2024届镇江市重点中学九年级数学第一学期期末联考试题含解析

2024届镇江市重点中学九年级数学第一学期期末联考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．在中，，，若，则的长为（）A． B． C． D．2．起重机的滑轮装置如图所示，已知滑轮半径是10cm，当物体向上提升3πcm时，滑轮的一条半径OA绕轴心旋转的角度为（）A． B．C． D．3．如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（）A．∶3 B．∶1 C．∶ D．1∶4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，AB＝25，CD是斜边AB上的高，则cos∠BCD的值为()A． B． C． D．5．在平面直角坐标系中，函数的图象经过变换后得到的图象，则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位6．如图，⊙O的半径为1，点O到直线的距离为2，点P是直线上的一个动点，PA切⊙O于点A，则PA的最小值是（）A．1 B． C．2 D．7．如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（）A．3mm B．4mm C．5mm D．8mm8．现实世界中对称现象无处不在，汉字中也有些具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（）A．处 B．国 C．敬 D．王9．如图是抛物线的部分图象，其顶点为，与轴交于点，与轴的一个交点为，连接.以下结论：①；②抛物线经过点；③；④当时，.其中正确的是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④10．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上两点，则，其中说法正确的是（

）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④11．若，则的值为（）A．1 B． C． D．12．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程=15，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（）A．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成B．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成C．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成D．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点，与直角边相交于点．若的面积为8，则的值为________．14．为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米．按此方法，请计算旗杆的高度为_____米．15．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m.16．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=70°，∠OBC=60°，则∠ODC=__________．17．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣4＝0的一个根，则2m2﹣4m＝_____．18．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，且，则的值是______.三、解答题（共78分）19．（8分）在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上，将绕点逆时针旋转，得到，请画出．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象相交于点．（1）求直线AB的解析式；（2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求的面积；（3）设直线CD的解析式为，根据图象直接写出不等式的解集．21．（8分）已知为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为(3，m)（m>0），线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的抛物线过点B、D．（1）求点A的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(AC+EC)为定值．22．（10分）对于平面直角坐标系中的两个图形K1和K2，给出如下定义：点G为图形K1上任意一点，点H为K2图形上任意一点，如果G，H两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形K1和K2的“近距离”。