第4章-平行四边形-423-平行四边形的对角线性质课件

第3课时

平行四边形的对角线性质4.2平行四边形及其性质第4章平行四边形第3课时平行四边形的4.2平行四边形及其性质第4章1课堂讲解平行四边形的对角线性质平行四边形的面积2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解平行四边形的对角线性质2课时流程逐点课堂小结作业提1知识点平行四边形的对角线性质知1－导探究

如图，在

中，连接AC，BD，并设它们相交于点O,OA与OC，OB与OD有什么关系？你能证明发现的结论吗？我们猜想，在

中，OA=OC，OB=OD.

与证明平行四边形的对边相等、对角相等的方法类似，我们也可以通过三角形全等证明这个猜想.请你试着完成证明.1知识点平行四边形的对角线性质知1－导探究知1－讲在

中，对角线AC，BD交于点O(如图).求证:OA＝OC，OB＝OD.例1如图，在

中，AD∥BC(平行四边形的定义)，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵AD＝CB(平行四边形的对边相等)，∴△AOD≌△COB.∴OA＝OC，OB＝OD.证明：（来自《教材》）知1－讲在中，对角线AC，B知1－讲平行四边形还有如下性质：平行四边形的对角线互相平分.总结（来自《教材》）知1－讲平行四边形还有如下性质：总结（来自《教材》）知1－讲对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．数学表达式：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC，OB＝OD.拓展：(1)平行四边形的两条对角线把它分割成四个面积相等的三角形；数学表达式：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∴S△ABO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ADO.知1－讲对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．知1－讲(2)若一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积．数学表达式：如图，∵直线EF过平行四边形ABCD两对角线的交点O，∴AE＋AB＋BF＝FC＋CD＋DE＝(AB＋BC＋CD＋DA)，S四边形ABFE＝S四边形FCDE＝

知1－讲(2)若一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则该知1－讲如图，的对角线AC，BD交于点O.过点O作直线EF，分别交AB，CD于点E，F.求证：OE＝OF.例2证明：（来自《教材》）如图，在

中，AB∥CD(平行四边形的定义)，∴∠1＝∠2，又∵OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∠3＝∠4，∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.知1－讲如图，的对角线AC，BD知1－讲在应用平行四边形的性质时，我们应从边、角、对角线这三个方面去考虑，解本例时，我们从“平行四边形的对角线互相平分”中得出“平行四边形被它的两条对角线分成四个小三角形，相邻两个小三角形的周长之差等于平行四边形中对应的两邻边之差”．熟记一些常用的结论，能为计算带来很多方便．总

结知1－讲在应用平行四边形的性质时，我们应从边知1－练1已知O是两条对角线的交点，AC＝24mm，BC＝38mm，OD＝28mm，则△OBC的周长为__________.2

(中考·常州)如图，

的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是(

)A．AO＝OD

B．AO⊥ODC．AO＝OC

D．AO⊥AB（来自《教材》）知1－练1已知O是两条对角知1－练3

(中考·海南)如图，在

中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是(

)A．BO＝DO

B．CD＝ABC．∠BAD＝∠BCD

D．AC＝BD知1－练3(中考·海南)如图，在知1－讲如图，在中，对角线AC，BD交于点E，AC⊥BC.若AC＝4，AB＝5，求BD的长.例3分析：（来自《教材》）如图，因为平行四边形的两条对角线互相平分，所以要求BD的长，只需求出BE的长.在Rt△ABC中，AB，AC长已知，可求得BC的长.又则BE可求.请你完成求解过程.想一想，你还有其他求解方法吗？知1－讲如图，在中，对角线A知1－讲本题可以利用直角三角形的性质，也可以利用平行四边形的性质来解答.总

结知1－讲本题可以利用直角三角形的性质，也可以知1－练1有没有这样的平行四边形，它的两条对角线长分别为14cm和20cm，它的一边长为18cm?为什么？2

(中考·南宁)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是(

)A．2cm＜OA＜5cmB．2cm＜OA＜8cmC．1cm＜OA＜4cmD．3cm＜OA＜8cm（来自《教材》）知1－练1有没有这样的平行四边形，它的两条对角线长分别为1知1－练3若平行四边形的一边长是10cm，则在下列的四组数中，可以作为它的两条对角线长的是(

