高二上学期期中数学试卷（基础篇）（解析版）

2023-2024学年高二上学期期中数学试卷（基础篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023秋·高二课时练习）化简PM-PN+A．PM B．NP C．0 D．MN【解题思路】根据向量减法原则，以及相反向量的定义，即可得出结果.【解答过程】根据向量减法原则，PM-PN=故PM-PN+故选：C.2．（5分）（2023春·陕西西安·高二校考阶段练习）已知点1,4在抛物线y=axA．1,0 B．(0,1) C．0,116 D【解题思路】先将点代入求得抛物线方程，再将其转化为标准方程即可得解.【解答过程】因为点1,4在抛物线y=ax2上，所以所以抛物线的标准方程是x2则抛物线的焦点坐标为F0,故选：C.3．（5分）（2023春·广东深圳·高二校考期中）椭圆x28+y2A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定【解题思路】根据定点判断直线和椭圆的位置关系.【解答过程】直线过定点M1,0在椭圆内，故直线与椭圆相交故选:B.4．（5分）（2023·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，P是CA1的中点，点Q在C

A．QP=310C．QP=310【解题思路】利用空间向量的线性运算即可求解.【解答过程】因为P是CA所以AP=又因为点Q在CA1上，且所以AQ=1所以QP=故选：C.5．（5分）（2023秋·甘肃金昌·高二校考期末）已知直线l1：x-2y-2=0的倾斜角为θ，直线l2的倾斜角为2θ，且直线l2A．x+y-3=0 B．4x-【解题思路】根据正切二倍角公式，斜截式方程求解即可.【解答过程】解：∵直线l1：x-2y-2=0的倾斜角为θ∵直线l2的倾斜角为2θ，∴斜率为∴l2的方程为y=4故选：B．6．（5分）（2023·河北衡水·模拟预测）已知直线l:y=3x与圆C:x2A．105 B．65 C．238【解题思路】求出圆心和半径，由垂径定理得到|AB|，从而求出△【解答过程】圆C的方程为x2+(y-2)2点C到线段AB的距离为d=故|AB∴△ABC的面积S故选：B.7．（5分）（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2A．152 B．102 C．153【解题思路】作出图形，分析可知∠F1AF2为直角三角形，设AF2=【解答过程】如下图所示：因为OA=c=OF所以，∠F因为BF1=5设AF2=m，则由勾股定理可得AF12整理可得m2+5am-6a2=0，因为由勾股定理可得AF12+A因此，该双曲线的离心率为e=故选：B.8．（5分）（2023春·福建泉州·高二校联考阶段练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1A．DB1⊥平面ACD1 B．直线C．平面A1C1B∥平面ACD1【解题思路】设正方体的棱长为1，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合正方体的性，利用空间向量逐个计算判断即可【解答过程】设正方体的棱长为1，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,0,0),设E(x,y,1)，B设F(1,a,b)，BF对于A，因为DB所以DB1⋅AC=0因为AC∩AD1=A，AC,AD对于B，因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面因为AC⊥BD，BB1∩BD=B，所以AC=(1,1,0)为平面BB1设直线AE与平面BB1Dsinθ=AC对于C，由选项A可知DB1⊥平面ACD1因为A1C1所以DB因为A1C1∩A1B=A所以平面A1C1B∥平面对于D，因为AF=(1,μ,μ)d=AF⋅故选：B.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2023春·云南昆明·高二校考阶段练习）已知方程x24-t+yA．当1<t<4时，曲线C是椭圆 B．当t>4或tC．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则1<t<52 D．若曲线C【解题思路】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答.【解答过程】对于A，当t=52时，4-t=对于B，当t>4或t<1时，(4-t)(t对于C，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则4-t>t-1>0对于D，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则4-t<0<t-1故选：BCD.10．（5分）（2023春·广东深圳·高二校考阶段练习）一条光线从点A-2,3射出，经x轴反射后，与圆C:A．3x-4C．4x-3【解题思路】反射光线一定经过点A-2,3关于x轴的对称点，考虑斜率不存在和斜率存在两种情况，利用【解答过程】点A-2,3关于x轴的对称点为-2,-3由于C:(x-3)若反射光线的斜率不存在，此时反射光线方程为x=-2，与圆C设反射光线的斜率为k，则可得出反射光线为y+3=kx因为反射光线与圆相切，则圆心3,2到反射光线的距离d=r，即解得k=43或34，则反射直线的方程为故选：BC.

11．（5分）（2023秋·广东湛江·高三校考开学考试）已知圆C:(x-3)2+A．圆C的圆心坐标为3,1B．当r=2时，C．当MA⊥CA且rD．当AB=2时，r的最小值为【解题思路】由方程得出圆心坐标；由两圆的位置关系得出m的范围；由勾股定理结合距离公式判断C；由AB为圆C的直径，结合二次函数的性质判断D.【解答过程】由圆C的方程可知圆C的圆心坐标为3,1，即A正确；当r=2时，圆M:(所以有1<(m-3)2+(2因为MA⊥CA，且r=3即(m-3)2+(2m因为圆C的直径为2，所以当AB=2时，AB为圆C所以r2当且仅当m=1时，rmin=6故选：ABD.12．（5分）（2023春·高二单元测试）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，侧面PAD是边长为26的正三角形，底面ABCD为矩形，CD=23，

A．CQ⊥平面PADB．PC与平面AQC所成角的余弦值为2C．三棱锥B-ACOD．四棱锥O-ABCD【解题思路】证明OD,OE,OP两两垂直，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面PAD的法向量，和QC比较可判断A；根据线面角的向量求法可判断B；根据等体积法可判断C【解答过程】如图，取AD的中点O，BC的中点E，连接OE，OP,则OE∥AB，而

