基础数学（第7章）

主讲老师：第5章指数函数与对数函数第6章直线与圆的方程第7章简单几何体第8章概率与统计初步引言等几何体.实际上，我们生活在一成的立体空间中.因此，掌握基本十分必要.本章我们首先认识简单积的相关计算.7.1.1简单几何体的形状?一个多面体至少有四个面，根据面数的不同，多面体可分为四面体、五面体、六面体等.面不全是平面.棱台等.知识精讲生活中常见的物体除了有柱体、锥体、台体和球体等简单几何体外，还有大量物体是由这些简单几何体组合而成的，我们将这些由简单几何体组合而成合而成的简单组合体.请举例说明.物体在日光或灯光的照射下，会在墙壁、地面等处形成影子(见图7-4),而且随着物体与光源的距离或角度的变化，影子的大小和形状会有所不同.将物体投影到平面上，可以获得一个平面图形，根据这个平面图形可以确定物体的全貌吗?应从哪些角度投影才能更好地确定物体的形状和大小?面的投影与这个平面的形状和大小完全相同.影如图7-5所示.(a)中心投影(b)平行投影(斜投影)(c)平行投影(正投影)为了确定几何体的全貌，需要从多个角度进行投影.通常，我们采用如图7-6所示为长方体的三视图.在三种正投影中，第一种是如图7-6所示为长方体的三视图.在三种正投影中，第一种是光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图称为几何体正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到的几何体的正投影图，它们都是平面图形，一般地，侧视图放在正视图的右边，俯视图放在正视图的下边.从生活经验中可以发现，水平放置的圆看起来非常像椭圆.在画水平放置的圆的直观图时，我们常用如图7-13所示的椭圆模板.下面我们首先以正六边形为例，学习水平放置的平面图形直观图的画法；然后在理解斜二测画法的基础上，探究几何体直观图的画法.学以致用 例3用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.解解(1)如图7-14(a)所示，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点0.在图7-14(b)中，画出相应的x'轴点N为中点，画BC平行于轴，并且等于BC;再以点M为中点，画E'F'平行于x'轴，(2)画圆柱的下底面.在x轴上取A,B两点，使线段AB的长度等于俯视图中圆为圆柱的下底面.(3)画圆柱的上底面.在z轴上截取点O’,使线段O0等于正视图中下部圆柱的高，过点O'作平行于x轴的x'轴，用类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面.形的直观图.(尺寸自定)(1)直角三角形；(2)正五边形.正五边形的中心，(尺寸自定)图的方法.活中我们常见的物体有哪些是棱柱?底面是平行四边形直的平行六面体称为是矩形的直平行六面都相等的长方体称为柱的高.如图7-24所示的多面体都是棱柱.表示棱柱时，通常分别顺次写出两个底面顶点的字母，中间用一条短横线隔开.例如，图7-24(a)所示的棱柱可记通常，棱柱可分为斜棱柱和直棱柱两大类.侧棱不垂直于底面的棱柱称为求做一个滚筒所需要的铁板面积是多少?(精确到0.1m²)积.正棱锥主要具有以下性质.(1)正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰上的高(称为正棱锥的斜高)相等；(2)正棱锥的高、斜高及斜高在底面上的平行正投影组成一个直角三角形；已知正四棱锥底面正方形的边长为6cm,高与斜高的夹角为，求此正四棱锥的侧面积、全面积和体积.(保留4位有效数字)体积.7.3旋转体圆锥.以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面(或平面)所围成的几何体称为圆锥，旋转轴所在的直线称为圆锥的轴；另一条直角边旋转而成的平面称为圆锥的底面；斜边旋转而成的曲面称为圆锥的侧面；无论旋转到什么位置，斜边都称为圆锥的母线；母线与轴的交点称为圆锥的顶点；顶点到底面的距离称为圆锥的高.圆锥用表示轴的字母表示，如图7-33所示的圆锥表示为圆锥0o'.圆锥主要具有以下性质.(1)平行于底面的截面是圆；(2)圆锥的轴截面是以底面直径为底、母线为腰的等腰三角形，其底边上的高等于圆锥的高；(3)圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的距离都相等，且等于母线的长如图7-34所示为圆锥的表面展开图，设其底面半径为r,母线长为l,高为h,则其侧面积、全面积和体积公式分别为已知圆锥的母线长为2,圆锥的高为1,求该圆锥的体积.即10个沙堆约重71t.所以，需要运9次才能将沙全部运走.为60°,求圆锥的体积.生活中的数学日常生活中有很多球形物体，如足球、篮球、乒乓球等，如图7-35所示.那么，球是如何形成的呢?其表面积和体积应如何计算?以半圆的直径所在的直线为旋转轴，由半圆弧旋转而成的曲面称为球面.球面所围成的几何体称为球体，简称球.半圆的圆心称为球心；连接球心和球面上任意一点的线段称为球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段称为球的直径.如图7-36所示的球中，点O是球心，线段OC是球的半径，线段AB是球的直径.球用表示球心的字母表示，如图7-36所示的球可表示为球O.球面也可以看作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合.设球心到截面的距离为d,球的半径为R,截面圆的半径为r,则经过球心的平面截球所得的圆称为球的大圆，此时，d=0,r=R,截面圆的面积最大；不经过球心的平面截球所得的圆称为球的小圆。经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧(指不超过半个大圆的弧)的长度称为两点的球面距离.它是球面上这两点之间最短连线的长度，如图7-38所示，劣弧的长度就是两点的球面距离.S球=4πR²,学以致用球半径约为6370km)≈2π×637