山西省朔州市沙阁寻慧泽中学高三数学文期末试卷含解析

山西省朔州市沙阁寻慧泽中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知幂函数的图象不过原点，则的值为（

）A．6

B．3

C．3或6

D．3或0参考答案：B2.已知不等式组表示的平面区域为M.当从变化到1时，动直线扫过区域M中的那部分区域为N，其中表示z=x－y,((x,y)∈M)的最小值，若从M区域内随机取一点，则该点取自区域N的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D如图所示不等式组表示的区域M为△AOB及其内部，其面积；=-2，直线扫过M中的那部分区域N为图中阴影部分，其面积为所以所求概率故选D.3.定义在R上的函数f(x)在（－∞，2）上是增函数，且f(x＋2)的图象关于轴对称，则

A．f(－1)＜f(3)B．f(0)＞f(3)

C．f(－1)＝f(3)

D．f(0)＝f(3)参考答案：A4.已知集合,则等于（）A． B． C． D．参考答案：B5.已知函数，，若至少存在一个，使成立，则实数a的范围为(

)

A．[，+∞)

B．(0，+∞)

C．[0，+∞)

D．(，+∞)参考答案：B略6.焦点是，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线的方程是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：由已知，双曲线焦点在轴上，且为等轴双曲线，故选D.考点：双曲线几何性质．7.命题“对任意R，都有”的否定是

A．存在R，使得

B．不存在R，使得

C．存在R，使得

D．对任意R，都有参考答案：C8.函数f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（）A. B.C. D.参考答案：D由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.考点：三角函数图像与性质9.设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的部分图像为参考答案：B略10.已知双曲线的右焦点也是抛物线的焦点，与的一个交点为，若轴，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A本题主要考查双曲线和抛物线的性质.根据题意,,设双曲线的另一个焦点为,则,因为为直角三角形,所以,根据双曲线的定义,,所以,所以双曲线的离心率为=,故选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列，满足，，（），则_________.参考答案：略12.设F1、F2是双曲线的两焦点，点P在双曲线上．若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离等于

。参考答案：13.设正三棱柱ABC﹣A'B'C'中，，则该正三棱柱外接球的表面积是．参考答案：20π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据三棱柱的底面边长及高，先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距，进而求出三棱柱外接球的球半径，代入球的表面积公式即可得到棱柱的外接球的表面积．【解答】解：由正三棱柱的底面边长为2，得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r=2，又由正三棱柱的高为2，则球心到圆O的球心距d=1，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R满足：R2=r2+d2=5，∴外接球的表面积S=4πR2=4π×5=20π．故答案为：20π．【点评】本题考查的是棱柱的几何特征及球的体积和表面积，考查数形结合思想、化归与转化思想，其中根据已知求出三棱柱的外接球半径是解答本题的关键．14.若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①属于，空集属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于.则称是集合上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合：①；②；③；④其中是集合上的一个拓扑的集合的所有序号是

．参考答案：②④15.的外接圆的圆心为，半径为，，且，则向量在向量方向上的投影为

参考答案：略16.参考答案：17.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为为参数和为参数．以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线与的交点的极坐标为

.参考答案：

可以是Z.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）已知为锐角，且，函数，数列{}的首项.（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求数列的前项和.参考答案：⑴

又∵为锐角∴

∴

………5分

（2）∵，

∴ ∵

∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列。可得，∴，

…9分∴

…………12分19.（本题满分14分）设函数（Ⅰ）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；（Ⅱ）设，若对任意，有，求的取值范围．参考答案：（Ⅰ）当

．

又当，

．

．．．．．．6分

（Ⅱ）当时，．

对任意上的最大值与最小值之差,据此分类讨论如下：

（ⅰ），．

（ⅱ），

．

（ⅲ），

．

综上可知，．

．．．．．．14分20.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，E、F分别是PB、CD的中点，且.（1）求证：；（2）求证：;（3）求二面角的余弦值.参考答案：（1）证明取的中点连结

,为正三角形，

又,

平面,同理可证又平面…4分.

（2）取的中点，连结

且又且

，四边形是平行四边形，而平面

平面平面…8分（3）取的中点过作于点连结

则又平面

是二面角的平面角.

在中，

又∽,.

在中，可求得，

故二面角的余弦值为………………12分.

（注：若（2）、（3）用向量法解题，证线面平行时应说明平面内，否则扣1分；求二面角的余弦值时，若得负值，亦扣1分.）21.如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA?PD=PE?PC；（2）AD=AE．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据切割线定理，建立两个等式，即可证得结论；（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F，证明AC是⊙O2的切线，可得∠CAD=∠AED，由（1）知，可得∠CAD=∠ADE，从而可得∠AED=∠ADE，即可证得结论．【解答】证明：（1）∵PE、PB分别是⊙O2的割线∴PA?PE=PD?PB

又∵PA、PB分别是⊙O1的切线和割线∴PA2=PC?PB

由以上条件得PA?PD=PE?PC（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB=90°∴AC是⊙O2的切线．由（1）知，∴AC∥ED，∴AB⊥DE，∠CAD=∠ADE又∵AC是⊙O2的切线，∴∠CAD=∠AED又∠CAD=∠ADE，∴∠AED=∠ADE∴AD=AE22.已知椭圆的离心率为，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2=1的切线l与曲线C相交于A、B两点，线段AB的中点为M，求|OM|的最大值．参考答案：【分析】（I）根据条件列方程组解出a，b即可得出椭圆的方程；（II）设直线l方程为x=my+t，联立方程组消元，利用根与系数的关系求出M的坐标，根据距离公式求出|OM|的最值．【解答】解：（I）由题意得，解得a=2，b=1．∴椭圆C的标准方程．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），若直线l的斜率为0，则l方程为y=±1，此时直线l与椭圆只有1个交点，不符合题意；设直线l：x=