因为△PAD为等边三角形，所以OP因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面所以OP⊥平面ABCD因为AD⊥OE，所以以O为坐标原点，以OD,OE,OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点O(0,0,0)，D(因为Q是PD的中点，所以Q点坐标为62平面PAD的一个法向量可取为m=(0,1显然m=(0,1,0)与QC不共线，所以CQPC=(6,23,-3设平面AQC的一个法向量为n=(x,令x＝1，则y=-2，z=-设PC与平面AQC所成角为θ,θ∈[0,所以cosθ=2三棱锥B-ACQ的体积为VB由题意四棱锥O-ABCD外接球的球心位于平面yOz上，设为点则MQ=所以622+即M(0,3,0)所以四棱锥O-ABCD外接球的半径为MD=故选：BD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知a=-3,2,5，b=1,5,-1，则a【解题思路】根据空间向量数量积的坐标运算求得正确答案.【解答过程】由于a+3所以a⋅故答案为：44.14．（5分）（2023秋·高二课时练习）直线l与l1:x-y+1=0，l2【解题思路】设直线l方程为x-y【解答过程】根据题意设直线l的方程为x-因为直线l与l1:x所以c-11所以直线l方程为x-故答案为：x-15．（5分）（2023春·上海长宁·高二校考期中）已知抛物线y2=4x与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦AB的中点M的横坐标为32，则弦AB的长|【解题思路】根据题意设AB:x=ty+1，联立抛物线及韦达定理，结合弦中点横坐标求参数【解答过程】由题意抛物线焦点F(1,0)，且直线AB斜率不为0，设AB联立抛物线得y2-4ty-4=0，所以xA+x则|AB故答案为：5.16．（5分）（2023春·贵州毕节·高二校考阶段练习）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=2，E为PC的中点，则P到平面BDE的距离为【解题思路】根据题意，以A为原点，AB,AD,【解答过程】因为PA⊥底面ABCD，AB,AD⊂平面因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥所以以A为原点，AB,AD,A(0,0,0),因为E为PC的中点，所以E1所以BE=设平面BDE的法向量为m=(m⋅BE=-12所以P到平面BDE的距离为d=故答案为：22四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2023秋·新疆喀什·高二校联考期末）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)a=3，焦点是-3,0(2)离心率为45，短轴长为6的椭圆【解题思路】（1）由题意设双曲线方程为x2（2）分椭圆的焦点在x轴时和y轴时讨论求解即可.【解答过程】（1）由题意设双曲线方程为x2a2又a=3，故所以双曲线的方程为x2（2）当焦点在x轴时，设椭圆方程为x2a2由题可得ca=452所以椭圆方程为x2当焦点在y轴时，设椭圆方程为y2a2由题可得ca=452所以椭圆方程为y2所以，所求椭圆方程为x225+18．（12分）（2023春·广东深圳·高二校考期中）已知两直线l1:3-mx+2my+1=0,(1)平行；(2)垂直.【解题思路】（1）根据l1:A1x+B（2）根据l1:A1x+【解答过程】（1）因为l1//l2，所以2m当m=1时，直线l故m=-32（2）因为l1⊥l2，所以2m19．（12分）（2023秋·高二课时练习）设x,y∈R，向量a=x,1,1，b(1)求a+(2)求向量a+b与【解题思路】根据空间向量垂直和平行的性质，求出x、y，进而求出向量a和b，再进行相应运算即可.【解答过程】（1）由题意，a⊥b，可得x+y+1=0则a=1,1,1，b=故a+（2）因为2a所以a+故向量a+b与2a20．（12分）（2023春·广东深圳·高二校考期中）已知圆C:(1)过点P3,5作圆C的切线l，求l(2)若直线AB方程为3x+y-8=0与圆C【解题思路】（1）讨论切线l斜率是否存在设方程，利用相切时圆心到直线的距离等于半径列关系计算即得结果；（2）计算C1到直线AB的距离d，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦长AB【解答过程】（1）圆C1方程可化为(x-2)2由(3-2)2+(5-3)当过点P的直线斜率存在时，设l的方程为y=即kx-则圆心C1到直线l的距离为2k-∴l的方程为34x当过点P的直线斜率不存在时，l的方程为x=3，此时l与圆C∴l的方程为3x-（2）直线AB方程为3x则圆心C到直线AB的距离d=AB=221．（12分）（2023秋·广东湛江·高三校考开学考试）已知椭圆E:x2a2+y2b(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l:y=x-2mm≠0与椭圆E相交于【解题思路】（1）根据题意，结合椭圆的几何性质，求得a,（2）联立方程组，根据Δ>0，得到m的范围，由点到直线的距离公式和弦长公式，分别求得d=322m【解答过程】（1）解：由题意，可得BF=a=2，且e=c所以椭圆E的方程为x2（2）解：由直线l的方程为y=x-2m，则点N联立方程组x24+由判别式Δ=256m2设Ax1,可得AC=2⋅x所以S=3当且仅当m=±所以所求直线的方程为y=x+

22．（12分）（2023春·福建泉州·高二校考期中）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，对角线AC，BD交于点O，OA=4，OB=3，OP=4，OP⊥底面

(1)求直线PA与平面BDM所成角的正弦值；(2)求点P到平面BDM的距离．【解题思路】（1）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面BDM的法向量n和PA的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解；（2）求出OP与平面BDM所成角的正弦值，结合d=OP【解答过程】（1）解：因为平面ABCD是菱形，所以AC⊥又因为OP⊥底面