数学建模实验答案-离散模型

.PAGE.实验09离散模型〔2学时〕〔第8章离散模型〕1.层次分析模型1.1〔验证，编程〕正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法p263~264正互反阵注：[263]定理2n阶正互反阵A的最大特征根≥n。★(1)用MATLAB函数求A的最大特征根和特征向量。调用及运行结果〔见[264]〕：>>A=[126;1/214;1/61/41];>>[V,D]=eig(A)V=0.8685-0.8685-0.86850.47790.2390-0.4139i0.2390+0.4139i0.13150.0658+0.1139i0.0658-0.1139iD=3.0092000-0.0046+0.1663i000-0.0046-0.1663i>>D=diag(D)D=3.0092-0.0046+0.1663i-0.0046-0.1663i>>D=D.*(imag(D)==0)D=3.009200>>[lambda,k]=max(D)lambda=3.0092k=1>>w=V(:,k)/sum(V(:,k))w=0.58760.32340.0890(2)幂法〔见[263]〕A为n×n正互反矩阵，算法步骤如下：a.任取n维非负归一化初始列向量〔分量之和为1〕；b.计算；c.归一化，即令；d.对于预先给定的精度ε，当时，即为所求的特征向量；否那么返回到步骤b；e.计算最大特征根。注：函数式m文件如下：function[lambdaw]=p263MI(A,d)%幂法——求正互反阵最大特征根和特征向量%A正互反方阵%d 精度%lambda最大特征根%w归一化特征列向量if(nargin==1)%假设只输入一个变量〔即A〕，那么d取0.000001d=1e-6;endn=length(A);%取方阵A的阶数w0=rand(n,1);w0=w0/sum(w0);%任取归一化初始列向量while1ww=A*w0;w=ww/sum(ww);%归一化ifall(abs(w-w0)<d)break;endw0=w;endlambda=sum(ww./w0)/n;☆(2)用幂法函数求A的最大特征根和特征向量。调用及运行结果〔见[264]〕：(3)和法〔见[264]〕A为n×n正互反矩阵，算法步骤如下：a.将A的每一列向量归一化得；b.对按行求和得；c.将归一化即为近似特征向量；d.计算，作为最大特征根的近似值。函数式m文件如下：function[lambdaw]=p264HE(A)%和法——求正互反阵最大特征根和特征向量%A 正互反方阵%lambda最大特征根%w归一化特征列向量AA=A/diag(sum(A));%a.将A的每一列向量归一化ww=sum(AA,2);%b.对AA按行求和，ww为列向量w=ww./sum(ww);%c.归一化，得w为近似特征列向量lambda=sum(A*w./w)/length(A);%d.计算最大特征根的近似值λ☆(3)用和法函数求A的最大特征根和特征向量。调用及运行结果〔见[264]〕：(4)根法〔见[264]〕A为n×n正互反矩阵，算法步骤如下：a.将A的每一列向量归一化得；b.对按行求积并开n次方得；c.将归一化即为近似特征向量；d.计算，作为最大特征根的近似值。★(4)编写根法函数，用该函数求A的最大特征根和特征向量。[提示：sum,prod,diag]对矩阵A按行求和的调用为sum(A,2)。对矩阵A按行求积的调用为prod(A,2)。diag(V)，用向量V构造对角矩阵。nargin，存放函数输入自变量的数目。编写的程序和调用及运行结果〔见[264]〕：function[lambdaw]=p264GEN(A)%根法——求正互反阵最大特征根和特征向量%A 正互反方阵%lambda最大特征根%w归一化特征列向量n=length(A);AA=A/diag(sum(A));%a.将A的每一列向量归一化ww=(prod(AA,2)).^(1/n);%b.对AA按行求积并开n次方，ww为列向量w=ww./sum(ww);%c.归一化，得w为近似特征列向量lambda=sum(A*w./w)/n;%d.计算最大特征根的近似值λ1.2〔验证，编程〕旅游决策问题p250~256在下面程序中，脚本式m文件p250.m调用函数式m文件p250fun.m〔求A的最大特征根及归一化特征列向量、一致性指标值CI、一致性比率值CR〕，p250fun.m中调用另一个函数式m文件p264HE.m〔求A的最大特征根及归一化特征列向量〕。