福建省厦门市龙凤中学高三数学文期末试题含解析

福建省厦门市龙凤中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.曲线y=x3－2x2在点（1，-1）处的切线方程为（

）

A．y=x－2

B．y=-3x+2

C．y=2x－3 D．y=-x参考答案：D略2.盒中共有形状大小完全相同的5个球，其中有2个红球和3个白

球．若从中随机取2个球，则概率为的事件是

(A)都不是红球

(B)恰有1个红球

(C)至少有1个红球

(D)至多有1个红球参考答案：B3.若正项数列{an}满足lgan+1=1+lgan，且a2001+a2002+…+a2010=2014，则a2011+a2012+…+a2020的值为（）A．2014?1010 B．2014?1011 C．2015?1010 D．2015?1011参考答案：A【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】lgan+1=1+lgan，可得=10，数列{an}是等比数列，可得a2011+a2012+…+a2020=1010（a2001+a2002+…+a2010）．【解答】解：∵lgan+1=1+lgan，∴=1，∴=10，∴数列{an}是等比数列，∵a2001+a2002+…+a2010=2014，∴a2011+a2012+…+a2020=1010（a2001+a2002+…+a2010）=2014×1010．故选：A．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.设函数f（x）=lgx的定义域为A，函数g（x）=的定义域为B，则A∪B等于（）A．[﹣1，+∞） B．[﹣1，1] C．（0，1] D．[1，+∞）参考答案：A【考点】并集及其运算；函数的定义域及其求法．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；集合．【分析】求出函数f（x）和g（x）的定义域A、B，计算A∪B即可．【解答】解：函数f（x）=lgx的定义域为A，∴A={x|x＞0}=（0，+∞）；又函数g（x）=的定义域为B，∴B={x|1﹣x2≥0}={x|﹣1≤x≤1}=[﹣1，1]；∴A∪B=[﹣1，+∞）．故选：A．【点评】本题考查了求函数的定义域以及集合的简单运算问题，是基础题目．5.平面向量、满足，且，，则与的夹角等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B6.已知a，β，是三个不同的平面,l，m是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是(A)若l丄a,l//β则a//β(B)若丄a，丄β，则a//β(C)若l//m且la，mβ，l//β，m//a，则a//β(D)若l，m异面,且la，mβ，l//β，m//a，则a//β参考答案：D略7.设x，y满足约束条件，若的最大值为6，则的最大值为（

）A．

B．2

C.

4

D．5参考答案：C8.执行下面的程序框图，则输出的k值为（）A．﹣1 B．4 C． D．参考答案：C【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算k值，模拟程序的运行过程，将程序运行过程中变量的值的变化情况进行分析，不难给出答案．【解答】解：执行循环体前，k=4，i=1第一次执行循环体后，k=﹣1，i=2，满足循环的条件第二次执行循环体后，k=，i=3，满足循环的条件第三次执行循环体后，k=，i=4，满足循环的条件第四次执行循环体后，k=4，i=5，满足循环的条件第五次执行循环体后，k=﹣1，i=6，满足循环的条件第三次执行循环体后，k=，i=7，不满足循环的条件输出k结果为：．故选：C．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9.在△ABC中，若3cos（A﹣B）+5cosC=0，则tanC的最大值为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣2参考答案：B【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由题意可得3cos（A﹣B）﹣5cos（A+B）=0，展开化简可得tanAtanB=，再利用基本不等式求得tan（A+B）≥，从而求得tanC的最大值．【解答】解：△ABC中，若3cos（A﹣B）+5cosC=0，即3cos（A﹣B）+5cos（π﹣A﹣B）=3cos（A﹣B）﹣5cos（A+B）=0，即3cosAcosB+3sinAsinB﹣5cosAcosB+5sinAsinB=0，故8sinAsinB=2cosAcosB，tanAtanB=，tanA+tanB≥2=1，∴tan（A+B）=≥=，则tanC=﹣tan（A+B）≤﹣，当且仅当tanA=tanB时，等号成立，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式、两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．10.直线与圆有两个不同交点的一个必要不充分条件是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域是________．参考答案：略12.公比为的等比数列前项和为15，前项和为

.参考答案：13.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

▲

．参考答案：14.已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N+，Sn=（﹣1）nan++n﹣3且（t﹣an+1）（t﹣an）＜0恒成立，则实数t的取值范围是．参考答案：（﹣，）【考点】数列递推式．【分析】由数列递推式求出首项，写出n≥2时的递推式，作差后对n分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数an=﹣1（n为正奇数）为减函数，最大值为a1=﹣，函数an=3﹣（n为正偶数）为增函数，最小值为a2=，再由（t﹣an+1）（t﹣an）＜0恒成立求得实数t的取值范围．【解答】解：由Sn=（﹣1）nan++n﹣3，得a1=﹣；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（﹣1）nan++n﹣3﹣（﹣1）n﹣1an﹣1﹣﹣（n﹣1）+3=（﹣1）nan+（﹣1）nan﹣1﹣+1，若n为偶数，则an﹣1=﹣1，∴an=﹣1（n为正奇数）；若n为奇数，则an﹣1=﹣2an﹣+1=2（﹣1）﹣+1=3﹣，∴an=3﹣（n为正偶数）．函数an=﹣1（n为正奇数）为减函数，最大值为a1=﹣，函数an=3﹣（n为正偶数）为增函数，最小值为a2=，若（t﹣an+1）（t﹣an）＜0恒成立，则a1＜t＜a2，即﹣＜t＜．故答案为：（﹣，）．【点评】本题考查数列递推式，考查了数列通项公式的求法，体现了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题．15.已知．①当a=1时，f（x）=3，则x=

