第二章地图投影

第二章地图投影第1页，课件共59页，创作于2023年2月1、地图上任意两处的比例尺是否相同？2、地图设计时，为何主区一般都居中布置

（如中国地图的中国位置）？

两个问题：第2页，课件共59页，创作于2023年2月第一节地图投影的实质第3页，课件共59页，创作于2023年2月第4页，课件共59页，创作于2023年2月（格陵兰）第5页，课件共59页，创作于2023年2月地球椭球面（不可展曲面）投影？思考：地球椭球面平面投影展开可展曲面平面第6页，课件共59页，创作于2023年2月第7页，课件共59页，创作于2023年2月第8页，课件共59页，创作于2023年2月第9页，课件共59页，创作于2023年2月

建立地球椭球面上点的坐标（，）与平面上对应的坐标（X,Y)之间的函数关系：

X=f1(（，）

Y=f2(（，）当给定不同的条件时，可以得到不同的投影公式。地图投影的实质：第10页，课件共59页，创作于2023年2月第二节投影变形一、变形的三个方面：

1、长度变形：2、面积变形：3、角度变形：第11页，课件共59页，创作于2023年2月变形椭圆:是一种显示变形的几何图形。地面上的一个微分圆投影后一般为一个微分椭圆，我们称之为变形椭圆。通常我们根据变形椭圆的特征来分析投影变形。

二、变形椭圆第12页，课件共59页，创作于2023年2月第13页，课件共59页，创作于2023年2月第14页，课件共59页，创作于2023年2月长度比公式：任意一点与经线成α角方向上的长度比为：式中，M为子午线曲率半径，r为纬线圈半径，E、F、G为投影公式中x,y的一阶偏导数。经线长度比m为：纬线长度比n为：三、投影变形的基本公式第15页，课件共59页，创作于2023年2月

面积比公式：

式中，a,b为极值长度比，θ′为经纬线投影后所成的夹角。

角度变形公式：

经纬线夹角变形ε为：

一点上最大的角度变形ω为：或者：第16页，课件共59页，创作于2023年2月第三节投影的分类

地图投影的种类很多，通常根据投影的变形性质、可展面的种类和位置进行分类。一、根据投影的变形性质可将地图投影分为：等角投影、等面积投影、任意投影。

等角投影：椭球面上任意一点处任意两个方向的夹角投影后保持大小不变。微分圆仍为圆形，但大小有变化。满足：

保持区域形状的相似性第17页，课件共59页，创作于2023年2月第18页，课件共59页，创作于2023年2月

等面积投影：微分圆投影后保持面积不变。满足：或者：

面积保持不变，但区域形状的相似性被破坏第19页，课件共59页，创作于2023年2月第20页，课件共59页，创作于2023年2月

任意投影：角度、长度、面积同时存在变形的投影。任意投影的特例

等距离投影沿某一主方向没有长度变形，满足：或者：

同时存在三种变形第21页，课件共59页，创作于2023年2月第22页，课件共59页，创作于2023年2月

圆柱投影

圆锥投影方位投影二、根据可展面的种类可将地图投影分为：

正轴投影

横轴投影斜轴投影三、根据可展面与椭球体位置关系可将地图投影分为：第23页，课件共59页，创作于2023年2月第24页，课件共59页，创作于2023年2月四、根据可展面与椭球体的切、割关系可将地图投影分为：

切投影

割投影

此外，还有一些在基本投影的基础上改造而成的投影:

多圆锥投影

伪圆柱投影伪圆锥投影伪方位投影第25页，课件共59页，创作于2023年2月彭纳投影（伪圆锥投影)第26页，课件共59页，创作于2023年2月伪圆柱投影－1第27页，课件共59页，创作于2023年2月伪圆柱投影－2第28页，课件共59页，创作于2023年2月伪圆柱投影－3第29页，课件共59页，创作于2023年2月

地图投影的命名：综合考虑：投影的变形性质

可展面的种类可展面与椭球体的位置可展面与椭球体的切割关系第30页，课件共59页，创作于2023年2月第四节几种常见投影一、圆锥投影第31页，课件共59页，创作于2023年2月1、圆锥投影（正轴）的一般公式：或者：纬线投影半径ρδ经线夹角的投影λ椭球面上经线的夹角α小于1的常数第32页，课件共59页，创作于2023年2月

