高二数学 双曲线讲义

..高二年级数学科辅导讲义〔第讲〕学生：授课教师：授课时间：11.23专题双曲线目标掌握双曲线的定义；双曲线的图像和几何性质；重难点求双曲线的标准方程；求离心率；焦点三角形问题；常考点求双曲线的标准方程；求离心率；焦点三角形问题；一、知识点讲解〔1〕双曲线的定义：平面与两个定点的距离的差的绝对值等于常数〔小于〕的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：与〔〕表示双曲线的一支。表示两条射线；没有轨迹；〔2〕双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程图形xxOF1F2PyA2A1yxyxOF1PB2B1F2顶点对称轴轴，轴；虚轴为，实轴为焦点焦距离心率〔离心率越大，开口越大〕渐近线通径〔3〕双曲线的渐近线：①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；〔4〕等轴双曲线为，其离心率为〔4〕常用结论：〔1〕双曲线的两个焦点为，过的直线交双曲线的同一支于两点，那么的周长=〔2〕设双曲线左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点，那么的坐标分别是二、例题讲解。例1、如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，那么双曲线的离心率为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕例2、设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，假设，那么的面积为〔〕A． B． C. D．例3、中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6)(1)求双曲线方程(2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论同步练习如果双曲线＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是〔〕(A) (B) (C) (D)双曲线C∶＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是〔A〕a (B)b (C) (D)以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是〔〕AB．C．D．以双曲线的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．假设双曲线〔a＞0,b＞0〕上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，那么双曲线离心率的取值围是()A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D.(5,+) 假设双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么那么双曲线的离心率是〔〕〔A〕3〔B〕5〔C〕〔D〕双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.那么＝〔〕A.-12B.-2C.0D.4填空题过双曲线的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，那么△AFB的面积为_______双曲线的左、右焦点分别为，假设双曲线上存在一点使，那么该双曲线的离心率的取值围是．过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，那么双曲线的离心率为______点在双曲线上，并且到这条双曲线的右准线的距离恰是到双曲线两个焦点的距离的等差中项，那么点的横坐标是_________是双曲线的两个焦点，是过点的弦，且的倾斜角为，那么的值是__________是的两个顶点，角满足，那么顶点的轨迹方程是________________解答题如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.〔Ⅰ〕建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；〔Ⅱ〕设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.假设△的面积不小于，求直线斜率的取值围.双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。〔1〕求双曲线C的方程；〔2〕如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，假设，求面积的取值围选择题：1.A2.B3.A4.B5.B6.D7.C填空题：8.9.10.211.12.1613.17.解：〔Ⅰ〕以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，那么A〔-2，0〕，B〔2，0〕，D(0,2),P〔〕，依题意得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜=＜｜AB｜＝4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，那么c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2.∴曲线C的方程为.解法2：同解法1建立平面直角坐标系，那么依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜｜AB｜＝4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为＞0，b＞0〕.那么由解得a2=b2=2,∴曲线C的方程为(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得〔1-k2〕x2-4kx-6=0.∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴∴k∈〔-,-1〕∪〔-1，1〕∪〔1，〕.设E〔x，y〕，F(x2,y2)，那么由①式得x1+x2=,于是｜EF｜＝＝而原点O到直线l的距离d＝，∴S△DEF=假设△OEF面积不小于2,即S△OEF，那么有③综合②、③知，直线l的斜率的取值围为[-，-1]∪(1-,1)∪(1,).解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得〔1-k2〕x2-4kx-6=0.∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴.∴k∈〔-，-1〕∪〔-1，1〕∪〔1，〕.设E(x1,y1),F(x2,y2),那么由①式得｜x1-x2｜=③当E、F在同一去上时〔如图1所示〕，S△OEF＝当E、F在不同支上时〔如图2所示〕.S△ODE=综上得S△OEF＝于是由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=假设△OEF面积不小于