)A．6cm，8cmB．8cm，12cmC．8cm，14cmD．6cm，14cm知1－练3若平行四边形的一边长是10cm，则在下列的四组2知识点平行四边形的面积知2－导在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对边画垂线，这点与垂足间的距离(或从这点到对边垂线段的长，或者说这条边和对边的距离)，叫做以这条边为底的平行四边形的高．这里所说的“底”是相对高而言的．在平行四边形中，有时高是指垂线段本身，如作平行四边形的高，就是指作垂线段．所以平行四边形的高，在作图时一般是指垂线段本身．在进行计算时，它的意义是距离，即长度．2知识点平行四边形的面积知2－导在平行四边形知2－导平行四边形的面积等于它的底和高的积，即S▱ABCD＝a·h.其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高，如图(1)．要避免学生发生如图(2)的错误．为了区别，有时也可以把高记成ha、hAB，表明它们所对应的底是a或AB．知2－导平行四边形的面积等于它的底和高的积，知2－讲1.面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)．2.等底等高的平行四边形的面积相等．要点精析：(1)求面积时，底和高一定要对应，必须是底边上的高；(2)等底等高的平行四边形与三角形面积间的关系：三角形面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半．知2－讲1.面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平行四知2－讲3.拓展：(1)两个等底平行四边形(三角形)面积的比等于它们高的比；(2)两个等高平行四边形(三角形)面积的比等于它们底的比．4.根据平行四边形的两组对边分别相等，可得平行四边形的周长等于两邻边和的2倍．5.平行四边形的一条对角线将平行四边形分成面积相等的两部分，两条对角线将平行四边形分成面积相等的四部分．知2－讲3.拓展：〈中考·本溪〉如图，在

中，AB＝4，BC＝6，∠B＝30°，则此平行四边形的面积是(

)A.6

B．12C．18D．24例4知2－讲B〈中考·本溪〉如图，在中，知2－讲如图，过点A作AE⊥BC于点E，根据含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AE＝2，再利用平行四边形的面积公式可求出面积．具体过程如下：过点A作AE⊥BC于点E，∵在Rt△ABE中，∠B＝30°，AB＝4，∴

∴平行四边形ABCD的面积为BC·AE＝6×2＝12.导引：知2－讲如图，过点A作AE⊥BC于点E，根据含30°角的直导知2－讲求平行四边形的面积时，根据平行四边形的面积公式，要知道平行四边形的一边长及这边上的高．平行四边形的高不一定是过顶点的垂线段，因为平行线间的距离处处相等．总

结知2－讲求平行四边形的面积时，根据平行四边形如图，

的相邻两边AD∶AB＝5∶4，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F两点，AE＝4cm，求AF的长．例5知2－讲平行四边形的面积是S＝ah.由AD∶AB＝5∶4，AB＝CD，AD＝BC，S▱ABCD＝BC·AE＝CD·AF，可得出AE∶AF＝4∶5.再由AE＝4cm，得到AF＝5cm.导引：如图，的相邻两边AD∶AB＝5知2－讲∵S▱ABCD＝BC·AE＝CD·AF，AB＝CD，AD＝BC，∴AD·AE＝AB·AF.∵AD∶AB＝5∶4，∴AE∶AF＝4∶5，∴解：知2－讲∵S▱ABCD＝BC·AE＝CD·AF，AB＝CD，知2－讲在三角形或平行四边形中，根据面积为定值，用不同的边为底边和对应的高来表示面积，可以得到不同的底和高之间的关系．解本例的关键是根据平行四边形的邻边之比求出对应的高之比．总

结知2－讲在三角形或平行四边形中，根据面积为定知2－练1如图，在

中，AC，BD相交于点O，BD⊥AD于点D，BF⊥CD于点F，OB＝1.5，AD＝4，求CD，BF的长．2将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法共有(

)A．1种B．2种C．4种D．无数种知2－练1如图，在中，知2－练3

(中考·绵阳)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为(