思考：正轴圆锥投影的变形主要受什么因素影响？

第33页，课件共59页，创作于2023年2月2、双标准纬线等角圆锥投影第34页，课件共59页，创作于2023年2月

投影公式：α,K均为投影常数：第35页，课件共59页，创作于2023年2月面积比等变形线第36页，课件共59页，创作于2023年2月

（1）无角度变形；（2）等变形线和纬线一致，同一条纬线上变形处处相等；（3）两条标准纬线上没有任何变形；（4）同一经线上，两标准纬线外侧为正变形（

1），之间为负变形（

1）；（5）同一纬线上等经差的线段长度相等。

长度变形的最大部位是：中间纬线及φS、φN。

投影变形规律：第37页，课件共59页，创作于2023年2月

双标准纬线等角圆锥投影的经纬线特征：

该投影适用范围：

适合中纬度地区沿纬线方向分布的制图区域。

纬线为一系列的同心圆弧；经线为辐射的直线束。第38页，课件共59页，创作于2023年2月第39页，课件共59页，创作于2023年2月

双标准纬线等角圆锥投影的应用特例：

国际百万分之一地图投影的几何概念：

1:100万地图分幅大小经差6×纬差4

（1）为减少投影误差，按纬差4

分带投影：从赤道开始，纬差4

为一带，共分为15个投影带（中国范围：北纬0

－60）。（2）实际投影时，每幅图单独投影。同一投影带中，只需计算一幅图的投影，其余图共用计算结果。（3）标准纬线的位置：

1=s+40

2=N-40第40页，课件共59页，创作于2023年2月投影变形规律：

（1）无角度变形；（2）等变形线和纬线一致，同一条纬线上变形处处相等；（3）两条标准纬线上没有任何变形；（4）同一经线上，两标准纬线外侧为正变形（

1），之间为负变形（

1）；（5）同一纬线上等经差的线段长度相等。

由于每幅图的纬差仅为4°，因此投影的变形极小，长度变形在边纬与中纬上为±0.030％，面积变形约为长度变形的两倍。第41页，课件共59页，创作于2023年2月拼接裂隙：

投影的特点决定了：图幅的东西方向拼接不会产生裂隙；但南北方向拼接时，因投影带不同，会产生裂隙。

裂隙距裂隙角图幅经差L边长

当纬度较低时，裂隙角增大，L也增大，裂隙距自然也增大。第42页，课件共59页，创作于2023年2月

思考：正轴圆锥投影的变形分析第43页，课件共59页，创作于2023年2月二、圆柱投影正轴的圆柱投影其经纬线为相互垂直的两组平行直线。第44页，课件共59页，创作于2023年2月1、圆柱投影（正轴）的一般公式：或者：λ椭球面上经线的夹角α常数第45页，课件共59页，创作于2023年2月2、正轴等角圆柱投影（Mercator投影）公式：rK割纬圈的纬圈半径Mod＝1/ln10＝0.43429448等角航线

地面上两点间同所有经线构成相同方位角的一条曲线，在投影中表现为两点间直线。Mercator投影被广泛用于航海图、航空图的制作。第46页，课件共59页，创作于2023年2月3、高斯－克吕格投影

高斯投影等角横切椭圆柱投影高斯投影公式（略）高斯投影的基本条件：（1）中央经线的投影为直线，且是投影的对称轴；（2）投影后无角度变形，同一点上各方向的长度比不变；（3）中央经线上无长度变形。第47页，课件共59页，创作于2023年2月

高斯投影分带的规定：

第48页，课件共59页，创作于2023年2月

高斯投影的变形规律：

1、中央经线上无任何变形；

2、除中央经线上长度比为1外，其它任何点的长度比均大于1；

3、沿纬线方向，离中央经线越远，变形越大；

4、沿经线方向，纬度越低变形越大；

5、本投影无角度变形，面积比为长度比的平方；

6、长度比的等变形线平行于中央经线。最大长度变形1.38‰（6

带）结论：高斯投影适合于中高纬度地区。第49页，课件共59页，创作于2023年2月

高斯投影的应用（1）高斯投影的变形特点决定了该投影适合于中、高纬度的国家和地区采用（制作普通图、专题图均可；限制：制图区域的跨度不宜太大）。（2）我国≥1：50万的国家基本比例尺系列地形图均采用高斯投影。4、通用横轴墨卡托投影

横轴等角割圆柱投影（UTM投影）μ＝0.9996，与高斯投影差别很小。中央经线上长度比第50页，课件共59页，创作于2023年2月（正轴方位投影）三、方位投影第51页，课件共59页，创作于2023年2月1、方位投影（正轴）的一般公式：或者：第52页，课件共59页，创作于2023年2月1、纬线为一系列的同心圆；经线为辐射的直线束。2、等变形线与纬线一致。该类投影适合于具有圆形轮廓的制图区域。正轴方位投影的经纬线特征：第53页，课件共59页，创作于2023年2月横轴方位投影第54页，课件共59页，创作于2023年2月东、西半球（横轴方位投影）第55页，课件共59页，创作于2023年2月斜轴等角方位投影第56页，课件共59页，创作于2023年2月第五节地图投影的选择了解制图区域的概况：

地理位置、范围大小、区域形状。制图区域决定着选择何种可展投影面。明确地图用途：

地图用途决定着选用何种性质、何种精度的投影。用于高精度量测：长度和面积变形小于±0.5％，小于0.5°；用于近似量测：长度和面积变形为±2％～±3％，角度变形1°～2°；用于目估量测：长度和面积变形为±6％～±8％，角度变形5°～6°；不用于量测：强调地理位置的相对正确性。地图投影的选择应充分考虑以下三大因素：第57页，课件共59页，创作于2023年2月了解常用投影的特点（性质、变形分布、