如图1，已知△ABC，A（-1，-8），B（9,2），C（-1,2），边长为的正方形PQMN，对角线NQ平行于x轴或落在x轴上．（1）填空：①原点O与线段BC的“近距离”为；②如图1，正方形PQMN在△ABC内，中心O’坐标为（m，0），若正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1，则m的取值范围为；（2）已知抛物线C：，且-1≤x≤9，若抛物线C与△ABC的“近距离”为1，求a的值；（3）如图2，已知点D为线段AB上一点，且D（5，-2），将△ABC绕点A顺时针旋转α（0º<α≤180º），将旋转中的△ABC记为△AB’C’，连接DB’，点E为DB’的中点，当正方形PQMN中心O’坐标为（5，-6），直接写出在整个旋转过程中点E运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”．23．（10分）如图，为测量一条河的宽度，某学习小组在河南岸的点A测得河北岸的树C在点A的北偏东60°方向，然后向东走10米到达B点，测得树C在点B的北偏东30°方向，试根据学习小组的测量数据计算河宽.24．（10分）某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距3米，探测线与地面的夹角分别是30°和60°（如图），试确定生命所在点C的深度．（结果精确到0.1米，参考数据：）25．（12分）某班“数学兴趣小组”对函数的图像和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．

（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：其中，________________．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该图像的另一部分；（3）观察函数图像，写出两条函数的性质；（4）进一步探究函数图像发现：①方程有______个实数根；②函数图像与直线有_______个交点，所以对应方程有_____个实数根；③关于的方程有个实数根，的取值范围是___________．26．如图,在小山的东侧处有一一热气球,以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为30°的方向飞行，半小时后到达处，这时气球上的人发现,在处的正西方向有一处着火点，5分钟后，在处测得着火点的俯角是15°，求热气球升空点与着火点的距离．(结果保留根号,参考数据:)

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【解题分析】根据解直角三角形的三角函数解答即可【题目详解】如图，∵cos53°=,∴AB=故选A【题目点拨】此题考查解直角三角形的三角函数解，难度不大2、A【分析】设半径OA绕轴心旋转的角度为n°，根据弧长公式列出方程即可求出结论．【题目详解】解：设半径OA绕轴心旋转的角度为n°根据题意可得解得n=54即半径OA绕轴心旋转的角度为54°故选A．【题目点拨】此题考查的是根据弧长，求圆心角的度数，掌握弧长公式是解决此题的关键．3、A【分析】计算出在半径为R的圆中，内接正方形和内接正六边形的边长即可求出．【题目详解】解：设此圆的半径为R，则它的内接正方形的边长为R，它的内接正六边形的边长为R，内接正方形和内接正六边形的周长比为：4R：6R＝∶1．故选：A．【题目点拨】本题考查了正多边形和圆，找出内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键．4、B【分析】根据同角的余角相等得∠BCD=∠A,利用三角函数即可解题.【题目详解】解：在中，∵，,是斜边上的高，∴∠BCD=∠A（同角的余角相等）,∴===,故选B.【题目点拨】本题考查了三角函数的余弦值,属于简单题,利用同角的余角相等得∠BCD=∠A是解题关键.5、A【分析】将两个二次函数均化为顶点式，根据两顶点坐标特征判断平移方向和平移距离.【题目详解】，顶点坐标为，，顶点坐标为，所以函数的图象向左平移2个单位后得到的图象.故选：A【题目点拨】本题考查二次函数图象的特征，根据顶点坐标确定变换方式是解答此题的关键.6、B【分析】因为PA为切线，所以△OPA是直角三角形．又OA为半径为定值，所以当OP最小时，PA最小．根据垂线段最短，知OP=1时PA最小．运用勾股定理求解．【题目详解】解：作OP⊥a于P点，则OP=1．

根据题意，在Rt△OPA中，AP==故选：B．【题目点拨】此题考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PA最小时点P的位置是解题的关键，难度中等偏上．7、C【分析】连接OA，根据垂径定理，求出AD，根据勾股定理计算即可．【题目详解】连接OA，∵OD⊥AB，∴AD=AB=4，由勾股定理得，OA==5，故选C．【题目点拨】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．8、D【分析】利用轴对称图形定义判断即可．【题目详解】解：四个汉字中，可以看作轴对称图形的是：王，故选：D．【题目点拨】本题考查轴对称图形的定义，轴对称图形是指沿着某条直线对称后能完全重合的图形，熟练掌握轴对称图形的概念是解决本题的关键．