二阶常系数线性微分方程的解法三课件

一、二阶线性微分方程解的结构第四模块微积分学的应用第十三节二阶常系数线性微分方程二、二阶常系数线性微分方程的解法三、应用举例一、二阶线性微分方程解的结构第四模块微积分学的应用第十三节1一、二阶线性微分方程解的结构二阶微分方程的如下形式y

+p(x)y

+q(x)y=f(x)称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程.

f

(x)称为自由项，当

f(x)0时，称为二阶线性非齐次微分方程，简称二阶线性非齐次方程.

当

f(x)恒为0时，称为二阶线性齐次微分方程，

简称二阶线性齐次方程.方程中p(x)、q(x)和f(x)都是自变量的已知连续函数.这类方程的特点是：右边是已知函数或零，左边每一项含y

或y

或y，且每项均为y

或y

或y的一次项，例如y

+

xy

+

y=x2就是二阶线性非齐次方程.而y

+

x(y)2

+

y=x2就不是二阶线性方程.一、二阶线性微分方程解的结构二阶微分方程的如下形式y+2定理1

如果函数y1

与y2

是线性齐次方程的两个解，y=C1y1+C2y2仍为该方程的解，

证因为y1与y2是方程y

+p(x)y

+q(x)y=0的两个解，与所以有其中

C1，C2

是任意常数.则函数定理1如果函数y1与y2是线性齐次方程的两个3于是有y

+p(x)y

+q(x)y=0所以y=C1y1+C2y2是y

+p(x)y

+q(x)y=

0的解.于是有y+p(x)y+q(x)y=0所以y4

定义设函数y1(x)和y2(x)

是定义在某区间I上的两个函数，k1y1(x)+

k2y2(x)

=0不失一般性，考察两个函数是否线性相关，我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，事实上，当y1(x)与y2(x)线性相关时，有k1y1+

k2y2=0，其中k1,k2不全为0，如果存在两个不全为0的常数k1和k2，使在区间I上恒成立.则称函数y1(x)与y2(x)在区间上是线性相关的，否则称为线性无关.定义设函数y1(x)和y2(x)是定义在某区间5即y1与y2之比为常数.反之，若y1与y2之比为常数，则y1=ly2，即y1-

ly2=0.所以y1与y2线性相关.因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；例如函数y1=ex，y2=e-x，所以，它们是线性无关的.如果不是常数，则它们线性无关.即y1与y2之比为常数.反之，若y1与y2之比6定理2如果函数y1

与y2

是二阶线性齐次方程y

+p(x)y

+q(x)y=0的两个线性无关的特解，y=C1y1+C2y2是该方程的通解，

证因为y1与y2是方程y

+p(x)y

+q(x)y=0的解，所以，由定理1知y=C1y1+C2y2也是该方程的解.又因为y1与y2线性无关，即y1与y2之比不为常数，故C1与C2不能合并为一个任意常数，因此y=C1y1+C2y2是二阶线性齐次方程的通解.则其中C1,C2为任意常数.所以它们中任一个都不能用另一个(形如y1=

ky2或y2=

k1y)来表示.定理2如果函数y1与y2是二阶线性齐次方程7定理3如果函数y*

是线性非齐次方程的一个特解，y=Y+y*，是线性非齐次方程的通解.

证因为y*与Y分别是线性非齐次方程y

+p(x)y

+q(x)y=f(x)和线性齐次方程y

+p(x)y

+q(x)y=

0的解，所以有y*

+p(x)y*

+q(x)y*

=f(x)，Y

+p(x)Y

+q(x)Y=

0.Y是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则定理3如果函数y*是线性非齐次方程的一个特解，y8又因为y

=

Y

+

y*

，

y=Y

+

y*

，

所以y

+p(x)y

+q(x)y

=(Y

+

y*

)+p(x)(Y

+

y*

)+q(x)(Y+

y*)=(Y

+p(x)

Y

+q(x)Y)+(y*

+p(x)y*

+q(x)y*)=f(x).又因为y=Y+y*，y=Y+y9求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：(1)求线性齐次方程y

+p(x)y

+q(x)y=0的线性无关的两个特解y1与y2，得该方程的通解Y=C1y1+C2y2.

(2)求线性非齐次方程y

+p(x)y

+q(x)y=f(x)的一个特解y*.那么，线性非齐次方程的通解为y=Y+y*.

