专题02空间向量基本定理4种常见考法归类

专题02空间向量基本定理4种常见考法归类1．共面向量定理如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb．注：平面向量基本定理中要求向量a与b不共线，在空间中仍然成立．2．判断三个(或三个以上)向量共面的方法(1)应用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示，通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示．(2)选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式．3．利用向量法证明向量共面的策略（1）若已知点P在平面ABC内，则有=xAB＋yAC或OP=xOA＋yOB＋zOc（x+y＋z=1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．（2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.4．空间向量基本定理如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0．5．相关概念(1)线性组合：表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式．(2)基底：空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底．(3)基向量：基底{a，b，c}中a，b，c都称为基向量．(4)分解式：如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式．注：（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示．（2）基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为0与其他任意两个非零向量共面，所以0不能作为基向量．6．拓展：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面．7.基底的判断及应用（1）构成空间向量的基底不唯一且不共面（2）空间向量的基底选定后，可以结合图形，利用三角形法则和平行四边形法则，寻求向量和基向量的关系，利用向量的线性运算将向量用基底表示出来．（3）用基底表示向量应注意的问题①明确目标，向量表示过程中可能出现新的向量，要逐步拆分，都用基向量表示；②结合图形的几何性质，利用向量的线性运算；③只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的．8.基底的判断思路（1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底.（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.9.用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．提醒：基底中不能有零向量，因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量．考点一共面向量定理考点二基底的判断及应用考点三用基底表示向量考点四空间向量基本定理及其应用考点一共面向量定理1．【多选】（2024秋·高二课前预习）下列说法错误的是（

）A．空间的任意三个向量都不共面B．空间的任意两个向量都共面C．三个向量共面，即它们所在的直线共面D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面【答案】ACD【分析】A.画图举例判断；B.利用相等向量判断；C.画图举例判断；D.画图举例判断；【详解】A.如图所示：，三个向量共面，故错误；B.由相等向量知：通过平移，两个向量的起点总可以在同一点，故两个向量都共面，故正确；C.如图所示：，在正方体中三个向量共面，但它们所在的直线不共面，故错误；D.如图所示：，在正方体中三向量两两共面，但这三个向量一定共面，故错误；故选：ACD2．【多选】（2023·全国·高二专题练习）下列命题中是真命题的为（

）A．若与共面，则存在实数，使B．若存在实数，使向量，则与共面C．若点四点共面，则存在实数，使D．若存在实数，使，则点四点共面【答案】BD【分析】根据平面向量基本定理以及空间向量基本定理，可知B、D项正确；若共线，则A结论不恒成立；若三点共线，则C项结论不恒成立.【详解】对于A项，如果共线，则只能表示与共线的向量.若与不共线，则不能表示，故A项错误；对于B项，根据平面向量基本定理知，若存在实数，使向量，则与共面，故B项正确；对于C项，如果三点共线，则不论取何值，只能表示与不在所在的直线上，则无法表示，故C项错误；对于D项，根据空间向量基本定理，可知若存在实数，使，则共面，所以点四点共面，故D项正确.故选：BD.3．（2023·上海·高二专题练习）已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（

）A．点是唯一的，且一定与共面B．点不唯一，但一定与共面C．点是唯一的，但不一定与共面D．点不唯一，也不一定与共面【答案】A【分析】由，可得，从而有共面，四点共面，再结合不共线，即可得答案.【详解】由空间向量的知识可知共面的充要条件为存在实数，使，因为，所以，所以共面，所以四点共面，因为，所以，所以点唯一.故选：A.4．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】A【分析】根据平面向量的基本定理，可得答案.【详解】对于A，设，则，显然不存在使得等式成立，故A正确；对于B，设，则，解得，故B错误；对于C，设，则，即，解得，故C错误；对于D，设，则，解得，故D错误.故选：A.5．（2023秋·山东淄博·高二山东省淄博实验中学校考期末）若构成空间的一个基底，则（

）A．不共面 B．不共面C．不共面 D．不共面【答案】A【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得答案.【详解】解：由题知不共面，对于A，因为不存在实数使得成立，故不共面，A正确；对于B，因为，故共面，B错误；对于C，因为，故共面，C错误；对于D，因为，故共面，D错误.故选：A6．【多选】（2023·全国·高二假期作业）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据空间向量的共面定理判断即可.【详解】A：，A是；B:，B是；C：构成空间的一个基底，故无法用表示，C不是；D：，D是；故选：ABD7．（2023·全国·高二专题练习）是空间向量的一组基底，，，，已知点在平面内，则.【答案】3【分析】根据空间向量共面定理可得存在与使得,从而可求解.【详解】因为点在平面内，所以，，共面，所以存在与使得,即，所以，解得.故.故答案为:3.8．（2023秋·高二课时练习）已知向量，，是空间向量的一组基底，，，，若A，B，C，D四点共面．则实数的值为．【答案】【分析】根据点共面可得向量共面，进而根据平面向量基本定理即可列等式求解.【详解】由于A，B，C，D四点共面，所以存在唯一的实数对，使得,即，所以，故答案为：考点二基底的判断及应用9．（2023·全国·高二专题练习）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答.【详解】向量是不共面的三个向量，对于A，，则向量共面，A不能构成空间基底；对于B，，则向量共面，B不能构成空间基底；对于D，，则向量共面，D不能构成空间基底；对于C，假定向量共面，则存在不全为0的实数，使得，整理得，而向量不共面，则有，显然不成立，所以向量不共面，能构成空间的一个基底，C能构成空间基底.故选：C10．（2023春·海南海口·高一海南中学校考期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的一个基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A，，因此向量共面，故不能构成基底，故A错误；对于B，假设向量共面，则，即，无解，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故B正确；对于C，，因此向量共面，故不能构成基底，故C错误；对于D，，因此向量共面，故不能构成基底，故D错误；故选：B.11．（2023秋·高二单元测试）设是空间的一组基底，则一定可以与向量，构成空间的另一组基底的向量是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根据基底向量不共面分析即可.【详解】因为是空间的一组基底，所以向量不共面，而向量，，则，，故，与或共面，则不与共面.故选：C.12．（2023秋·高二课时练习）在三棱柱中，可以作为空间向量一组基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】根据三棱柱的性质和空间向量基底的定义逐个分析判断【详解】对于A，因为向量，，是共面向量，∥，所以，，是共面向量，所以不能作为基底，所以A错误，对于B，因为，，是共面向量，所以不能作为基底，所以B错误，对于C，因为，，这三个向量不共面，所以能作为一组基底，所以C正确，对于D，因为，，是共面向量，所以不能作为基底，所以D错误，故选：C13．（2023·全国·高二课堂例题）如图，在平行六面体中，可以作为空间向量的一个基底的是（