9、D【分析】根据抛物线与y轴交于点（0，3），可得出k的值为4，从而得出抛物线的解析式为，将（-2，3）代入即可判断正确与否，抛物线与x轴的交点A（1，0）,因此得出三角形的面积为2，当x-3<x<1时，y>0.据此判断④正确.【题目详解】解：把（0，3）代入抛物线解析式求出k=4,选项①错误，由此得出抛物线解析式为：，将（-2，3）代入解析式可得出选项②正确；抛物线与x轴的两交点分别为（1，0），（-3，0），∴OA=1,∵点M到x轴的距离为4，∴，选项③错误；∵当x-3<x<1时，y>0.∵∴y>0，选项④正确，故答案为D.【题目点拨】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，根据题目找出抛物线的解析式是解题的关键,再利用其性质求解.10、A【分析】根据二次函数的图像和性质逐个分析即可．【题目详解】解：对于①：∵抛物线开口向上，∴a>0，∵对称轴，即，说明分子分母a,b同号，故b>0，∵抛物线与y轴相交，∴c<0，故，故①正确；对于②：对称轴，∴，故②正确；对于③：抛物线与x轴的一个交点为(-3,0)，其对称轴为直线x=-1，根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为,1,0)，故当自变量x=2时，对应的函数值y=，故③错误；对于④：∵x=-5时离对称轴x=-1有4个单位长度，x=时离对称轴x=-1有个单位长度，由于＜4，且开口向上，故有，故④错误，故选：A．【题目点拨】本题考查了二次函数的图像与其系数的符号之间的关系，熟练掌握二次函数的图形性质是解决此类题的关键．11、D【解题分析】∵，∴==，故选D12、C【解题分析】题中方程表示原计划每天铺设管道米，即实际每天比原计划多铺设米，结果提前天完成，选．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】过D点作x轴的垂线交x轴于E点，可得到四边形DBAE和三角形OBC的面积相等，通过面积转化，可求出k的值．【题目详解】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，∵△ODE的面积和△OAC的面积相等．的面积与四边形的面积相等，∴四边形DEAB＝8，设D点的横坐标为x，纵坐标就为∵D为OB的中点．∴∴四边形DEAB的面积可表示为：∴故答案为：【题目点拨】本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出k的值．14、11.1【解题分析】根据题意证出△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．【题目详解】由题意得：∠DEF＝∠DCA＝90°，∠EDF＝∠CDA，∴△DEF∽△DCA，则，即，解得：AC＝10，故AB＝AC+BC＝10+1.1＝11.1（米），即旗杆的高度为11.1米．故答案为11.1．【题目点拨】本题考查了相似三角形的应用；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．15、7【解题分析】设树的高度为m，由相似可得，解得，所以树的高度为7m16、50°．【题目详解】解：∵∠A=70°，∴∠C=180°﹣∠A=110°，∴∠BOD=2∠A=140°，∵∠OBC=60°，∴∠ODC=360°﹣110°﹣140°﹣60°=50°，故答案为50°．考点：圆内接四边形的性质．17、8【分析】根据方程的根的定义，将代入方程得，仔细观察可以发现，要求的代数式分解因式可变形为，将方程二次项与一次项整体代入即可解答.【题目详解】解：将代入方程可得，，.【题目点拨】本题考查了一元二次方程根的定义和代数求值，运用整体代入的数学思想可以方便解答。18、8【分析】过A作AB⊥x轴，根据正弦的定义和点A的坐标求出AB，OA的长，根据勾股定理计算即可.【题目详解】如图，过A作AB⊥x轴，∴，∵，∴，∵，∴AB=6，∴，根据勾股定理得：，即m=8，故答案为8.【题目点拨】本题考查的是锐角三角函数的定义、坐标与图形的性质，掌握直角三角形中，锐角的正弦是其对边与斜边的比是解题的关键.三、解答题（共78分）19、见解析【分析】根据题意（将绕点逆时针旋转即可画出图形；【题目详解】解：如图所示，即为所求.【题目点拨】此题考查了旋转变换．注意抓住旋转中心与旋转方向是关键．20、（1））；（2）的面积为1；（3）或．【分析】（1）将点A（-1，a）代入反比例函数求出a的值，确定出A的坐标，再根据待定系数法确定出一次函数的解析式；（2）根据直线的平移规律得出直线CD的解析式为y=-x-2，从而求得D的坐标，联立方程求得交点C、E的坐标，根据三角形面积公式求得△CDB的面积，然后由同底等高的两三角形面积相等可得△ACD与△CDB面积相等；（3）根据图象即可求得．【题目详解】（1））∵点在反比例函数的图象上，∴，∴，∵点，∴设直线AB的解析式为，∵直线AB过点，∴，解得，∴直线AB的解析式为；（2）∵将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为，∴，∴，联立，解得或，∴，，连接AC，则的面积，由平行线间的距离处处相等可得与面积相等，∴的面积为1．（3）∵，，∴不等式的解集是：或．