又Y是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常数，故y=Y+y*中含有两个任意常数.即y=Y+y*是线性非齐次方程y

+p(x)y

+q(x)y=f(x)

的通解.这说明函数y=Y+y*是线性非齐次方程的解，求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：(1)求线性齐次10y

+p(x)y

+q(x)y=f1

(x)+f2

(x)，y

+p(x)y

+q(x)y=f1

(x)，和y

+p(x)y

+q(x)y=f2

(x)则是方程①的特解.定理4设二阶线性非齐次方程为①②③的特解，y+p(x)y+q(x)y=f1(x)+11证因为y1*与y2*分别是②与③的特解，y1*

+p(x)y1*

+q(x)y1*

=f1(x)，与y2*

+p(x)y2*

+q(x)y2*

=f2(x).于是有=f1(x)+

f2(x)，所以有=[y1*

+p(x)y1*

+q(x)y1*]+[y2*

+p(x)y2*

+q(x)y2*]即y1*+y2*满足方程①，证因为y1*与y2*分别是②与③的特解，y112二、二阶常系数线性微分方程的解法如果二阶线性微分方程为y

+py

+qy=f(x)，其中p、q均为常数，则称该方程为二阶常系数线性微分方程.二、二阶常系数线性微分方程的解法如果二阶线性微分方程为y13设二阶常系数线性齐次方程为y

+py

+qy=

0.考虑到左边p，q均为常数，我们可以猜想该方程具有y=erx形式的解，其中r

为待定常数.将y

=rerx,y

=r2erx

及y=erx代入上式，erx(r2+pr+q)=0.

1.二阶常系数线性齐次方程的解法由于erx

0，因此，只要r

满足方程r2+pr+q=0，即r

是上述一元二次方程的根时，y=erx就是④式的解.方程⑤称为方程④的特征方程.特征方程根称为特征根.④⑤得设二阶常系数线性齐次方程为y+py+qy=0141

特征方程具有两个不相等的实根r1与r2，2

特征方程具有两个相等的实根，这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个特解y1=erx.还需再找一个与y1线性无关的特解y2，为此，设y2=u(x)y1，其中u(x)为待定函数.将y2及其一阶、二阶导数y

2=(uerx)

=erx(u(x)+ru(x))，y

2=erx(u(x)+2ru(x)+r2u(x))，代入方程y+py+qy=0中，得因而它的通解为所以y1与y2线性无关，都是④的解，即r1

r2.那么，这时函数即1特征方程具有两个不相等的实根r1与r2，2特15注意到是特征方程的重根，所以有r2+

pr+

q=0及2r

+

p=0.且erx

0，因此只要u(x)满足则y2=uerx就是④式的解，为简便起见，取方程u(x)=0的一个解u=x，于是得到方程④且与y1=erx线性无关的解y2=xerx.因此，④式的通解为注意到是特征方程的重根，163

特征方程具有一对共轭复根r1=a+ib与r2=a–ib.这时有两个线性无关的特解y1=e(a+ib)x与y2=e(a-ib)x.这是两个复数解，为了便于在实数范围内讨论问题，我们再找两个线性无关的实数解.由欧拉公式

(这公式我们将在无穷级数章中补证)，可得3特征方程具有一对共轭复根r1=a+ib17于是有由定理1知，以上两个函数eax

cosbx与eaxsinbx均为④式的解，且它们线性无关.因此，这时方程的通解为于是有由定理1知，以上两个函数eaxcosbx与18上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤是：(1)写出所给方程的特征方程；(2)求出特征根；(3)根据特征根的三种不同情况，写出对应的特解，并写出其通解.上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特19例1

求方程y

-2y

-3y=0

的通解.

解

该方程的特征方程为r2

-2r–3=0,它有两个不等的实根r1=-1，r2=3,

其对应的两个线性无关的特解为y1=e-

x与y2=e3x,所以方程的通解为例1求方程y-2y-3y=0的通解.20

例2

求方程y

-4y

+4y=0

的满足初始条件y(0)=1，y(0)=4的特解.

解

该方程的特征方程为r2

-4r

+4=0，求得将y(0)=1，y

(0)=4代入上两式，得C1=1，C2=2，y=

(1+2x)e2x.其对应的两个线性无关的特解为y1=e2x与y2=xe2x，所以通解为因此，所求特解为它有重根r=2.例2求方程y-4y+4y=0的满21例

3

求方程2y

+2y

+3y=0

的通解.

解

该方程的特征方程为2r2

+2r

+3=0，它有共轭复根对应的两个线性无关的解为所以方程的通解为例3求方程2y+2y+3y=0的通解22例4

求方程y

+4y=0

的通解.

解

该方程的特征方程为r2

+4=0，它有共轭复根r1,2=2i.即a=0，b=2.对应的两个线性无关的解y1=cos2x.y2=sin2x.所以方程的通解为例4求方程y+4y=0的通解.解该方23

2.二阶常系数线性非齐次方程的解法1

自由项f(x)为多项式Pn(x).设二阶常系数线性非齐次方程为y

+

py

+

qy=Pn(x),其中Pn(x)为x的n次多项式.当原方程⑥

中

y

项的系数q

0时，k

取0；当q

=0，但p

0时，k

取1；当p

=0，q

=0时，k取2.⑥因为方程中p、q均为常数且多项式的导数仍为多项式，所以可设⑥式的特解为其中Qn(x)与Pn(x)是同次多项式，2.二阶常系数线性非齐次方程的解法1自由项f(x)24例5

求方程y

-2y+y

=x2

的一个特解.解

因为自由项f(x)

=x2

是x的二次多项式，则代入原方程后，有且y的系数q=10，取k=0.所以设特解为例5求方程y-2y+y=x2的一个特25比较两端x同次幂的系数，有解得A=1，B=4，C=6.故所求特解为比较两端x同次幂的系数，有解得A=1，B=4，C26例6

求方程y

+

y

=x3–x+

1的一个特解.