(1)脚本式m文件如下：%旅游决策问题%文件名：p250.mclear;clc;formatpact;%层次分析法的根本步骤：%1.建立层次构造模型%见p250图1选择旅游地的层次构造%2.构造成比照拟阵%第2层为准那么层：风光、费用、居住、饮食和旅途5个准那么A=[11/2433;...21755;...1/41/711/21/3;...1/31/5211;1/31/5311];%第3层为方案层：P1、P2和P3等3个供选择地点B1=[125;1/212;1/51/21];B2=[11/31/8;311/3;831];B3=[113;113;1/31/31];B4=[134;1/311;1/411];B5=[111/4;111/4;441];B=['B1';'B2';'B3';'B4';'B5'];%3.计算权向量并做一致性检查%第2层[lambda2w2CI2CR2]=p250fun(A);ifCR2>=0.1%成比照拟阵A的一致性检验disp(['CR2=',num2str(CR2),'>0.1,A没有通过一致性检查！'])return;end%第3层lambda3=zeros(1,5);w3k=zeros(3,5);CI3k=zeros(1,5);CR3k=zeros(1,5);fork=1:5[lambda3(k)w3k(:,k)CI3k(k)CR3k(k)]=p250fun(eval(B(k,:)));ifCR3k(k)>0.1%成比照拟阵B1的一致性检验disp(['CR3k(k)=',num2str(CR3k(k)),'>0.1,B',num2str(k),'没有通过一致性检查！'])return;endend%4.计算组合权向量并做组合一致性检验w3=w3k*w2;%最下层〔第3层〕对目标〔第1层〕的组合权向量%第3层组合一致性检验(从第3层开场〕CI3=CI3k*w2;%随机一致性指标RI的数值〔下标对应成比照拟方阵的阶数〕：RI=[000.580.901.121.241.321.411.451.491.51];RI3=RI([3,3,3,3,3])*w2;%标量CR3=CI3/RI3;ifCR3>0.1disp(['CR3=',num2str(CR3),'>0.1,第3层没有通过组合一致性检查！'])return;end%最下层〔第3层〕对第1层的组合一致性比率为CR=CR2+CR3;ifCR>0.1disp(['CR=',num2str(CR),'>0.1,没有通过组合一致性检查！'])return;end%添加命令用于显示有关结果:(2)函数式m文件如下：function[lamdawCICR]=p250fun(A)%求A的最大特征根及归一化特征列向量、一致性指标值CI、一致性比率值CR%A成比照拟阵〔正互反方阵〕%lamda最大特征根值%wA的归一化特征列向量〔权向量〕%CI一致性指标值%CR一致性比率值[lamdaw]=p264HE(A);%求A的最大特征根及归一化特征列向量%随机一致性指标RI的数值〔下标对应成比照拟方阵的阶数〕：RI=[000.580.901.121.241.321.411.451.491.51];n=length(A);CI=(lamda-n)/(n-1);%一致性指标，CI=0时A为一致阵；CI越大A的不一致程度越严重CR=CI/RI(n);%一致性比率，CR<0.1时认为A的不一致程度在容许围之要求：请仔细阅读以上程序，完成以下实验：在脚本式m文件后面添加命令，使★①显示第2层的数据。包括：最大特征根λ；特征向量〔权向量〕w；一致性指标CI；一致性比率CR。添加的命令和运行结果〔见[254]〕：lambda2,w2,CI2,CR2★②显示第3层的数据。包括：特征向量〔权向量〕w；最大特征根λ；一致性指标CI。添加的命令和运行结果〔见[255]表3〕：w3k,lambda3,CI3k★③显示最下层〔第3层〕对目标〔第1层〕的组合权向量。添加的命令和运行结果〔见[255]〕：w3★④显示第2层和第3层的组合一致性比率，以及最下层对第1层的组合一致性比率。添加的命令和运行结果〔见[256]〕：CR2,CR3,CR2.循环比赛的名次2.1〔编程，验证〕双向连通竞赛图〔4顶点〕的名次排序p270,271~2724个顶点的竞赛图〔教材p270中图3(4)〕如下：113424个队得分〔获胜场数〕为〔2，2，1，1〕由得分排名为{〔1，2〕，〔3，4〕}，该竞赛图是双向连通图，属于第2种类型，可通过以下方法给知名次排序。