【题目点拨】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．21、（1）(3﹣m，0)；（2）；（3）见解析【分析】（1）AO=AC−OC=m−3，用线段的长度表示点A的坐标；（2）是等腰直角三角形，因此也是等腰直角三角形，即可得到OD=OA，则D(0，m−3)，又由P(1，0)为抛物线顶点，用待定系数法设顶点式，计算求解即可；（3）过点Q作QM⊥AC与点M，过点Q作QN⊥BC与点N，设点Q的坐标为，运用相似比求出FC，EC长的表达式，而AC=m，代入即可．【题目详解】解：（1）由B(3，m)可知OC=3，BC=m，∴AC=BC=m，OA=m﹣3，∴点A的坐标为(3﹣m，0)（2）∵∠ODA=∠OAD=45°∴OD=OA=m﹣3，则点D的坐标是(0，m﹣3)又抛物线的顶点为P(1，0)，且过B、D两点，所以可设抛物线的解析式为：得：∴抛物线的解析式为：（3）证明：过点Q作QM⊥AC与点M，过点Q作QN⊥BC与点N，设点Q的坐标为，则∵QM∥CE∴△PQM∽△PEC则∵QN∥FC∴△BQN∽△BFC则又∵AC=m=4∴即为定值8【题目点拨】本题主要考查了点的坐标，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，合理做出辅助线，运用相似三角形的性质求出线段的长度是解题的关键．22、（1）①2；②；（2）或；（3）点E运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”为．【分析】（1）①由垂线段最短，即可得到答案；②根据题意，找出正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1，的临界点，然后分别求出m的最小值和最大值，即可得到m的取值范围；（2）根据题意，抛物线与△ABC的“近距离”为1时，可分为两种情况：当点C到抛物线的距离为1，即CD=1；当抛物线与线段AB的距离为1时，即GH=1；分别求出a的值，即可得到答案；（3）根据题意，取AB的中点F，连接EF，求出EF的长度，然后根据题意，求出点F，点Q的坐标，求出FQ的长度，即可得到EQ的长度，即可得到答案．【题目详解】解：（1）①∵B（9，2），C（，2），∴点B、C的纵坐标相同，∴线段BC∥x轴，∴原点O到线段BC的最短距离为2；即原点O与线段BC的“近距离”为2；故答案为：2；②∵A（-1，-8），B（9，2），C（-1，2），∴线段BC∥x轴，线段AC∥y轴，∴AC=BC=10，△ABC是等腰直角三角形，当点N与点O重合时，点N与线段AC的最短距离为1，则正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1，此时m为最小值，∵正方形的边长为，由勾股定理，得：，∴，（舍去）；当点Q到线段AB的距离为1时，此时m为最大值，如图：∵QN=1，△QMN是等腰直角三角形，∴QM=，∵BD=9，△BDE是等腰直角三角形，∴DE=9，∵△OEM是等腰直角三角形，∴OE=OM=7，∴m的最大值为：，∴m的取值范围为：；故答案为：；（2）抛物线C：，且，若抛物线C与△ABC的“近距离”为1，由题可知，点C与抛物线的距离为1时，如图：∵点C的坐标为（，2），∴但D的坐标为（，3），把点D代入中，有，解得：；当线段AB与抛物线的距离为1时，近距离为1，如图：即GH=1，点H在抛物线上，过点H作AB的平行线，线段AB与y轴相交于点F，作FE⊥EH，垂足为E，∴EF=GH=1，∵∠FDE=∠A=45°，∴，∵点A（-1，-8），B（9，2），设直线AB为，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：，∴直线EH的解析式为：；∴联合与，得，整理得：，∵直线EH与抛物线有一个交点，∴，解得：；综合上述，a的值为：或；（3）由题意，取AB的中点F，连接EF，如图：∵点A（-1，-8），B（9，2），∴，在中，F是AD的中点，点E是的中点，∴，∵点D的坐标为（5，-2），A（-1，-8），∴点F的坐标为（2，），∵在正方形PNMQ中，中心点的坐标为（5，），∴点Q的坐标为（6，），∴，∴；∴点E运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”为．【题目点拨】本题考查了图形的运动问题和最短路径问题，考查了二次函数的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的平移，勾股定理，旋转的性质，根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，作出临界点的图形，从而进行分析．注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题．难度很大，是中考压轴题．23、米【分析】如图（见解析），过点A作于点E，过B作于点F，设河宽为x米，则，在和中分别利用和建立x的等式，求解即可.【题目详解】过点A作于点E，过B作于点F设河宽为x米，则依题意得在中，，即解得：则在中，，即解得：（米）答：根据学习小组的测量数据计算出河宽为米.【题目点拨】本题考查了锐角三角函数中的正切的实际应用，依据题意构造出直角三角形是解题关键.24、2.6米【解题分析】试题分析：过点C作CD⊥AB于点D，根据题意得出∠CAD=3