与顺序有关，只有排列和组合两种类型；根据事情的完成步骤，只有分类和分步两种类型；根据解题方法，只有基础公式型、分类讨论型、分步计算型、捆绑插空型、错位排列型、重复剔除型、多人传球型、等价转化型八种类型。无论排列组合的元素怎么变化，同学只要牢牢把握这几种主要类型和解题方法，就能轻松搞定排列组合问题。核心点拨1、题型简介排列组合问题在近年来各类公务员考试中出现较多。下面给出了解决排列组合问题的几个核心知识点，从真题来看，基础公式型、分类讨论型、分步计算型、重复剔除型、等价转化型这五种题型考查较多，同学们可以重点学习。2、核心知识（1）基础公式法加法原理：一件事情，有n类方法可以完成，并且每类方法又分别存在种不同方法，则完成这件事情共有种方法。乘法原理：一件事情，需要n个步骤完成，并且每步又分别存在种不同方法，则完成这件事情共有种方法。排列基础公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一列（与顺序有关），有种方法。组合基础公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一组（与顺序无关），有(其中m!=1×2×3×…×m)种方法。（2）分类讨论法根据题意分成若干类分别计算。（3）分步计算法根据题意，分步计算。（4）捆绑插空法相邻问题——捆绑法：先将相邻元素全排列，然后视为一个整体与剩余元素全排列。不相邻问题——插空法：先将剩余元素全排列，然后将不相邻元素有序插入所成间隙中。（5）错位排列法错位排列问题：有n封信和n个信封，则每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的种数计算Dn，则D1＝0，D2＝1，D3＝2，D4＝9，D5＝44，D6=265…（请牢牢记住前六个数）。（6）重复剔除法A．平均分组问题将NM个人平均分成N组，总共有种分配方法。B．多人排成圈问题N人排成一圈，有种排法。C．物品串成圈问题N个珍珠串成一条项链，有种串法。（7）多人传球法M个人传N次球，记，则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与X第二接近的整数便是传给自己的方法数。（8）等量转换法夯实基础1.基础公式法例1：(国家2004B类-44)把4个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子放一个球，有多少种放法？A.24B.4C.12D.10【答案】A【解析】[题钥]“把4个不同的球放入4个不同的盒子中”，与顺序有关，因此属于排列问题。[解析]根据题意：确定n：4；确定m：4；代入排列基础公式：；所以，选A。2.分类讨论法例2：(2005年中央一类第48题)从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出三个数，使它们的和为偶数，则共有（）种不同的选法。A.40B.41C.44D.46【答案】C【解析】[题钥]“从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出三个数”，与顺序无关，因此属于组合问题。“从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出三个数，使它们的和为偶数”，共有两种类别：第一类，三个数都为偶数；第二类，两个奇数和一个偶数。采用加法原理。[解析]第一类，三个数都为偶数：确定m1：；第二类，两个奇数和一个偶数：确定m2：；代入加法原理公式：所以，选C。3.分步计算例3：(2004年中央A类第47题)林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类中的一种肉类，四种蔬菜中的二种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少不同选择方法？()A.4B.24C.72D.144【答案】C【解析】[题钥]“若不考虑食物的挑选次序”，与顺序无关，因此属于组合问题。林辉挑选食物可分三步，第一步从三种肉类中挑一种肉类，第二步从四种蔬菜中挑二种不同蔬菜，第三步从四种点心中挑一种点心，采用乘法原理。[解析]三种肉类中挑一种肉类：确定m1：；四种蔬菜中挑二种不同蔬菜：确定m2：；四种点心中挑一种点心：确定m3：；代入乘法原理公式：所以，选C。4.捆绑插空法例4：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站一起，共有（）种排法。A.120B.72C.48D.24【答案】B【解析】[题钥]“A、B、C、D、E五个人排成一排”，与顺序有关，属于排列问题。“其中A、B两人不站一起”，可采用插空法。分为两步，第一步：把C、D、E排成一排；第二步：将A、B插入C、D、E中行成的4个空隙中。采用乘法原理。[解析]第一步：把C、D、E排成一排；确定m1：；第二步：将A、B插入C、D、E中行成的4个空隙中；确定m2：；代入乘法原理公式：所以，选B。5.错位排列法例5：（北京社招2007－16）五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？A.6B.10C.12D.20【答案】D【解析】[题钥]“五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个”，与顺序无关，属于组合问题。“其中恰好贴错了三个”，属于错位排列。分为两步，第一步：从五个瓶子中选出三个；第二步：对选出的三个瓶子进行错位排列。