解

因为自由项f(x)

=x3–x+

1是一个x的三次多项式，则代入原方程后，有且y的系数q=0，p=1

0，取k=1.所以设方程的特解为例6求方程y+y=x3–x+127比较两端x同次幂的系数：解得故所求特解为比较两端x同次幂的系数：解得故所求特解为282

自由项f(x)为Aeax

型设二阶常系数线性非齐次方程为y

+

py

+

qy=Aeax，其中a，A均为常数.由于p，q为常数，且指数函数的导数仍为指数函数，其中B为待定常数，

当

a

不是⑦

式所对应的线性齐次方程的特征方程r2+pr+q=0的根时，取

k=0；当

a

是其特征方程单根时，取

k=1；

当

是其特征方程重根时，取

k=2.⑦因此，我们可以设⑦的特解2自由项f(x)为Aeax型设二阶常系数线性非29例7

求方程y

+

y+y

=2e2x

的通解.

解

a=2它不是特征方程r2+r+1=0的根，取k=0，则代入方程，得故原方程的特解为所以，设特解为.B72=例7求方程y+y+y=2e2x的通解30例8

求方程y

+2y

-3y

=ex

的特解.

解

a=1是特征方程r2+2r

-3=0的单根，取k=1，则代入方程，得故原方程的特解为所以，设特解为,41=B例8求方程y+2y-3y=ex的特解313

自由项f(x)为eax

(Acoswx+Bsinwx)型设二阶常系数线性非齐次方程为y

+

py

+

qy=eax(Acoswx+Bsinwx)，其中a，A，B均为常数.由于p，q为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数，正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，因此,我们可以设⑧有特解⑧其中C，D为待定常数.取

k=0，是根时，取

k=1，代入

⑧式，求得C及D.

当

a+wi

不是

⑧

式所对应的齐次方程的特征方程的根时，3自由项f(x)为eax(Acoswx+32例9

求方程y

+3y

-

y

=excos2x

的一个特解.

解

自由项f(x)=excos2x为eax(Acoswx+Bsinwx)型的函数，则且a

+

wi

=

1+2i，它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程r2

+3r–1=0的根，取k=0，所以设特解为例9求方程y+3y-y=excos33代入原方程，得比较两端cos2x与sin2x的系数，得解此方程组，得故所求特解为代入原方程，得比较两端cos2x与sin2x的系34例10

求方程y

+

y

=sinx

的一个特解.

解

自由项f(x)

=sinx为eax(Acoswx+Bsinwx)型的函数，且a

=

0，w=1，则代入原方程，得且a

+

wi

=

i

是特征方程r2+1=0的根，取k=1，所以，设特解为例10求方程y+y=sinx的一个特解.35比较两端sinx与cosx的系数，得故原方程的特解为而对应齐次方程y

+

y=0的通解为Y=C1cosx+C2sinx.故原方程的通解为比较两端sinx与cosx的系数，得故原方程的特解为36例11

方程y

+4y

=x+1+sinx

的通解.

解

自由项f(x)

=x+1+sinx可以看成f1

(x)

=x+1和f2

(x)

=sinx之和，y

+4y

=x+1，y

+4y

=sinx.和⑨⑩方程⑨

的特解易求得，设方程

⑩

的特解为的特解.所以分别求方程例11方程y+4y=x+1+sinx37代入⑩，得3Asinx=sinx.所以得原方程的特解代入⑩，得3Asinx=sinx.所以得原方程的特解38原方程所对应的线性齐次方程为

y

+4y

=0，其通解为Y=C1cos2x+C2sin2x，故原方程的通解为原方程所对应的线性齐次方程为y+4y=0，其39三、应用举例例12弹簧振动问题设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为m的物体，当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与弹性恢复力大小相等，方向相反，设给物体一个初始位移x0初速度v0，则物体便在其平衡位置附近上下振动.已知阻力与其速度成正比，O试求振动过程中位移x的变化规律.三、应用举例例12弹簧振动问题设有一个弹簧上端固40物体在振动过程中，受到两个力的作用：ma=-

kx–

mv,

其中a为加速度，

v

为速度，

解建立坐标系，平衡位置为原点,铅垂方向为x轴的正向，则物体位移x是时间t的函数x=x(t).根据牛顿第二定律F=ma，知