第二章多项式插值

第二章多项式插值1湘潭大学数学与计算科学学院第1页，课件共14页，创作于2023年2月§1引言函数逼近:数学中的基本问题,最活跃的研究领域之一数值计算中函数表示的重要方法本质是讨论如何用简单函数近似代替复杂函数简单函数曲线拟合离散数据的方法、理论及其实现。2湘潭大学数学与计算科学学院第2页，课件共14页，创作于2023年2月简单函数逼近函数复杂函数被逼近函数近似代替逼近基本术语：讨论如何用简单的函数一个复杂的函数近似地代替的方法、理论及其实现.

近似代替又叫做逼近.被逼近的函数

或被近似的函数

逼近的函数

或近似的函数

即3湘潭大学数学与计算科学学院第3页，课件共14页，创作于2023年2月函数逼近是数值分析的许多分支的理论基础.

例如:数值积分;数值微分;微分方程数值解;曲线曲面拟合;函数值近似计算;等等4湘潭大学数学与计算科学学院第4页，课件共14页，创作于2023年2月从逼近论的观点，通常有两种意义下的逼近：局部逼近整体逼近1、局部逼近所谓局部逼近就是求函数在某点附近的近似最常用的逼近方法：Taylor逼近方法理论依据：Taylor定理5湘潭大学数学与计算科学学院第5页，课件共14页，创作于2023年2月定理1.1设n为一非负整数，在点某一邻域有阶连续导数，有

则对的这里，n次Taylor逼近多项式和误差余项分别为(1.1)(1.2)(1.3)6湘潭大学数学与计算科学学院第6页，课件共14页，创作于2023年2月注意：1、Taylor逼近多项式满足以下逼近要求

2、Taylor逼近是一种局部逼近在一点处的信息.仅利用了被逼近的函数下面举例说明Taylor多项式的逼近效果.7湘潭大学数学与计算科学学院第7页，课件共14页，创作于2023年2月解由(1.2)式和(1.3)式易求得(1.2)(1.3)直观理解可以参见下图。8湘潭大学数学与计算科学学院第8页，课件共14页，创作于2023年2月(a)的一次和二次Taylor逼近函数

(b)的一次和二次Taylor逼近误差(a)(b)9湘潭大学数学与计算科学学院第9页，课件共14页，创作于2023年2月因此，Taylor逼近适合作函数的局部逼近.由此可见：误差不是均匀分布的.当x越偏离x0误差就越大即当x越接近x0误差就越小；我们将主要讨论整体逼近问题:即对定义域上的所有点.近似函数对被逼近函数的逼近函数曲线对样本数据的拟合考虑:10湘潭大学数学与计算科学学院第10页，课件共14页，创作于2023年2月例2求区间[0,1.5]上的二次（抛物）曲线,要求该曲线过样本点解设所求抛物线的方程为

利用待定系数法，可得此例将引出所谓的

Lagrange型多项式插值问题,这时给定的样本数据仅包含函数值.11湘潭大学数学与计算科学学院第11页，课件共14页，创作于2023年2月例3求区间[0,1]上的三次曲线，要求该函数曲线过且其一阶导函数曲线过样本点和(即函数曲线在0,1点处的斜率分别为0和1).和样本点解设所求的三次曲线为类似于例2的计算，可得12湘潭大学数学与计算科学学院第12页，课件共14页，创作于2023年2月上例将引出所谓的Hermite型多项式插值问题此时样本数据包含：1、函数值2、一阶导数值.更广泛的还有所谓的Birkhoff插值问题.注意：13湘潭大学数学与计算科学学院第13页，课件共14页，创作于2023年2月x01234567y27.026.826.526.326.125.725.324.8例4