东华大学-画法几何-平面

平面的投影第一节平面上的点和直线第二节直线、平面与平面的相对位置第三节第2章平面9/15/20231东华大学机械工程学院2.1平面的投影a'b'c'abca'b'c'abca'b'c'abca'b'c'abca'b'c'abc1.用几何元素表示平面9/15/20232东华大学机械工程学院2.平面的迹线表示法PPVPHPVPHQVQHQHQVQ9/15/20233东华大学机械工程学院平面相对投影面的位置平面//P平面P反映实形实形性积聚成直线积聚性P平面∠P类似形类似性9/15/20234东华大学机械工程学院平面在三投影面体系中的投影特性一般位置平面投影面垂直面投影面平行面

H面：铅垂面

V面：正垂面

W面：侧垂面∥H面：水平面∥V面：正平面∥W面：侧平面特殊位置平面（垂直于一个投影面且同时倾斜于另两个投影面）（同时倾斜于三个投影面）（平行于一个投影面）9/15/20235东华大学机械工程学院投影面垂直面积聚性

投影特性在所垂直的投影面上的投影积聚成直线，且反映平面与投影面的倾角另二投影为类似形类似形a'b'c'c"b"a"acb类似形9/15/20236东华大学机械工程学院投影面平行面投影特性在所平行的投影面上的投影反映实形另二投影分别平行于相应的投影轴平行OX轴平行OY轴abca'b'c'c"a"b"反映实形9/15/20237东华大学机械工程学院一般位置平面投影特性在H、V、W面上的投影皆为空间平面图形的类似形a'b'c'b"a"c"abc9/15/20238东华大学机械工程学院点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。

1.平面上取点和直线2.2平面上的点、直线直线在平面上的几何条件是：①通过平面上的两点；②通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。9/15/20239东华大学机械工程学院例2-1已知点E在

ABC上，试求点E的正面投影。ee'9/15/202310东华大学机械工程学院例2-2点K在平面内,已知k'，求k。1'1k1'1ka'c'cabk'b'a'c'cabk'b'方法一方法二9/15/202311东华大学机械工程学院例2-3

已知AC为正平线，完成四边形的水平投影。cda'b'c'd'ab9/15/202312东华大学机械工程学院2.平面上的最大斜度线1.平面上的最大斜度线—平面上对某个投影面倾角最大的直线。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。2.平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对某投影面的平行线相互垂直。3.平面上的投影面最大斜度线有三组，即分别对正立投影面、水平投影面及侧立投影面三组最大斜度线。（1）平面上对水平投影面的最大斜度线（2）平面上对正面投影面的最大斜度线（3）平面上对侧面投影面的最大斜度线9/15/202313东华大学机械工程学院ABP,KLPAB//HKLABKL为平面内对H面的最大斜度线。属于定平面并垂直于该平面的投影面平行线的直线称为最大斜度线。最大斜度线对投影面的角度最大。最大斜度线的几何意义：测定平面对投影面的角度。HABKklLP

1ab9/15/202314东华大学机械工程学院HABKklLP

1ab投影特性klab(直角投影定理）KL与H面的倾角即为平面P与H面的倾角KL是平面内对H面倾角最大的直线9/15/202315东华大学机械工程学院

例题2-4

求作

ABC平面上对水平面的最大斜度线BE

。bd'de'e9/15/202316东华大学机械工程学院

例题2-5

求

ABC平面与水平投影面的夹角

。be

BEb9/15/202317东华大学机械工程学院例题2-6

已知直线EF为某平面对H面的最大斜度线，试作出该平面。aa

给题9/15/202318东华大学机械工程学院2.3直线、平面与平面的相对位置

一、平行问题1、直线与平面平行几何条件若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。2、平面与平面平行几何条件若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。9/15/202319东华大学机械工程学院例题2-7

试判断直线AB是否平行于定平面

fg

f

g结论：直线AB不平行于定平面9/15/202320东华大学机械工程学院例题2-8

试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面

b

a

af

fb9/15/202321东华大学机械工程学院例题2-9

试判断两平面是否平行m

n

mnr

rss

结论：两平面平行9/15/202322东华大学机械工程学院例题2-10

已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rk

k9/15/202323东华大学机械工程学院二、相交问题

直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两平面的共有线。

求线面交点、面面交线的实质是求共有点、共有线的投影9/15/202324东华大学机械工程学院直线与平面相交直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。BKA9/15/202325东华大学机械工程学院M平面与平面相交两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有FKNL9/15/202326东华大学机械工程学院b

ba

acc

m

mnn

（1）直线与特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。kk

9/15/202327东华大学机械工程学院判断直线的可见性b

ba

acc

m

mn

kk

n

特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。

9/15/202328东华大学机械工程学院()

例题2-12求铅垂线EF与一般位置平面△ABC的交点并判别其可见性。

k21k'2'1'9/15/202329东华大学机械工程学院（2）一般位置平面与特殊位置平面相交nlmm

l

n

bacc

a

b

fkf

k

MmnlPBCacbPHAFKNLkf9/15/202330东华大学机械工程学院判断平面的可见性9/15/202331东华大学机械工程学院

两一般位置平面相交，求交线步骤：1．用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。（4）两一般位置平面相交ll

nmm

n

PVQV1

2

21k

kee2．连接两个共有点，画出交线KE。9/15/202332东华大学机械工程学院两一般位置平面相交求交线的方法示意图

利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。MBCAFKNL9/15/202333东华大学机械工程学院利用重影点判别可见性两平面相交，判别可见性3

4

()3421()1

2

9/15/202334东华大学机械工程学院例题2-13

试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交。9/15/202335东华大学机械工程学院分析

过已知点K作平面P平行于

ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。FPEKH9/15/202336东华大学机械工程学院作图m

n

h

hnmPV1

12

21．过点K作平面KMN//

ABC平面。2．求直线EF与平面KMN的交点H。3．连接KH，KH即为所求。9/15/202337东华大学机械工程学院直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。

三、垂直问题9/15/202338东华大学机械工程学院定理2（逆）若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面。9/15/202339东华大学机械工程学院h

例题2-15

试过定点K作特殊位置平面的法线。hhhh

h

（a）（c）（b）9/15/202340东华大学机械工程学院

两平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。AD9/15/202341东华大学机械工程学院g

例题2-17

平面由

BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面。ha

cac

h

g9/15/202342东华大学机械工程学院例题2-18

试判断

ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。f

fd

d结论：因为AD直线不在

ABC平面上，所以两平面不垂直。9/15/202343东华大学机械工程学院例题2-19

试过定