数学人教B版必修4学案1.2.2单位圆与三角函数线

1.2.2单位圆与三角函数线基础知识基本能力1．了解三角函数线的定义．(难点、易错点)2．掌握在单位圆中某一角的函数线的画法．(重点)1．会利用单位圆中的有向线段表示正弦、余弦和正切．(重点)2．能使用三角函数线求三角函数值、比较大小、解简单的三角方程或三角不等式、证明相关的命题等．(重点、难点)1．单位圆一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆．【自主测试1】若单位圆的圆心与坐标原点重合，有下列结论：①单位圆上任意一点到原点的距离都是1；②单位圆与x轴的交点只有一个，为(1,0)；③过点(1,0)的单位圆的切线方程为x＝1；④与x轴平行的单位圆的切线方程为y＝1.以上结论正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：单位圆与x轴的交点有两个，为(1,0)和(－1,0)；与x轴平行的单位圆的切线方程为y＝±1，所以②④错误．显然①③正确．答案：B2．三角函数线(1)如图(1)，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为A(1,0)，A′(－1,0)，而与y轴的交点分别为B(0,1)，B′(0，－1)．设角α的顶点在圆心O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(如图(1))，过点P作PM垂直x轴于M，作PN垂直y轴于点N，则点M，N分别是点P在x轴、y轴上的正射影(简称射影)．由三角函数的定义可知，点P的坐标为(cosα，sinα)，即P(cos_α，sin_α)．其中cosα＝OM，sinα＝ON.这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．如图(2)，以A为原点建立y′轴与y轴同向，y′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T′)，则tanα＝AT(或AT′)．我们把轴上向量eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))和eq\o(AT,\s\up6(→))(或eq\o(AT′,\s\up6(→)))分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线．当角α的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，此时，正弦线和正切线都变成了一点，它们的数量为零，而余弦线OM＝1或－1.当角α的终边在y轴上时，正弦线MP＝1或－1，余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在．(2)三角函数线的方向表示三角函数值的符号：正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．知识拓展我们根据角能作出角的三角函数线，反过来，我们也可以根据三角函数值去找角的终边，从而找到角的取值范围．观察三角函数线的变化，我们知道：当角由0增加到2π时，sinα在一、四象限是增函数，在二、三象限是减函数；cosα在一、二象限是减函数，在三、四象限是增函数；tanα在各个象限内都分别是增函数．观察三角函数线的变化，还可以得出α∈R时，sinα，cosα的值域为[－1,1]，tanα的值域为R.【自主测试2－1】如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是()A．正弦线eq\o(PM,\s\up6(→))，正切线eq\o(A′T′,\s\up6(→))B．正弦线eq\o(MP,\s\up6(→))，正切线eq\o(A′T′,\s\up6(→))C．正弦线eq\o(MP,\s\up6(→))，正切线eq\o(AT,\s\up6(→))D．正弦线eq\o(PM,\s\up6(→))，正切线eq\o(AT,\s\up6(→))答案：C【自主测试2－2】如果eq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(OM,\s\up6(→))分别是角α＝eq\f(3π,16)的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是()A．MP＜OM＜0B．MP＜0＜OMC．MP＞OM＞0D．OM＞MP＞0答案：D1．利用有向线段表示三角函数值应注意的问题剖析：(1)三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴的正方向的交点的切线上．三条有向线段中，两条在单位圆内，一条在单位圆外．(2)三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边或其反向延长线的交点．(3)三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值．(4)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母写在前面，终点字母写在后面．2．三角函数线的作用剖析：三角函数线在解决有关三角问题时，具有实用性、简捷性、直观性等特点，它是三角函数值的直观表达形式．从三角函数线的方向可以看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可以看出三角函数值的绝对值的大小．三角函数线的主要作用是解三角不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础．如，求函数y＝log2(sinx)的定义域．我们可以通过转化为解不等式sinx＞0.解答如下：要使函数有意义，x的取值必须满足sinx＞0.如图所示，eq\o(MP,\s\up6(→))是角x的正弦线，则有sinx＝MP＞0.∴eq\o(MP,\s\up6(→))的方向向上．∴角x的终边在x轴的上方．∴2kπ＜x＜2kπ＋π(k∈Z)，即函数y＝log2(sinx)的定义域是x∈(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z.3．教材中的“思考与讨论”角α＝x(rad)，且0＜x＜eq\f(π,2)，于是x，sinx，tanx都是实数．请你给x一个具体的值，比较这三个实数的大小．然后想一想，你得到的大小关系是否对区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的任意x都成立．剖析：取x＝eq\f(π,6)，则sinx＝eq\f(1,2)，tanx＝eq\f(\r(3),3).∵eq\f(1,2)＝eq\f(3,6)＝eq\f(\r(9),6)，eq\f(\r(3),3)＝eq\f(2\r(3),6)＝eq\f(\r(12),6)，∴taneq\f(π,6)＞sineq\f(π,6).又∵eq\f(1,2)＝eq\f(3,6)＜eq\f(π,6)，∴sineq\f(π,6)＜eq\f(π,6).