；②当a≤﹣1时，若f（x）=3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a=

．参考答案：4，

【考点】分段函数的应用．【分析】①当a=1时，f（x）=3，利用分段函数建立方程，即可求出x的值；②由f（x）=3，求得x=﹣1，或x=4，根据x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，可得a≤﹣1，f（﹣6）=3，由此求得a的值．【解答】解：①x≥1，x﹣=3，可得x=4；x＜1，2﹣（x+）=3，即x2+x+4=0无解，故x=4；②由于当x＞a时，解方程f（x）=3，可得x﹣=3，求得x=﹣1，或x=4．∵x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，∴x2=﹣1，x3=4，x1=﹣6，∴a≤﹣1．∴x＜a时，方程f（x）=3只能有一个实数根为﹣6，再根据f（﹣6）=2a+6+=3，求得a=，满足a≤﹣1．故答案为4，．【点评】本题主要考查分段函数，利用函数的单调性求函数的最值，等差数列的性质，体现了分类讨论以及转化的数学思想，属于中档题．16.

某电视台连续播放5个不同广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有________种（用数字作答）参考答案：答案：36

17.设函数，且方程在区间和上各有一解，则的取值范围用区间表示为________________。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.)已知公差不为0的等差数列的前项和为，，且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和公式.参考答案：【解】：（Ⅰ）设等差数列的公差为.因为，所以.

①因为成等比数列，所以.

②由①，②可得：.所以.…………(6分)（Ⅱ）由可知：所以

所以.所以数列的前项和为.

……（12分）

略19.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，AB=AA1，∠A1AB=60°，D是AB的中点．（Ⅰ）求证：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求证：AB⊥平面A1CD；（Ⅲ）若AB=AC=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结AC1，A1C，交于点O，连结OD，推导出OD∥BC1，由此能证明BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）连结A1B，推导出A1D⊥AB，DC⊥AB，由此能证明AB⊥平面A1CD．（Ⅲ）推导出A1D⊥平面ABC，由此能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC1，A1C，交于点O，连结OD，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，ACC1A1是平行四边形，∴O是AC1的中点，∵D是AB的中点，∴OD是△ABC1的中位线，∴OD∥BC1，∵BC1?平面A1CD，OD?平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）连结A1B，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，AB=AA1，∠A1AB=60°，D是AB的中点，∴△ABA1是等边三角形，∴A1D⊥AB，DC⊥AB，∵A1D∩CD=D，∴AB⊥平面A1CD．解：（Ⅲ）∵AB=AC=2，，AC=BC，AB=AA1，∠A1AB=60°，D是AB的中点，∴AD=CD=，∴AD2+CD2=A1C2，∴A1D⊥CD，又A1D⊥AB，AB∩CD=D，∴A1D⊥平面ABC，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC?A1D===3．20.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C1的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．参考答案：（Ⅰ），

………………5分（Ⅱ）设，则点到直线的距离21.(本题满分13分)如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1，侧面BCC1B1底面ABC.

（I）若M、N分别为AB、A1C的中点，求证：MN//平面BCC1B1；

（II）若三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成的角为60°.问在线段上是否存在一点P，使得平面ABP与底面ABC的所成角为，若存在，求BP的长度，若不存在，说明理由.参考答案：（I）思路点拨1：连接,证明：;------------------4分

思路点拨2：取BC中点,取中点,证明：是平行四边形

思路点拨3：取AC中点K，连接MK,NK，证明平面MKN//平面BCC1B1

（II）过作BC的垂线,垂足为O，侧面BCC1B1底面ABC

所以平面ABC，------------------------------------6分

所以就是侧棱BB1与底面ABC所成的角，即=60°--7分

又AB=AC，所以,

如图，以O为原点，BC所在直线为X轴，OA为y轴建立空间直角坐标系

则-------------8分

-------------9分

解1：，设平面的法向量为

则，令，则y=-1,x=-3,所以---11分

又平面ABC的法向量为（0,0,1），

设平面使得平面与底面ABC的所成角为

所以，又在上单调递减，

所以在上不存在点P，使得平面ABP与底面ABC的所成角为-----------------------13分解2：设P在上，所以…22.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2asinA=（2b﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，b=2，求△ABC的面积．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）△ABC中，由正弦定理得，再由余