该图的邻接矩阵为：★(1)编写一个程序，求出1~8级得分向量，并依据8级得分向量给出排名。给出程序和运行结果〔比拟[272]〕：clear;clc;formatpact;formatshortg;A=[0110;0011;0001;1000];%邻接矩阵n=length(A);%方阵A的阶数s=A*ones(n,1);disp(s');fork=2:8s=A*s;disp(s');end[~,k]=sort(s,'descend');%降序k'%排名(2)求元素互不相等的得分向量法得分向量为s=A*ones其中，记s(1)=ss(k)=A*s(k-1)=Ak*ones,k=2,3,…〔s(k)称为k级得分向量〕程序如下：%双向连通竞赛图的名次排序〔求元素不等的得分向量〕%文件名：p272_1.mclear;clc;formatpact;formatshortg;A=[0110;0011;0001;1000];%邻接矩阵n=length(A);%方阵A的阶数s=A*ones(n,1);k=1;whilelength(unique(s))<n%unique(s)去掉s中的重复元素 s=A*s;k=k+1;endk%k级得分向量s'%元素不等的得分列向量[~,kk]=sort(s,'descend');%降序kk'%排名☆(2)运行求元素互不相等的得分向量法程序。运行结果〔比拟[272]〕：(3)特征根法对于n≥4个顶点的双向连通竞赛图，其邻接矩阵A为素阵〔存在正整数r，使Ar>0〕，且有其中，1为全1列向量，λ为最大实特征根且为正，s为其特征列向量。%双向连通竞赛图的名次排序〔特征根法〕%文件名：p272_2.mclear;clc;formatpact;formatshortg;A=[0110;0011;0001;1000];%邻接矩阵[V,D]=eig(A);%返回A的特征值和特征向量。%其中D为A的特征值构成的对角阵，每个特征值%对应的V的列为属于该特征值的一个特征向量。D=diag(D);%返回矩阵D的对角线元素构成列向量。D=D.*(imag(D)==0);%复数特征值用0代替，实数的那么不变[lamda,k]=max(D);lamdas=V(:,k)/sum(V(:,k));%最大特征根对应的特征列向量(归一化)[~,k]=sort(s,'descend');%降序s',k'☆(3)运行特征根法程序。给出运行结果〔比拟[272]〕：2.2〔验证〕双向连通竞赛图〔6顶点〕的名次排序p270,272~2736个顶点的竞赛图〔教材p270中图1〕如下：6641235该图的邻接矩阵为：要求：使用上题的程序。☆(1)求出1~4级得分向量，并依据4级得分向量给出排名。运行结果〔比拟[272]〕：☆(2)运行求元素互不相等的得分向量法程序。运行结果：☆(3)运行特征根法程序。运行结果〔比拟[273]〕：3.公平的席位分配3.1〔验证〕参照惯例的席位分配方法p278~279某学校有甲乙丙三个系共有200名学生，其中甲系有103人，乙系有63人，丙系有34人。(1)有20个代表席位，采用参照惯例的席位分配方法，分别求出甲乙丙系的"席位分配结果〞。(2)有21个代表席位，采用参照惯例的席位分配方法，分别求出甲乙丙系的"席位分配结果〞。下面是参照惯例的席位分配方法的求解函数：function[qi,ni]=p278fun(p,n)%p各单位人数〔列向量〕%n总席位〔标量〕%qi 按比例分配的席位〔列向量〕%ni 参照惯例的结果〔列向量〕qi=n*p/sum(p);%按比例各单位所得席位〔可能含小数〕ni=fix(qi);%各单位所得席位取整m=n-sum(ni);%可能有没分配完的席位ifm>0%席位没分完[~,k]=sort(qi-ni,'descend');%按降序排序〔缺省为升序〕ni(k(1:m))=ni(k(1:m))+1;%排在前m个，加1end要求：①在命令窗口分别调用以上函数求解〔使用最正确定点或浮点格式〔5位数字〕控制命令formatshortg〕。②两个结果比拟，合理吗？☆题(1)〔20个代表席位〕的调用及结果〔比拟[279]表1〕。☆题(2)〔21个代表席位〕的调用及结果〔比拟[279]表1〕。3.2〔验证〕Q值方法p280~281〔教材：8.4公平的席位分配〕某学校有甲乙丙三个系共有200名学生，其中甲系有1