集合的概念性质与运算

2022届原创高考数学一轮复习材料——精讲细练（学案版）集合与简易逻辑1．集合的概念、性质与运算学前热身AUTONUM\*Arabic.（2022年高考（新课标理））已知集合,;则中所含元素的个数为（）A． B． C． D．【答案】D；【解析】,,,共10个。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（浙江理））设集合A={x|1<x<4},B={x|x2-2x-3≤0},则A∩(RB)=（）A．(1,4) B．(3,4) C．(1,3) D．(1,2)【答案】B；【解析】A=(1,4),B=(-1,3),则A∩(RB)=(3,4)。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（陕西理））集合,,则（）A． B． C． D．【答案】C；【解析】,,。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（山东理））已知全集,集合,则为（）A． B． C．D．【答案】C；【解析】,所以。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（辽宁理））已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则为 （）A．{5,8} B．{7,9} C．{0,1,3} D．{2,4,6}【答案】B；【解析一】因为全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},所以,所以为{7,9}.故选B。【解析二】集合为即为在全集U中去掉集合A和集合B中的元素,所剩的元素形成的集合,由此可快速得到答案,选B。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（江西文））若全集U={x∈R|x2≤4}，A={x∈R||x+1|≤1}的补集CuA为（）A．{x∈R|0<x<2} B．{x∈R|0≤x<2}C．{x∈R|0<x≤2} D．{x∈R|0≤x≤2}【答案】C；【解析】,,则。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（湖南文））设集合,则（）A． B． C． D．【答案】；【解析】，M={-1,0,1}，M∩N={0,1}。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（湖北文））已知集合,则满足条件，的集合的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D；【解析】求解一元二次方程,得,易知.因为,所以根据子集的定义,集合必须含有元素1,2,且可能含有元素3,4,原题即求集合的子集个数,即有个.故选D。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（天津理））已知集合,集合,且,则__________,___________.【答案】,【解析】∵=,又∵,画数轴可知,.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（天津文））集合中最小整数位_________.【答案】.【解析】不等式,即,,所以集合,所以最小的整数为.知识精讲1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．2．集合间的基本关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则AB(或BA)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.3．集合的基本运算(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)补集：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．(4)集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③A∪A＝A，A∪∅＝A；④A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.4．Venn图：如：典例细练题型一：元素互异性的应用【例题1】(1)已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，且1∈A，求实数2022a(2)x，x2－x，x3－3x能表示一个有三个元素的集合吗？如果能表示一个集合，说明理由；如果不能表示，则需要添加什么条件才能使它表示一个有三个元素的集合．【解析】(1)当a＋2＝1，即a＝－1时，(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1与a∴不符合题意．当(a＋1)2＝1，即a＝0或a＝－2时，①a＝0符合要求．②a＝－2时，a2＋3a＋3＝1与(a＋1)2当a2＋3a＋3＝1，即a＝－2或a①当a＝－2时，a2＋3a＋3＝(a＋1)2②当a＝－1时，a2＋3a＋3＝a综上所述，a＝0.∴2022a＝1.(2)因为当x＝0时，x＝x2－x＝x3－3x＝0.所以它不一定能表示一个有三个元素的集合．要使它表示一个有三个元素的集合，则应有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠x2－x，,x2－x≠x3－3x，,x≠x3－3x.))∴x≠0且x≠2且x≠－1且x≠－2时，{x，x2－x，x3－3x}能表示一个有三个元素的集合．【点评】集合中元素的互异性，一可以作为解题的依据和突破口；二可以检验所求结果是否正确．【训练1】已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．【答案】－eq\f(3,2)【解析】因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不合乎题意，舍去；当2m2＋m＝3时，解得m＝－eq\f(3,2)或m＝1(舍去)，此时当m＝－eq\f(3,2)时，m＋2＝eq\f(1,2)≠3合乎题意．所以m＝－eq\f(3,2).【训练2】若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，eq\f(b,a)，b}，求b－a的值．【解析】由{1，a＋b，a}＝{0，eq\f(b,a)，b}可知a≠0，则只能a＋b＝0，则有以下对应法则：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,\f(b,a)＝a，,b＝1))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,b＝a，,\f(b,a)＝1.))②由①得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1，))符合题意；②无解．∴b－a＝2.【训练3】设集合，若,求实数的值。【解析】当时，解之得，但是时，集合A中两个元素为2，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去。所以当时，解之得同理舍去，所以a=0.综合得题型二：集合间的基本关系【例题2】已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)<x≤2)).(1)若A⊆B，求实数a的取值范围；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围；(3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由．【解析】A中不等式的解集应分三种情况讨论：若a＝0，则A＝R；②若a<0，则A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(4,a)≤x<－\f(1,a)))；③若a>0，则A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,a)<x≤\f(4,a))).