采用乘法原理。[解析]第一步：从五个瓶子中选出三个；确定m1：。第二步：对选出的三个瓶子进行错位排列；确定m2：D3＝2；代入乘法原理公式：；所以，选D。6.重复剔除法例6：（上海2005－11）某小组有四位男性和两位女性，六人围成一圈跳集体舞，不同排列方法有多少种？（）A.720B.60C.480D.120【答案】D【解析】[题钥]“六人围成一圈跳集体舞”，与顺序有关，属于排列问题。然而，如下图所示，以下6种情况虽然对应了上述解法的不同排列过程，但实际上却是相同的方法，所以最后的结果还要剔除这些重复的情况。属于重复剔除型中的多人排成圈问题。[解析]根据题意：将六人排成一排，共有种；确定重复情况：将6个人排成圈，N＝6；确定分配方法：720÷6＝120所以，选D。7.多人传球法例7：（国家2006一类－46，二类－39）四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有多少种传球方式？A.60种B.65种C.70种D.75种【答案】A【解析】[题钥]“四人进行篮球传接球练习”，属于多人传球型问题。[解析]套用公式法：确定M：4；确定N：5；代入多人传球公式：；与60.75最接近的整数61为传给“非自己的某人”即非甲的方法数；与60.75第二接近的整数60便是传给自己即甲的方法数。所以，选A。8.等价转换法例8：一次射击比赛当中，6个瓷制靶子排成两列，左边挂了4个靶子，右边挂了2个靶子。射手在射击每一列的时候，必须先击碎此列尚未击碎的靶子当中的最下面的一个。请问全部击碎所有6个靶子一共有多少种方法？（）A.10种B.12种C.15种D.21种【答案】C【解析】[题钥]此时可进行等价转化，等价于在第1、2、3、4、5、6次射击中，有4次是往左射击，有2次是往右射击，确定好这6次射击的“左”与“右”之后，具体是打哪个靶就被唯一确定了。[解析]此题等价于：“共有6次射击，其中有4次是往左射击，有2次是往右射击，共有几种射击方法。”6次射击中寻找2次往右射击的方法：所以，选C。进阶训练1.分类讨论法例9：用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的自然数，从小到大顺序排列：1，2，3，4，5，12，…，54321。其中，第207个数是多少？（）A.313B.12354C.325D.371【答案】B【解析】[题钥]“用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的自然数”，与顺序有关，因此属于排列问题。“用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的自然数”，共有五种类别：第一类，组成的自然数为一位数；第二类，组成的自然数为二位数；第三类，组成的自然数为三位数；第四类，组成的自然数为四位数；第五类，组成的自然数为五位数。采用加法原理。[解析]组成的自然数为一位数：确定m1：；组成的自然数为二位数：确定m2：；组成的自然数为三位数：确定m3：；组成的自然数为四位数：确定m4：；组成的自然数为五位数：确定m5：；由于m1＋m2＋m3＋m4＝5＋20＋60＋120＝205；m1＋m2＋m3＋m4＋m5＝5＋20＋60＋120＋120＝325。因此，第207个数为五位数的自然数。第205个数为四位数的最后一位，即最大数5432；第206个数为五位数的第一位，即最小数12345：则第207个数为五位数的第二位，即第二小的数12354。所以，选B。2.重复剔除法例10：将11个人分成“3、3、2、2、1”这样的五组，请问一共有多少种分配的方法？（）A.4620B.69300C.138600D.277200【答案】B【解析】[题钥]“将11个人分成‘3、3、2、2、1’这样的五组”，与顺序无关，属于组合问题。将11个人分成“3、3、2、2、1”这样的五组，可分为两步，第一步：从11个人中选出6人，然后平均分成2组；第二步：从剩余的5个人中选出4人，然后平均分成2组，剩余一人则唯一确定。采用乘法原理。在平均分组的过程中，应剔除重复的情况。属于重复剔除型中的平均分组问题。[解析]根据题意，第一步，从11个人中选出6人，然后平均分成2组：确定m1：；第二步，从剩余的5个人中选出4人，然后平均分成2组，剩余一人则唯一确定：确定m2：；代入乘法原理公式：所以，选B。3.多人传球法例11：对右下图正八边形的8个区域进行涂色，颜色从红、黄、蓝三种当中选取，每个区域选择一种颜色，并且要求相邻区域选取不同的颜色。请问一共有多少种涂色的方法？（）A.86B.174C.216D.258【答案】D【解析】[题钥]“8个区域进行涂色，颜色从红、黄、蓝三种当中选取，每个区域选择一种颜色，并且要求相邻区域选取不同的颜色”，我们从区域1开始考虑，区域1一共有3种涂色的方法，先假设区域1被涂了红色，然后进行顺时针依次考虑：区域2选取与区域1不同的颜色；区域3选取与区域2不同的颜色……区域7选取与区域6不同的颜色；最后区域8选取与区域7不同的颜色，并且与区域1也要不同。这个过程相当于“3个人（红、黄、蓝）传球，从‘红’出发，依次传8次球（1→2→3→4→5→6→7→8→1），最后传回到‘红’的手里”。属于多人传球型问题。[解析]根据题意：假设区域1被涂了红色；确定M：3；确定N：8；代入多人传球公式：与85.33最接近的整数85为传给“非自己的某人”即非“红”的方法数；与85.33第二接近的整数86便是传给自己即“红”的方法数。由于区域1可以涂“红、黄、蓝”3种颜色：因此总情况数应为：86×3＝258（种）。所以，选D。4.等价转换法例12：假设x、y、