）

A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】利用空间向量的基底定义判断.【详解】因为，，共面，故A错误；因为，，共面，故B错误；因为，，共面，故D错误；因为，，三个向量是不共面的，可以作为一个基底，故C正确；故选：C14．【多选】（2023·全国·高二专题练习）已知是空间的一组基，下列向量中，可以与构成空间的一组基的向量是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根据基底向量的定义逐项分析判断.【详解】已知是空间的一组基底向量，则不共面，对于选项A：因为，所以与共面，不合题意，故A错误；对于选项B：因为，所以与共面，不合题意，故B错误；对于选项C：设，显然上式不成立，即与不共面，符合题意，故C正确；对于选项D：设，显然上式不成立，即与不共面，符合题意，故D正确；故选：CD.15．（2023秋·高二课时练习）设，，是三个不共面的向量，现在从①；②；③；④；⑤中选出可以与，构成空间的一个基底的向量，则所有可以选择的向量为（填序号）.【答案】③④⑤【分析】利用空间向量基本定理即可求出结果.【详解】根据空间向量基本定理知，构成基底只要三个向量不共面即可，故①②不合题意，又，，是三个不共面的向量，故只要含有向量即可，故③④⑤都可以.故答案为：③④⑤.16．（2023·全国·高二专题练习）设，，，且是空间的一组基，则不能作为空间一组基的向量组是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】将题设各向量关系，应用平行六面体各棱关系判断向量组是否可以构成一组基.【详解】如图作平行六面体，使，

则，由平行六面体的性质知：向量不共面；向量不共面；向量不共面．由知，向量共面．故选：D17．（2023·全国·高二专题练习）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可知，向量、、共面，则存在实数、使得，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得的值.【详解】因为向量，，不能构成空间的一个基底，所以、、共面，故存在实数、使得，即，因为是空间的一个基底，则，解得.故选：D.考点三用基底表示向量18．（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则等于（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据空间向量的基本定理结合线性运算的坐标表示求解．【详解】点是棱的中点，则有.故选：A19．（2023春·安徽滁州·高二统考期末）在四面体中，是的中点，是的中点．设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.【详解】依题意.

故选：D20．（2023秋·高二课时练习）在四面体中，，点在上，且,为中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据空间向量的线性运算可得答案.【详解】点在线段上，且，为中点，，，．故选：B．21．（2023·全国·高二专题练习）在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若，，，则=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算，结合重心的性质即可求解.【详解】取中点为，三个式子相加可得,又,故选：D

22．（2023·全国·高二专题练习）如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根据空间向量的线性运算可得结果.【详解】因为，即为的中点，所以，因为，所以，.故选：C23．（2023·全国·高二专题练习）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，设，，，，分别是，的中点，试用表示，，．

【答案】，，．【分析】连接，根据向量的加法、减法、数乘运算求解即可.【详解】连接，则，，．

24．（2023·全国·高二课堂例题）在平行六面体中，M为AC与BD的交点．若，，，试用基底表示向量．【答案】【分析】由空间向量的运算求解，【详解】如图，连接，，则．

25．（2023秋·高二课时练习）如图所示，在平行六面体中，，，，P是的中点，M是的中点，N是的中点，用基底表示以下向量：

(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）（2）（3）连接AC，，，根据在平行六面体中各向量对应线段与，，对应线段位置关系，用，，表示出各向量即可.【详解】（1）连接AC，，，

；（2）；（3）.考点四空间向量基本定理及其应用26．（2023春·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知矩形为平面外一点，平面，点满足，．若，则（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根据题意，由平面向量基本定理结合平面向量的线性运算，即可得到结果.【详解】

因为，，所以，因为，所以，，，所以.故选：C27．（2023·全国·高二专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据向量线性运算，以为基底表示出，从而确定的取值.【详解】，，，，，，.故选：A.28．（2023秋·北京昌平·高二校考阶段练习）空间四边形，如图，其对角线､，､分别为､的中点，点在线段上，且，现用基底向量､､表示向量，并设，则､､的和为.

【答案】【分析】根据空间向量的基本定理，利用向量的加法与减法运算法通过基底向量､､表示，得，即可得的值.【详解】空间四边形对角线为､