又∵taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)＝eq\f(2\r(3),6)＞eq\f(π,6)，∴taneq\f(π,6)＞eq\f(π,6).从而可知，taneq\f(π,6)＞eq\f(π,6)＞sineq\f(π,6).一般性证明：如图所示，0＜x＜eq\f(π,2).MP为x角的正弦线，AT为x角的正切线，由于S△OPA＜S扇形OPA＜S△OAT，且S△OPA＝eq\f(1,2)OA·MP＝eq\f(1,2)sinx，S扇形OPA＝eq\f(1,2)x·OA2＝eq\f(1,2)x，S△OAT＝eq\f(1,2)OA·AT＝eq\f(1,2)tanx，∴eq\f(1,2)sinx＜eq\f(1,2)x＜eq\f(1,2)tanx，即sinx＜x＜tanx.∴若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则必有sinx＜x＜tanx.题型一作出三角函数线【例题1】分别作出eq\f(3π,4)和－eq\f(4π,7)的正弦线、余弦线和正切线．分析：利用单位圆中三角函数线的作法作图．(1)解：在直角坐标系中作单位圆，如图(1)，以Ox轴为始边作eq\f(3π,4)角，角的终边与单位圆交于点P，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sineq\f(3π,4)＝MP，coseq\f(3π,4)＝OM，taneq\f(3π,4)＝AT，即eq\f(3π,4)的正弦线为eq\o(MP,\s\up6(→))，余弦线为eq\o(OM,\s\up6(→))，正切线为eq\o(AT,\s\up6(→)).(2)同理可作出－eq\f(4π,7)的正弦线、余弦线和正切线，如图(2)．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,7)))＝M1P1，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,7)))＝OM1，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,7)))＝A1T1，即－eq\f(4π,7)的正弦线为eq\o(M1P1,\s\up6(→))，余弦线为eq\o(OM1,\s\up6(→))，正切线为eq\o(A1T1,\s\up6(→)).反思关于三角函数线的几点说明：(1)正弦线、余弦线、正切线这三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外．(2)三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴的正方向同向的为正值，与x轴或y轴的正方向反向的为负值．(3)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母写在前面，终点字母写在后面．题型二利用三角函数线比较大小【例题2】比较coseq\f(4π,7)与coseq\f(5π,7)的大小．分析：先画出eq\f(4π,7)与eq\f(5π,7)的余弦线，再利用余弦线的长度及方向进行比较．解：如图所示，射线OP1是角eq\f(4π,7)的终边，射线OP2是角eq\f(5π,7)的终边，过P1，P2分别作P1M1⊥x轴，P2M2⊥x轴，垂足分别为M1，M2，所以coseq\f(4π,7)＝OM1，coseq\f(5π,7)＝OM2.由右上图易知，OM1＞OM2，故coseq\f(4π,7)＞coseq\f(5π,7).反思利用三角函数线解决一些与三角函数有关的大小比较问题十分方便，因此，在解决类似问题时，我们要能够熟练地画出一个角的三角函数线，结合图形对比得出结论．这也是数形结合思想的很好体现．当然利用作图的方法解题，要注意所作图的准确性．题型三利用三角函数线解不等式【例题3】在单位圆中画出符合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).分析：作出满足sinα＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝－eq\f(1,2)的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围．解：(1)作直线y＝eq\f(\r(3),2)，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤α≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))).(2)作直线x＝－eq\f(1,2)，交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)≤α≤2kπ＋\f(4π,3)，k∈Z)))).反思通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角函数不等式的步骤：〖互动探究〗若将本例中(1)，(2)分别改为sinα＜eq\f(\r(3),2)，cosα＞－eq\f(1,2)，结论又如何？解：(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)<α<2kπ＋\f(7π,3)，k∈Z))))；(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)<α<2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))).题型四易错辨析【例题4】利用三角函数线证明|sinα|＋|cosα|≥1.错解：证明：如图所示，点P为角α的终边与单位圆的交点，则MP＝|sinα|，OM＝|cosα|，根据三角形中两边之和大于第三边易知|sinα|＋|cosα|≥1.错因分析：上述解法忽视了角α的终边在坐标轴上的情况，并且正弦线和余弦线是有方向的，不能写成MP＝|sinα|和OM＝|cosα|.正解：证明：当角α的终边在x(或y)轴上时，正弦线(或余弦线)变成一个点，而余弦线(或正弦线)的长等于r(r＝1)，所以|sinα|＋|cosαα的终边落在四个象限时，如图，利用三角形两边之和大于第三边有|sinα|＋|cosα|＝|MP|＋|OM|＞1.综上，有|sinα|＋|cosα|≥1.1．若－eq\f(3π,4)＜α＜－eq\f(π,2)，则sinα，cosα，tanα的大小关系是()A．sinα＜tanα＜cosαB．tanα＜sinα＜cosαC．cosα＜sinα＜tanαD．sinα＜cosα＜tanα解析：如图，在单位圆中，作出－eq\f(3π,4)＜α＜－eq\f(π,2)内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线．由图知，sinα＝MP＜0，cosα＝OM＜0，tanα＝AT＞0，且MP＜OM，故sinα＜cosα＜tanα.答案：D2．对角α的正弦线叙述错误的是()A．正弦线的起点为坐标原点B．正弦线为有向线段C．正弦线的长度为不大于1的正数D．当角α的终边不在坐标轴上时，正弦线所在的直线平行于y轴解析：因为正弦线的长度有可能为0，所以选项C错误．答案：C3．已知，角α的余