(1)当a＝0时，若A⊆B，此种情况不存在．当a<0时，若A⊆B，如图，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)>－\f(1,2),－\f(1,a)≤2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0或a<－8,a>0或a≤－\f(1,2)))，又a<0，∴a<－8.(2)当a＝0时，显然B⊆A；当a<0时，若B⊆A，如图，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)≤－\f(1,2),－\f(1,a)>2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－8≤a<0,－\f(1,2)<a<0)).又∵a<0，∴－eq\f(1,2)<a<0.当a>0时，若B⊆A，如图，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)≤－\f(1,2),\f(4,a)≥2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a≤2,0<a≤2)).又∵a>0，∴0<a≤2.综上知，当B⊆A时，－eq\f(1,2)<a≤2.(3)当且仅当A、B两个集合互相包含时，A＝B.由(1)、(2)知，a＝2.【点评】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．【训练1】已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．【解析】当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，得m≤2，当B≠∅时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1＜2m－1，))解得2＜m≤4.综上：m≤4.【训练2】设集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则M与N之间有什么关系？【解析】集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}＝{y|y＝(2b＋1)2＋1，b∈R}＝{y|y≥1}．∴M＝N.【训练3】设集合P＝{m|－1<m<0}，Q＝{m|mx2＋4mx－4<0对任意实数x恒成立，且m∈R}，则集合P与Q之间的关系为________．【答案】PQ；【解析】P＝{m|－1<m<0}，Q：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝16m2＋16m<0，))或m＝0.∴－1<m≤0.∴Q＝{m|－1<m≤0}．∴PQ。【训练4】设集合，，若,求实数的取值范围。【解析】题型三：集合间的运算【例题3（1）】(2022·高考江苏)设集合A＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)≤x－22＋y2≤m2，))))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,,x，y∈R,,,))，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}．若A∩B≠，则实数m的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2＋\r(2)))【解析】①若m<0，则符合题的条件是：直线x＋y＝2m＋1与圆(x－2)2＋y2＝m2有交点，从而eq\f(|2－2m－1|,\r(2))≤|m|，解得eq\f(2－\r(2),2)≤m≤eq\f(2＋\r(2),2)，与m<0矛盾；②若m＝0，代入验证，可知不符合题意；③若m>0，则当eq\f(m,2)≤m2，即m≥eq\f(1,2)时，集合A表示一个环形区域，集合B表示一个带形区域，从而当直线x＋y＝2m＋1与x＋y＝2m中至少有一条与圆(x－2)2＋y2＝m2有交点，即符合题意，从而有eq\f(|2－2m|,\r(2))≤|m|或eq\f(|2－2m－1|,\r(2))≤|m|，解得eq\f(2－\r(2),2)≤m≤2＋eq\r(2)，由于eq\f(1,2)>eq\f(2－\r(2),2)，所以eq\f(1,2)≤m≤2＋eq\r(2).综上所述，m的取值范围是eq\f(1,2)≤m≤2＋eq\r(2).【例题3（2）】(2022·高考天津)已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R|x＝4t＋\f(1,t)－6，t∈0，＋∞))，则集合A∩B＝________.【答案】{x|－2≤x≤5}【解析】不等式|x＋3|＋|x－4|≤9等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥4，,x＋3＋x－4≤9))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<x<4，,x＋3＋4－x≤9))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－3，,－x－3＋4－x≤9，))解不等式组得A＝[－4,5]，又由基本不等式得B＝[－2，＋∞)，所以A∩B＝[－2,5]．【点评】本题的主要难点有两个：一是集合A，B之间关系的确定；二是对集合B中方程的分类求解．集合的交并补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过Venn图进行直观的分析不难找出来，如A∪B＝A⇔B⊆A，(∁UA)∩B＝∅⇔B⊆A等，在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法．【训练1】集合，（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围。【解析】因为，（1）由知，，从而得，即，解得或当时，，满足条件；当时，，满足条件；所以或（2）对于集合，由因为，所以①当，即时，，满足条件；②当，即时，，满足条件；③当，即时，才能满足条件，由根与系数的关系得，矛盾故实数的取值范围是。【训练2】已知集合且求实数的值组成的集合。【训练3】设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；(2)若(∁RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．【解析】(1)A＝{x|eq\f(1,2)≤x≤3}．当a＝－4时，B＝{x|－2<x<2}，∴A∩B＝{x|eq\f(1,2)≤x<2}，A∪B＝{x|－2<x≤3}．(2)∁RA＝{x|x<eq\f(1,2)或x>3}．当(∁RA)∩B＝B时，B⊆∁RA，即A∩B＝∅.①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁RA；②当B≠∅，即a<0时，B＝{x|－eq\r(－a)<x<eq\r(－a)}，要使B⊆∁RA，需eq\r(－a)≤eq\f(1,2)，解得－eq\f(1,4)≤a<0.综上可得，a的取值范围为a≥－eq\f(1,4).题型四：创新型集合【例题4】（2022四川高考（理16））设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题：集合S＝{a＋bi|（为整数，为虚数单位）}为封闭集；若S为封闭集，则一定有；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.其中真命题是（写出所有真命题的序号）【解析】直接验证可知①正确.当S为封闭集时,因为x－y∈S,取x＝y,得0∈S，②正确对于集合S＝{0},显然满足素有条件,但S是有限集,③错误取S＝{0}，T＝{0,1}，满足,但由于0－1＝－1T，故T不是封闭集，④错误【训练1】(2022年高考广东卷理科8)设S是整数集Z的非空子集，如果有，则称S关于数的乘法是封闭的．若T,V是Z的两个不相交的非空子集，且有有，则下列结论恒成立的是（） A．中至少有一个关于乘法是封闭的 B．中至多有一个关于乘法是封闭的 C．